Magnetostatica 3 Momento agente su un ago magnetico

Magnetostatica 3 Momento agente su un ago magnetico Forza agente su una spira Momento di forza agente su una spira Momento magnetico di dipolo Energia potenziale di una spira Teorema di equivalenza di Ampère Flusso del campo B Sorgenti del campo B

Momento agente su un ago in un campo B • Abbiamo visto che un ago magnetico in un campo B è soggetto ad una coppia il cui momento può essere misurato • Abbiamo introdotto il momento magnetico m dell’ago • m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la coppia risultante ha momento meccanico • E l’energia dell’ago nel campo esterno è, analogamente al caso elettrico, • Vediamo ora cosa accade per un a spira percorsa da corrente 2

Forza agente su una spira in un z campo B uniforme n • Spira rettangolare (per semplicità) che possa ruotare intorno ad un asse (x) x perp. a B, disposto lungo z • Lati perp. all’asse di rotazione: – Sul lato AD (lunghezza h) agisce la forza D B q h C b y z n • Lati paralleli all’asse: – Su DC la stessa forza con segno opposto – Le forze sui due lati sono uguali ed opposte A O – Su BC la stessa forza con segno opposto – Le forze sui due lati sono uguali ed opposte – Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza B y B q x. X 3

Momento agente su una spira in un campo B uniforme • Lati perpendicolari all’asse di rotazione • Possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti • Le due forze sui lati AD, BC sono uguali, opposte e hanno la stessa linea d’azione, quindi il momento totale è nullo z n B A B q O x D y b h C 4

Momento agente su una spira in un campo B uniforme • Lati paralleli all’asse di rotazione • Di nuovo possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti • Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono uguali, opposte e hanno braccio z n • quindi hanno momento B q y x. X 5

Momento magnetico di una spira • Definiamo momento magnetico di una spira piana di forma arbitraria (o momento di dipolo magnetico), il vettore – A: area della spira – I: corrente circolante – n: versore normale alla spira • Il momento meccanico in un campo B può venir espresso nella stessa forma che per un ago magnetico 6

Energia potenziale di una spira • Scegliamo come zero dell’energia • U e` l’opposto del lavoro per andare da a 7

Sorgenti del campo B • Ampère intui’ che il magnetismo di un magnete altro non e` che l’effetto di correnti microscopiche all’interno della materia • Le sorgenti del campo induzione magnetica non sono quindi le cariche magnetiche, ma le correnti elettriche, macroscopiche o microscopiche siano 8

Teorema di equivalenza di Ampère • Questa intuizione e` suffragata dal teorema di equivalenza tra un magnete ed una spira 1) le azioni meccaniche esercitate da un campo B su di un magnete o su di una spira di ugual momento magnetico, sono uguali 2) a grande distanza il campo B di dipolo generato da una spira è uguale a quello di un magnete 9

Teorema di equivalenza di Ampère • Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un campo esterno B su un ago e una spira sono uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente e l’area della spira valga la relazione • Procediamo ora con la seconda parte 10

Teorema di equivalenza di Ampère • Calcoliamo il campo B prodotto da una spira (raggio R e corrente i) a grande distanza r 0 mediante la formula di Laplace r 0 r R 11

Teorema di equivalenza di Ampère • Scriviamo le componenti cartesiane dei vettori R, dl, r 0 e r r 0 R f dl 12

Teorema di equivalenza di Ampère • Calcoliamo il prodotto esterno e sviluppiamo r al denominatore al primo ordine in R/r 0 • Posto che diviene l’integrale del campo 13

Teorema di equivalenza di Ampère • 14

Teorema di equivalenza di Ampère • Componente x: • Similmente per la componente y: 15

Teorema di equivalenza di Ampère • Componente z: 16

Teorema di equivalenza di Ampère • Posto m=i R 2, momento magnetico della spira, in coordinate cartesiane il campo risulta • In coordinate cilindriche 17

Teorema di equivalenza di Ampère • In coordinate sferiche, infine • Che è esattamente uguale al campo induzione magnetica di un magnete, e che è a sua volta uguale al campo elettrico di un dipolo elettrico a grandi distanze 18

Flusso del campo B • Per il principio di sovrapposizione il campo B si può pensare come somma dei campi dovuti ai singoli portatori • Il flusso sarà • Basta quindi considerare il flusso di un singolo portatore, il cui campo è 19

Flusso del campo B • Per quanto detto sulla legge di Gauss, possiamo limitarci a calcolare il flusso attraverso una sfera con centro nella carica in moto • Le linee di b sono tangenti alla superficie sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza quello del campo totale B sono nulli • Cioè abbiamo la 3° equazione dell’em 20

Sorgenti del campo B • Se confrontiamo questo risultato con il caso elettrico possiamo affermare che l’annullamento del flusso di B stabilisce la non esistenza di cariche magnetiche 21

Forma differenziale della legge di assenza di carica magnetica • L’annullamento del flusso e della divergenza sono due aspetti della stessa cosa • Applichiamo il teorema della divergenza all’integrale del flusso • Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro dev’essere nullo ovunque 22

Potenziale magnetico • Abbiamo visto che ad un campo E si puo` associare un potenziale scalare V • E` possibile fare una cosa analoga per il campo B? • La risposta e` no • E` invece possibile associare un potenziale vettore A 23

Potenziali e. m. • Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei campi • Per il campo E e` sempre verificato • Per cui si puo` scrivere • In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente nulla • Per il campo B abbiamo invece • Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e` necessariamente nulla • E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un campo vettoriale: • in quanto la divergenza di una rotazione e` identicamente nulla 24

Potenziali e. m. • Verifichiamo questa affermazione 25