Lineer zamanla deien srekli zaman sistemi iin ynetilebilirlikeriebilirlie
Lineer, zamanla değişen sürekli zaman sistemi için yönetilebilirlik/erişebilirliğe bakalım Erişebilirlik için başlangıç durumunu Yönetilebilirlik için durumuna götüren giriş
Tanım: (Erişebilirlik Gramian matrisi) lineer zamanla değişen sisteme ilişkin nxn’lik Erişebilirlik Gramian matrisi durum geçiş matrisi Erişebilirlik Gramian matrisinin tanımından: Lemma: Sistem erişilebilir ise orijini Teorem: ‘de durumuna taşıyan giriş hesaplanabilir: lineer zamanla değişen sistem ‘de erişilebilir ise, eğer ‘da yönetilebilir ise , olan bir anda erişilebilirdir. olan bir anda yönetilebilirdir;
Tanım: (Yönetilebilirlik Gramian matrisi) lineer zamanla değişen sisteme ilişkin nxn’lik Yönetilebilirlik Gramian matrisi durum geçiş matrisi Yönetilebilirlik ve Erişebilirlik Gramian matrisi arasındaki ilişki: Sistem yönetilebilir ise ‘da Örnek: durumunu orijine taşıyan giriş hesaplanabilir:
Sonuç Teorem: lineer zamanla değişen sistem ‘de tam durum erişilebilirdir i) koşulunu sağlayan sonlu bir ii) Sonuç Teorem: ‘nin satırlarını bağımsız kılan sonlu bir vardır. aralığında reel sayılar cismi üzerinde lineer vardır lineer zamanla değişen sistem ‘de tam durum yönetilebilirdir i) ii) koşulunu sağlayan sonlu bir ‘nin satırlarını bağımsız kılan sonlu bir vardır. aralığında reel sayılar cismi üzerinde lineer vardır
Lineer, zamanla değişmeyen ayrık zamanda gözlenebilir/kurulabilirliğe bakalım: Hatırlatma Ders 10, yansı 14 belirlenecekler Kurulabilirlik için: için sağlayan vektör sıfır vektörü ise kurulabilirdir. A matrisi tersinir ise bunu yazmak daha kolay: bilinenler O Bu matris tanıdık gelmeli rank. O =n sağlayan vektör sıfır vektörü ise kurulabilirdir. kurulabilirlik için gerek ve yeter şart Gözlenebilir ise kurulabilir, ancak kurulabilir ise gözlenebilir olması için A matrisi tersinir olmalı
Lineer, zamanla değişmeyen sürekli zamanda gözlenebilirlik /kurulabilirliğe bakalım: ** Tanım: (Gözlenemezlik) i) (**) sisteminin sıfır giriş yanıtı gözlenemezdir. ii) Gözlenemez tüm durumların kümesi iii) (**) sistemi veya (A, C) çifti için sıfır ise, diğer bir deyişle , (**) sisteminin gözlenemez altuzayıdır. ise (tam durum) gözlenebilirdir. durumu
Teorem: Lineer zamanla değişmeyen matrisinin sütunları (**) sistemi gözlenebilir aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: Varsayım: sistem gözlenebilir ancak ‘nin sütunları lineer bağımlı tersinir değil belirlenemez ‘dan
Sistem gözlenemez. Varsayımla çelişiyor tersinir ‘nin sütunları lineer bağımsız. Varsayım: ‘nin sütunları lineer bağımsız, sistemin gözlenebilir olduğu gösterilecek. tersinir
Teorem: Lineer zamanla değişmeyen (**) sistemi gözlenebilirlik matrisi Lineer zamanla değişmeyen sistem ile ilgilendiğimizden zamanı alınabilir. ve başlangıç Tanım: (Gözlenebilirlik Gramian matrisi) (**) lineer zamanla değişmeyen sisteme ilişkin nxn’lik Gözlenebilirlik Gramian matrisinin tanımından: Lemma:
Teorem: durumu gözlenemez Sonuç Teorem: durumu gözlenebilir Örnek: Gözlenebilirlik Gramian matrisini hesaplayın ve gözlenebilirliğini inceleyin.
** Tanım: (Kurulamazlık) i) (**) sisteminin sıfır giriş yanıtı ise için sıfır ise, diğer bir deyişle durumu kurulamazdır. ii) Kurulamaz tüm durumların kümesi iii) (**) sistemi veya (A, C) çifti (**) sisteminin kurulamaz altuzayıdır. ise (tam durum) kurulabilirdir. Gözlenebilirlik ve kurulabilirlik arasındaki ilişki: Teorem: (**) lineer zamanla değişmeyen sistem ele alınsın. i) durumu ancak ve ancak gözlenemez ise kurulamazdır. ii) iii) Lineer zamanla değişmeyen sistem ancak ve ancak tam gözlenebilir ise tam kurulabilirdir. Tanım: (Kurulabilirlik Gramian matrisi) (**) sistemine ilişkin nxn’lik Kurulabilirlik Gramian matrisi
ÖZET: Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerin gözlenebilirliğini ve kurulabilirliğini test etmeye ilişkin bir dizi sonuç: Teorem: (**) sistemi gözlenebilirdir i) ii) ‘nin n sütünu reel sayılar cismi üzerinde lineer bağımsız ise iii) iv) ‘nin n sütünu kompleks sayılar cismi üzerinde lineer bağımsız ise v) ‘nın özdeğerleri olmak üzere Lineer, zamanla değişmeyen ayrık zamanda (**) sisteminin gözlenebilirliğine/kurulabilirliğine yeniden bakalım: Tanım: (Gözlenemezlik) i) (**) sisteminin sıfır giriş yanıtı durumu gözlenemezdir. ii) Gözlenemez tüm durumların kümesi iii) (**) sistemi veya (A, C) çifti için sıfır ise, diğer bir deyişle , (**) sisteminin gözlenemez altuzayıdır. ise (tam durum) gözlenebilirdir.
Lineer, zamanla değişmeyen sürekli zamanda yaptığımıza benzer şekilde alalım Teorem: i) durumu gözlenemez ii) durumu gözlenebilir Sonuç Teorem: (**) sistemi veya (A, C) çifti (tam durum) gözlenebilirdir (**) sistemi gözlenebilir ise olarak belirlenir ‘daki denkleminin tek çözümü Toeplitz matrisi
Tanım: (Gözlenebilirlik Gramian matrisi) (**) lineer zamanla değişmeyen ayrık zaman sistemine ilişkin nxn’lik Gözlenebilirlik Gramian matrisi Lemma: Sonuç teorem: (**) sistemi veya (A, C) çifti (tam durum) gözlenebilirdir Sistem gözlenebilir ise ‘daki durumu hesaplanabilir: Örnek: Gözlenebilirlik Gramian matrisini hesaplayın ve ilk değeri belirleyin
Tanım: (Kurulamazlık) i) durumu için olmak üzere ii) Kurulamaza tüm durumların kümesi , (**) sisteminin kurulamaza altuzayıdır. iii) (**) sistemi veya (A, C) çifti Lemma: ‘ı sağlayan bir varsa kurulamazdır. ise (tam durum) kurulabilirdir. Bu durumda için ne diyebiliriz? Tanım: (Kurulabilirlik Gramian matrisi) (**) lineer zamanla değişmeyen ayrık zaman sistemine ilişkin nxn’lik Gözlenebilirlik Gramian matrisi Gözlenebilirlik ve Kurulabilirlik Gramian matrisi arasındaki ilişki: Teorem: (**) lineer zamanla değişmeyen sistem ele alınsın. i) durumu kurulamaz ise gözlenemezdir. ii) iii) Lineer zamanla değişmeyen sistem tam gözlenebilir ise tam kurulabilirdir. Ayrıca tersinir ise (i) ve (iii) gerek ve yeter koşul olur ve (ii) eşitlik durumuna dönüşür.
Örnek: Gözlenebilirlik ve kurulabilirliğini inceleyin
tersinir olduğunda ilk durum geçmişteki girişler ve çıkışlardan hesaplanabilir Sistem kurulabilinirdir Örnek: kurulabilirliğini inceleyin
Yönetilemez, Gözlenemez sistemler için gösterimler (*) (**) lineer zamanla değişmeyen sürekli zaman sistemlerinin yönetilebilir/erişebilir ve gözlenebilir/kurulabilir olması için gerek ve yeter koşullar sırası ile yönetilebilirlik matrisinin tam satır ranklı, gözlenebilirlik matrisinin tam sütun ranklı olmasıdır. ! DİKKAT Yönetilemez denilirken aslında kastedilen erilişemez, yönetilebilir denilirken de kastedilen erişilebilir. (*) sistemi yönetilebilir/erişilebilinir (*) sistemi gözlenebilir/kurulabilir (**)sistemi erişilebilinir (**)sistemi gözlenebilir (**) erişilebilir (**) yönetilebilir+ (**) gözlenebilir (**) yönetilebilir tersinir (**) erişilebilir (**) kurulabilinir + tersinir (**) gözlenebilir
(*) ve (**) sistemleri tam yönetilebilir değil ise uygun benzerlik dönüşümü ile yönetilebilir kısımlar yönetilemez kısımlardan «ayrıştırılabilir» Nasıl belirleyeceğiz? (#) Matrisinin lineer eksik tane lineer bağımsız sütunu içeren boyutlu matris Lemma: Yönetilemez çiftini yönetilebilir çiftini içerecek şekilde yönetilemez sistem standart yapısına getiren (#) verilen şekilde bir tersinir matrisi vardır. Tanıt: İlk olarak ‘nin değişmez olduğu gösterilecek: Cayley-Hamilton Teoreminden cinsinden yazılabilir
Şimdi de , olduğu gösterilecek değişmez olduğundan ‘da ‘nin baz vektörleri olan ilk olduğu gösterilmesi için ‘daki , vektörünün lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. olduğu fark edilmesi yeterli. Benzerlik dönüşümü altında sisteme ilişkin denklemler yazılırsa:
yönetilemez sisteme ilişkin standart yapı alt sistemigirişden etkilenmiyor, davranışını sadece ilk değer belirliyor. altsistemi hem Alt sisteminin davranışından hem de girişden etkileniyor. Örnek: Yönetilemez standart yapısına indirgeyin.
- Slides: 21