MATEMTICA MATEMTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Ktia Stocco

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MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO Kátia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz 1º ano ensino médio

Unidade 2 – Estudo de funções NESSA UNIDADE: Função constante e função nula • Nesta unidade foram trabalhados • os temas: • Sistema cartesiano ortogonal • Função – definições • Função quadrática – definições • Gráficos de funções • • Domínio de uma função de variáveis reais Pontos importantes do gráfico da função quadrática • Concavidade da parábola • Função afim – definição e gráfico • cartesiano • Função identidade • Função crescente e função decrescente • • Inequações e estudo dos sinais da função afim Valor máximo ou mínimo e conjunto imagem da função quadrática Estudo dos sinais da função quadrática MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para construir um referencial cartesiano, desenhamos duas retas reais perpendiculares e de mesma origem O, denominadas de eixos. Eixo Ox → eixo das abscissas; Eixo Oy → eixo das ordenadas; Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais é a correspondência que cada par ordenado de números reais associa um único ponto do plano cartesiano ortogonal. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Os eixos Ox e Ou dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, representadas de acordo com a figura seguinte. Um ponto de ordenada 0, localiza-se sobre o eixo das abscissas do sistema cartesiano ortogonal. Um ponto de abscissa 0 localiza-se sobre o eixo das ordenadas do sistema cartesiano ortogonal. O ponto (0, 0) encontra-se na origem do sistema cartesiano ortogonal. (1, 2) localiza-se no 1º quadrante. (− 1, 2) localiza-se no segundo quadrante. (− 1, − 2) localiza-se no terceiro quadrante. (1, − 2) localiza-se no quarto quadrante. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES FUNÇÃO Definições Dados dois conjuntos, A e B, definimos função como uma relação binária de A em B, tal que para todo elemento x pertencente a A existe, em correspondência a ele, um único elemento y pertencente a B, denominado imagem de x. Podemos indicar uma função f de A em B por: X é denominado variável independente da função f, enquanto y é chamado variável dependente, pois os valores de y dependem dos valores escolhidos para x. Já este último pode variar assumindo qualquer valor do conjunto A. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES FUNÇÃO - DEFINIÇÕES A é o domínio de f (denotado por D(f)), ou seja, é o conjunto dos valores de x para os quais a função é possível. B é o contradomínio de f (denotado por CD(f)), ou seja, é o conjunto dos valores possíveis de y. Indicando por x um elemento qualquer de A, seu correspondente y de B é a imagem de x pela aplicação f ou é o valor de x pela f (denotado por y = f(x)). Os elementos de B que são imagens dos elementos de A pela f constituem o conjunto imagem de f (indicado por Im(f)). O conjunto imagem de uma função está contido em seu contradomínio. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES GRÁFICO DE FUNÇÃO O gráfico de uma função f: • A → B • x |→ f(x) é o conjunto dos pontos (x, f(x)) de um plano cartesiano onde no eixo das abscissas Ox representamos os valores de x, x ∈ A, e no eixo das ordenadas Ou, os valores de y = f(x), y ∈ B. Para representar graficamente uma função devemos: • Fixar um referencial cartesiano. • Fazer uma tabela de dupla entrada, com números que satisfaçam a equação y = f(x), com x ∈ D(f). • Localizar no referencial os pontos associados aos pares ordenados. Observação: traçadas retas paralelas a Ou pelos pontos do domínio de uma função f, esta será função somente se cada uma dessas paralelas a Ou intersectar o gráfico de f em um, e um só, ponto. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES GRÁFICO DE FUNÇÃO Esboce o gráfico da função f: • ℝ → ℝ • x |→y = −x + 0, 5. Resolução: Atribuindo a x alguns valores obtemos a tabela a seguir: MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre O gráfico de f é construído a partir desses valores. Nesse caso, o gráfico será uma reta.

CAPÍTULO 3 – RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS - FUNÇÕES DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL Quando uma função f é descrita apenas por uma sentença y = f(x), e x é um número real, subentendemos que: • O domínio é o subconjunto de ℝ dos valores de x para os quais existe f(x). • O contradomínio é ℝ. Exemplo: MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES AFIM Uma função f de ℝ em ℝ, que a todo número x associa o número ax + b, com a e b reais, a ≠ 0, é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. • f: ℝ → ℝ • x |→y = ax + b, a ≠ 0 Gráfico cartesiano da função afim O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados. • Se a > 0, a função é crescente. • Se a < 0, a função é decrescente. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES AFIM MAIS SOBRE O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM Gráfico de uma função afim f(x) = ax + b, a ≠ 0, crescente (a > 0). Como o gráfico de uma função afim é uma reta, basta a determinação de dois pontos distintos da função para determiná-lo. O ponto onde o gráfico corta o eixo x corresponde ao valor de x tal que f(x) = 0. Nesse caso, x é chamado zero ou raiz da função afim. Na função afim f(x) = ax + b, a é o coeficiente angular ou declividade e b é o coeficiente linear. No caso em que b = 0, ou seja, f(x) = ax, a ≠ 0, essa função afim também recebe o nome de função linear. O gráfico de toda função afim f(x) = ax + b, a ≠ 0, intersecta o eixo Ou no ponto (0, b). MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES AFIM PARA CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM 1º modo: • Escolhem-se dois valores de x para determinar f(x) e assim obter dois pontos do gráfico de f. • Esses pontos determinam o gráfico de f. 2º modo: • Encontra-se a raiz de f e com ela um ponto do gráfico. • O coeficiente linear, se for diferente de zero, permite encontrar mais um ponto do gráfico. Caso contrário, é preciso encontrar outro ponto do gráfico escolhendo x ≠ 0. 3º modo: • Conhecido o gráfico de uma função afim, é possível traçar o gráfico de outras que tenham o mesmo coeficiente angular. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES AFIM FUNÇÃO IDENTIDADE Se a função afim y = ax + b apresenta a = 1 e b = 0, ela fica reduzida a y = x, sendo conhecida como função identidade. O gráfico da função identidade é a reta que é a bissetriz dos quadrantes ímpares do referencial cartesiano. Função crescente e função decrescente • f é crescente em ℝ se, para quaisquer valores x 1 e x 2, em ℝ com x 1 < x 2, f(x 1) < f(x 2). • f é decrescente em ℝ se, para quaisquer valores x 1 e x 2, em ℝ com x 1 < x 2, f(x 1) > f(x 2). Na função afim f(x) = ax + b, temos: • f é crescente se a > 0 e f é decrescente se a < 0 MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES AFIM FUNÇÃO CONSTANTE E FUNÇÃO NULA Função constante f(x) = b, ∈ ℝ é chamada de função constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo Ox e passando pelo ponto (0, b). Exemplo: • f(x) = 3 Função nula • f(x) = 0 é chamada de função nula e seu gráfico é o próprio eixo Ox. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 4 – FUNÇÕES AFIM INEQUAÇÃO E ESTUDO DE SINAL DA FUNÇÃO AFIM • Em uma inequação do 1º grau, os valores da variável que transformam a inequação em uma desigualdade verdadeira recebem o nome de soluções da inequação. • O conjunto de todas as soluções de • O processo de resolução de uma inequação do 1º grau envolve descobrir os valores de x para cada uma das desigualdades ao lado, o que é chamado de estudo do sinal de uma função afim. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre uma inequação é o conjunto solução (S) ou conjunto verdade dessa inequação.

CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA DEFINIÇÃO Uma função f, de ℝ em ℝ, que a todo número x associa o número ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0, é denominada função quadrática ou função polinomial do 2° grau. • f : ℝ → ℝ Parábola com a concavidade voltada para cima • x |→ y = ax² + bx + c, a ≠ 0 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Parábola com a concavidade voltada para cima MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA PONTOS IMPORTANTES DO GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA CONCAVIDADE DA PARÁBOLA A concavidade do gráfico de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, depende o sinal do coeficiente a. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO E CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre

CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Estudar o sinal de uma função f significa descobrir os valores de x ∈ D(f) para os quais f(x) < 0 ou f(x) = 0 ou f(x) > 0. Acompanhe o exemplo a seguir. • f(x) = −x 2 + 4 x − 3 Fazendo uma análise, temos: Inequações do 2º grau Inequação do 2º grau na variável real x é toda desigualdade redutível à forma: • ax 2 + bx + c > 0 ou ax 2 + bx + c ≥ 0 ou • ax 2 + bx + c < 0 ou ax 2 + bx + c ≤ 0, com a, b e c reais e a ≠ 0. Para obtermos o conjunto solução S de cada uma dessas inequações, basta analisarmos o sinal da função f(x) = ax 2 + bx + c. MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO | Volume 1 – 2º Bimestre