MATEMTICA MATEMTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Ktia Stocco

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Kátia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz 2º ano ensino médio

Unidade 1 — Trigonometria NESSA UNIDADE: • Arco de circunferência • Lei dos senos e lei dos cossenos • Medidas de arcos de • Função tangente circunferência • Comprimento de arcos • Ciclo trigonométrico – definição • Arcos côngruos • Função seno • Relação trigonométrica fundamental e relação entre tangente, seno e cosseno • Gráficos das funções seno, cosseno e tangente • Equações trigonométricas • Função cosseno MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 — TRIGONOMETRIA: ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA E CICLO TRIGONOMÉTRICO ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA Dois pontos, A e B, dividem uma circunferência em duas partes denominadas arcos. A e B são as extremidades de cada um desses arcos, que indicaremos por AB ou BA. Para diferenciar esses arcos, convencionamos percorrer a circunferência no sentido anti-horário. Assim, AB é o arco formado pelos pontos da circunferência entre A e B, percorridos no sentido (anti-horário) de A para B, enquanto BA é o arco formado pelos pontos da circunferência entre B e A, percorridos no sentido (antihorário) de B para A. Se A coincide com B, temos um arco de uma volta ou um arco nulo. Se A e B são as extremidades de um mesmo diâmetro, temos um arco de meia-volta. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 — TRIGONOMETRIA: ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA E CICLO TRIGONOMÉTRICO MEDIDAS DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA Em radianos: O ângulo de 1 radiano é o ângulo central correspondente a um arco de comprimento igual a seu raio. Comprimento de arcos De um modo geral, indicando α a medida, em radianos, de um arco de comprimento l contido em uma circunferência de raio r, temos: MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 — TRIGONOMETRIA: ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA E CICLO TRIGONOMÉTRICO Definição O ciclo trigonométrico corresponde à circunferência de centro 0 e raio unitário (r = 1), na qual escolhemos um ponto de origem dos arcos e o sentido do seu percurso. O ponto P é a imagem de α no ciclo trigonométrico. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 — TRIGONOMETRIA: ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA E CICLO TRIGONOMÉTRICO ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos contidos no ciclo trigonométrico são côngruos se tiverem a mesma origem e a mesma extremidade. As medidas dos arcos côngruos a um arco de medida a são dadas por: • a = k ⋅ 2π, k ∈ ℤ, para a em radianos ou • a = k + k ⋅ 360°, k ∈ ℤ, para a em graus MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO FUNÇÃO SENO MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO ALGUNS VALORES NOTÁVEIS Seno do oposto de um número Qualquer que seja o número real α, as imagens P e P' no ciclo trigonométrico, respectivamente de α e de −α, são simétricas em relação ao eixo das abscissas e suas projeções ortogonais sobre o eixo dos senos, P 2 e P'2 são simétricas em relação a O; logo: sen (− α) = − sen α, para todo α ∈ ℝ Por esse fato, dizemos que a função seno é função ímpar. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO SENO DE ARCOS CÔNGRUOS, PERIODICIDADE, DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO SENO sen α = sen (α + k ⋅ 2π), k ∈ ℤ O menor valor positivo de p é o período de f. O domínio da função seno é ℝ e a imagem está contida no intervalo [− 1, 1]. Seno é uma função periódica de período 2π. f(x + p) = f(x), para todo x ∈ D(f) MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO FUNÇÃO COSSENO MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO ALGUNS VALORES NOTÁVEIS Cosseno do oposto de um número Qualquer que seja o número real α, as imagens P e P' no ciclo trigonométrico, respectivamente de α e de −α, são simétricas em relação ao eixo das abscissas. Logo: cos (− α) = cos α, para todo α ∈ ℝ Por esse fato, dizemos que a função cosseno é função par. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO COSSENO DE ARCOS CÔNGRUOS, PERIODICIDADE, DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO COSSENO cos α = cos (α + k ⋅ 2π), k ∈ ℤ O menor valor positivo de p é o período de f. O domínio da função cosseno é ℝ e a imagem está contida no intervalo [− 1, 1]. Cosseno é uma função periódica de período 2π. f(x + p) = f(x), para todo x ∈ D(f) MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO LEI DOS SENOS Lei dos cossenos Em todo triângulo ABC, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam, ou seja: MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO FUNÇÃO TANGENTE Sinal da função tangente MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO FUNÇÃO TANGENTE Tangente do oposto de um número Periodicidade, domínio e imagem da função tangente tg (−α) = −tg α, α ∈ D(tg) Tangentes de arcos côngruos tg(α) = tg(α + k ⋅ 2π), α ∈ D(tg), k ∈ ℤ MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA sen 2α + cos 2α = 1, para todo α ∈ ℝ Relação entre tangente, seno e cosseno • sen α = sen (π − α) • cos α = −cos(π − α) • tg α = − tg (π − α) MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO VARIAÇÃO, GRÁFICO E CONJUNTO IMAGEM DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE Função seno D(sen) = ℝ − 1 ≤ sen α ≤ 1, para todo α ∈ ℝ Im(sen) = [− 1, 1] MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO FUNÇÃO COSSENO D(cos) = ℝ − 1 ≤ cos α ≤ 1, para todo α ∈ ℝ Im(cos) = [− 1, 1] MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINIÇÃO, PERIODICIDADE E GRÁFICO FUNÇÃO TANGENTE MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Resolução de sen x = sen a ⇔ x = a + k ⋅ 2π ou x = π − a + k ⋅ 2π, k ∈ ℤ S = {x ∈ ℝ| x = a + k ⋅ 2π ou x = π − a + k ⋅ 2π, k ∈ ℤ} Resolução de cos x = cos a ⇔ x = ±a + k ⋅ 2π, k ∈ ℤ S = {x ∈ ℝ| x = ±a + k ⋅ 2π, k ∈ ℤ } Resolução de tg x = tg a MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre

CAPÍTULO 3 – EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DA SOMA OU DIFERENÇA DE DOIS NÚMEROS Funções trigonométricas o arco duplo MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 2 – 1º Bimestre