Teorem Lineer Kombinasyonlar NU 4 de lineer bamsz

Teorem Lineer Kombinasyonlar NU 4 ‘de lineer bağımsız bir küme Tanıt tamamlandı Bu durumda tanıtlanması gereken Varsayalım ki dizisi oluşturulsun

Her j için sınırlı bir dizi Hatırlatma Weierstrass-Bolzano Teoremi Her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır . . . yeni bir dizi oluşturuldu yakınsak bir alt dizisi var ‘de ‘in bu diziye karşılık düşen altserisi olsun. .

tüm ‘ler sıfır değil Çelişki !!! lineer bağımsız Varsayalım ki dizisi oluşturulsun ‘in alt dizisi

X=(X, d) metrik uzay Tekrar Açık Yuvar Kapalı Yuvar Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise ‘nin yığılma noktası ise ve Kapalı kümedir. ‘nun her komşuluğunda en az bir ‘ in yığılma noktalarını içeren küme vardır ‘nin kapanışıdır. için noktasında süreklidir için sürekli ise süreklidir

Tekrar ve kümeleri arasında birebir ve üzerine bir dönüşüm varsa bu iki küme birbirine sayısal olarak eşdeğerdir. Sayısal olarak doğal sayılar kümesine eşdeğer olan bir kümesine numaralanabilir denir. Sonlu ya da numaralanabilir bir kümeye sayılabilir adı verilir. ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa ayrılabilirdir. ise Cauchy’dir tamdır ‘deki her Cauchy dizisi yakınsaktır.

X=(X, d) metrik uzay Tekrar Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. normlu uzay alt uzay ‘de kapalı Bancah uzayı ‘in kapalı alt uzayı ‘in alt uzayı , normlu uzay ‘in alt uzayıdır. Tam olmayabilir X=(X, d) metrik uzay ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa normlu uzay ayrılabilirdir. ayrılabilir

Teorem Tamlık NU 5 ‘in alt uzayı, Tamdır. *Her sonlu boyutlu normlu uzay tamdır. Teorem NU 6 Kapalılık ‘in alt uzayı, ‘de kapalıdır. *Normlu uzayın her sonlu boyutlu altuzayı, normlu uzayda kapalıdır. Eşdeğer Normlar ‘de tanımlı normlar Teorem NU 7 Eşdeğer Normlar Sonlu boyutlu vektör uzayında tanımlı herhangi bir norm, herhangi bir başka norma eşdeğerdir. *Sonlu boyutlu vektör uzayında her normbir başka norma eşdeğerdir.

Kompaklık kompaktır ’de yakınsak altdizi Teorem Kompaklık NU 8 Teorem Kompaklık NU 9 kompak kapalı ve sınırlı. *Sonlu boyutlu normlu uzayın herhangi bir alt kümesinin kompak olması için gerek ve yeter koşul alt kümenin kapalı ve sınırlı olmasıdır.

Boyut ile ilgili bir kısıtlama yok. Riesz’in Lemması ve ‘in alt uzayları, Teorem Sonlu Boyut NU 10 kapalı ve ‘nin uygun alt kümesi Kapalı birim yuvar ‘de kompak Teorem Sürekli Dönüşüm NU 11 sonlu boyutlu sürekli kompak ‘nin altındaki görüntüsü kompaktır Sonuç Teorem Maksimum ve Minumum sürekli kompak ‘de maksimum ve minimumlarına erişir