MATEMTICA MATEMTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Ktia Stocco

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Kátia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz – 1º ano ensino médio

Unidade 1 – Números e Estatística NESSA UNIDADE: • Os números naturais • Os números inteiros • Os números racionais • Os números irracionais • Os números reais e a reta real • Notação científica • Intervalos reais • Análises de dados – Estatística – Introdução • Coleta e organização de dados • Tipos de gráficos • Frequência absoluta e frequência relativa • Construção de gráficos de frequência relativa • Operações entre conjuntos MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL OS NÚMEROS NATURAIS Da necessidade de ordenar ou contar objetos utilizando a sequência 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , surgiu o conjunto dos números naturais, simbolizado por ℕ. ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } Em ℕ, dizemos que o número natural b é o sucessor de a, se b = a + 1. Sendo b ≠ 0, dizemos que o antecessor de b é o número b − 1. Exemplo: O antecessor do número natural 3 é o número 2 e o sucessor do número natural 3 é o número 4. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL OS NÚMEROS INTEIROS O conjunto dos números inteiros, representado por ℤ, é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais, unidos com seus simétricos ou opostos. ℤ = {…, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …} ℤ* = {…, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 4, …} é o conjunto dos números inteiros não nulos; ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, …} é o conjunto dos números inteiros não negativos; ℤ− = {…, − 3, − 2, − 1, 0} é o conjunto dos números inteiros não positivos; ℤ*+ = { 1, 2, 3, 4, …} é o conjunto dos números inteiros positivos; ℤ*− = {…, − 3, − 2, − 1} é o conjunto dos números inteiros negativos; Seja n um número inteiro qualquer. n + 1 é o sucessor de n − 1 é o antecessor de n. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL OS NÚMEROS RACIONAIS O conjunto dos números racionais é indicado pela letra ℚ. São racionais: • Os números naturais. • Os números inteiros. • As frações cujo numerador e denominador são inteiros e o denominador é não nulo. • Os decimais exatos (a parte decimal é finita). • Os decimais periódicos ou as dízimas periódicas. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre ℕ⊂ℤ⊂ℚ

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL OS NÚMEROS IRRACIONAIS MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL OS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com os números irracionais e o representamos por ℝ. Qualquer número real pode ser representado em uma reta denominada de reta real. A cada número real corresponde um único ponto da reta r e a cada ponto de r corresponde um único número real, chamado de abscissa desse ponto em r. Essa correspondência entre os elementos de ℝ e os pontos de r é denominada sistema de coordenadas. O ponto O, corresponde ao número zero e é a origem desse sistema. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL NOTAÇÃO CIENTÍFICA A notação científica expressa números muito grandes ou muito pequenos. Um número x está sob a forma de notação científica se 1 ≤ x < 10 e está multiplicado por uma potência de 10 de expoente inteiro. Exemplo: a) 2, 67 ⋅ 108 está sob a forma de notação científica. b) 128, 16 ⋅ 10− 5 não está sob a forma de notação científica. c) 0, 0023 não está sob a forma de notação científica. Para colocarmos os números dos itens b e c, procedemos da seguinte maneira: 128, 16 ⋅ 10− 5 = 1, 2816 ⋅ 102 ⋅ 10− 5 = 1, 2816 ⋅ 10− 3. 0, 0023 = 0, 0023 ⋅ 100 = 2, 3 ⋅ 10− 3. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre Regra prática: O número de casas deslocada para a esquerda é o número de unidades que será acrescida ao expoente da potência de 10. O número de casas deslocada para a direita é o número de unidades que será subtraída do expoente da potência de 10.

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL INTERVALOS {x ∈ ℝ| a ≤ x ≤ b} → intervalo fechado de extremos a e b. Notação: [a, b] {x ∈ ℝ| a < x < b} → intervalo aberto de extremos a e b. Notação: ]a, b[ {x ∈ ℝ| a ≤ x < b} → intervalo fechado em a e aberto em b. Notação: [a, b[ {x ∈ ℝ| a < x ≤ b} → intervalo aberto em a e fechado em b. Notação: ]a, b] MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL INTERVALOS ILIMITADOS Os símbolos +∞ e −∞ não são números reais. Eles apenas mostram que uma variável pode crescer indefinidamente (+∞) ou decrescer indefinidamente (−∞). {x ∈ ℝ| x ≥ a} Notação: [a, +∞[ {x ∈ ℝ| x > a} Notação: ]a, +∞[ {x ∈ ℝ| x ≤ a} Notação: [−∞ a] {x ∈ ℝ| x < a} Notação: [−∞ a[ MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA REAL INTERSEÇÃO, REUNIÃO E DIFERENÇA DE CONJUNTOS A e B são dois conjuntos contidos em um conjunto universo E. O conjunto interseção de A e de B (notação: A ∩ B) é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e a B. A ∩ B = {x| x ∈ A e x ∈ B} O conjunto reunião ou união de A e de B (notação: A ∪ B) é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A ∪ B = {x| x ∈ A ou x ∈ B} O conjunto diferença entre A e B (notação: A − B) é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A − B = {x| x ∈ A e x ∉ B} MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA Thinkstock/Getty Images INTRODUÇÃO Em um mundo no qual a circulação de informações é maior a cada dia e onde as pesquisas de opinião ganham cada vez mais espaço, é necessário que as pessoas sejam capazes de ler e interpretar gráficos e tabelas, perceber tendências e analisar criticamente as informações que recebem. A estatística é o ramo da Matemática que permite, de forma organizada, recolher dados sobre uma população, analisá-los e tirar conclusões. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre Pessoas discutindo alguns gráficos.

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA COLETA E ORGANIZAÇÃO DE DADOS Variável estatística: É o conjunto de dados obtidos do estudo de um determinado fato e podem ser de dois tipos: Qualitativas • indicam uma qualidade do fato observado. Quantitativas • indicam uma quantidade do fato observado. Tabelas As tabelas são quadros que resumem conjuntos de observação. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre Exemplo

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA COLETA E ORGANIZAÇÃO DE DADOS Gráficos O gráfico estatístico é uma forma de apresentar dados estatísticos de modo que permita, ao pesquisador e ao público em geral, uma percepção rápida e dinâmica dos dados pesquisados. Gráfico em linhas ou curvas Utiliza uma linha poligonal para representar os dados estatísticos. É muito empregado na identificação de tendências de aumento ou diminuição dos valores numéricos de uma dada informação. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA GRÁFICOS EM BARRAS Nesse tipo de gráfico, os dados são representados por meio de retângulos (ou blocos retangulares) dispostos horizontal ou verticalmente. Gráfico em barras verticais Gráfico em barras horizontais MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA GRÁFICO EM BARRAS MÚLTIPLAS É uma variação dos gráficos em barras horizontais ou verticais geralmente empregada quando queremos representar, em um mesmo sistema, dois ou mais fenômenos para facilitar a comparação entre eles. Gráfico em setores É constituído utilizando-se um círculo dividido em setores circulares. O total dos dados é representado por um círculo dividido em tantos setores quantas são as partes correspondentes aos dados. As áreas dos setores são proporcionais aos respectivos dados que representam. Pictograma Trata-se de um gráfico que usa desenhos relacionados à pesquisa para representar seus dados. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA FREQUÊNCIA ABSOLUTA Frequência absoluta de um acontecimento é o número de vezes em que ele é observado e o representamos por f. Regiões do Brasil que os estudantes do 1º B gostariam de visitar Tabela de frequência absoluta MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre Gráficos de frequência absoluta

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA FREQUÊNCIA RELATIVA ABSOLUTA Para poder comparar, é necessário calcular que fração da turma A representa os 11 estudantes que optaram por futebol e que fração da turma B representa os 10 estudantes que também optaram por futebol. Isso significa calcular a frequência relativa ou frequência percentual. O futebol é mais popular em qual das duas turmas? MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FREQUÊNCIAS RELATIVAS Gráficos em barras múltiplas Se somarmos as frequências relativas obtidas na turma do 1º B , verificaremos que o total é de 100, 1%. Isso ocorre devido aos arredondamentos feitos para determinar essas frequências. Desprezamos 0, 1% na construção dos gráficos. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE DADOS - ESTATÍSTICA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FREQUÊNCIAS RELATIVAS Gráficos de setores Um círculo representa o total dos dados Como 1% corresponde a 3, 6°, podemos calcular da seguinte forma os ângulos relativos ao conjunto de dados que pretendemos representar: MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 1º Bimestre Para variáveis quantitativas, os tipos de gráficos mais indicados são os em linha ou em curva. Já para as variáveis qualitativas, os gráficos mais indicados são os em barras e os em setores.