Kapitel 20 Mehrgleichungs Modelle Konzepte Hackl Einfhrung in

Kapitel 20 Mehrgleichungs. Modelle: Konzepte Hackl, Einführung in die Ökonometrie (20)

Mehrgleichungs-Modelle Modellierung von ökonomischen Prozessen, die simultan mehrere endogene Variable betreffen Beispiele: n Darstellung des Marktes für ein Produkt: Modell muss Entwicklung von Menge und Preis repräsentieren n Wirtschaftsraum umfasst Gütermarkt, Finanzmarkt, Arbeitsmarkt, etc. , die in Wechselwirkung stehen © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2

CAP-Modell (capital asset pricing model) Ri: Erlös des i-ten Vermögenswertes Ri - Rf = bi(E{Rm} – Rf) + ui mit Rf: Erlös eines risikolosen Vermögenswertes E{Rm}: erwarteter Erlös des optimalen Portfolios Analyse von mehreren Werten: ui repräsentieren gemeinsame Faktoren, haben gemeinsame Abhängigkeitsstruktur Effiziente Nutzung der Information: gemeinsame Analyse © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 3

Investitionsmodell Grunfeld & Griliches (1958) I = b 1 + b 2 F + b 3 C + u mit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen, 1935 -1954 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 4

Marktmodell für ein Produkt, z. B. Schweinefleisch Qd = a 1 + a 2 P + a 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Qs = b 1 + b 2 P + b 3 Z + u 2 (Angebotsfunktion) Qd = Qs mit Qd: Nachfragemenge, Qs: Angebotsmenge, P: Preis des Produktes, Y: Einkommen, Z: Kosten der Produktion oder Q = a 1 + a 2 P + a 3 Y + u 1 Q = b 1 + b 2 P + b 3 Z + u 2 Modell bestimmt Q und P für gegebene Werte von Y und Z Endogene Variable: Q, P; exogene Variable: Y, Z © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 5

Klein‘s Modell 1 Ct = a 1 + a 2 Pt + a 3 Pt-1 + a 4(Wtp+ Wtg) + ut 1 (Konsum) It = b 1 + b 2 Pt + b 3 Pt-1 + b 4 Kt-1 + ut 2 (Investitionen) Wtp = g 1 + g 2 Xt + g 3 Xt-1 + g 4 t + ut 3 (Private Löhne und Gehälter) X t = Ct + I t + G t Kt = It + Kt-1 Pt = Xt – Wtp – Tt C (Konsumausgaben), P (Gewinne), Wp (Private Löhne und Gehälter), Wg (Öffentliche Löhne und Gehälter), I (Investitionen), K-1 (Kapitalbestand des Vorjahres), X (Produktion), G (Ausgaben der Öffentlichen Hand ohne Löhne und Gehälter), T (Steuern) und t [Zeit (Trend)] Endogen: C, I, Wp, X, P, K; exogene: 1, Wg, G, T, t, P-1, K-1, X-1 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 6

Typen von Mehrgleichungs. Modellen 1. Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren (multivariates Regressionsmodell) q Nachfrage nach Gütern durch Haushalte q capital asset pricing model q Modell für Investitionen von Unternehmen von Grunfeld. Griliches 2. Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen) Regressoren (simultaneous equation model, interdependente Modelle) q Marktmodell q Klein’s Modell Kontemporär korrelierte Störgrößen © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 7

Typen von Gleichungen Reaktions- oder Verhaltensgleichungen: beschreiben das Verhalten einer abhängigen Variablen als Funktion von erklärenden Variablen Definitorische Identitäten: definieren eine Variable als Summe anderer Variabler Gleichgewichts-Bedingungen: postulieren Beziehungen, die als Gleichgewicht interpretiert werden können Definitorische Identitäten und Gleichgewichts-Bedingungen enthalten keine Störgrößen! © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 8

Schätzprobleme Bei Mehrgleichungs-Modellen muss gerechnet werden mit n Stochastischen Regressoren: abhängige Variable werden als Regressoren verwendet n Kontemporär korrelierten Störgrößen: die einzelnen Gleichungen sind nicht voneinander unabhängig Konsequenzen: n OLS-Schätzer der Koeffizienten sind nicht konsistent, nicht erwartungstreu! © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 9

Zweigleichungs-Modell Zwei abhängige Variable Y 1 und Y 2 Y 1 = a 1 + a 2 Y 2 + a 3 X 1 + u 1 (Gleichung A) Y 2 = b 1 + b 2 Y 1 + b 3 X 2 + u 2 (Gleichung B), mit b 2 > 0 1. Verletzung der Annahme 4 (Exogenität der Regressoren): Effekt eines positiven Wertes u 1: q Wert von Y 1 wird vergrößert (siehe Gleichung A) q Aus Gleichung B folgt, dass dann der Wert von Y 2 größer wird q Daraus folgt: u 1 und Y 2 sind korrelierte Variablen 2. Verzerrte OLS-Schätzer: q Überdurchschnittlich große Werte von Y 1 werden oft (als Folge positiver u 1) gemeinsam mit großen Werten von Y 2 beobachtet q a 2 wird überschätzt! © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 10

Marktmodell: Eine Simulation Mit a 2 = – 1, b 2 = 1, a 3 = 1, b 3 = 1 ergeben sich (siehe oben): Q = – P + Y + u 1 (Nachfrage) Q = P + Z + u 2 (Angebot) Generieren der Daten in EViews: Y = 20 + 10*nrnd Z = 10 + 10*nrnd u 1 ~ N(0, 4), u 2 ~ N(0, 9) Q = (Y + Z + u 1 + u 2 )/2, P = (Y – Z + u 1 – u 2)/2 OLS-Schätzung der beiden Gleichungen: Q = 2. 98 – 0. 58*P + 0. 80*Y; p(t. P) = 0. 037, p(t. Y) = 0. 000, R 2 = 0. 84 Q = 3. 52 + 0. 77*P + 0. 86*Z; p(t. P) = 0. 000, p(t. Y) = 0. 000, R 2 = 0. 83 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 11

Marktmodell, Forts. Nachfragefunktion Q = a 1 + a 2 P + a 3 Y + u 1 = x‘a + u 1 mit x = (1, P, Y)‘, a = (a 1, a 2, a 3)‘ Achtung! Endogene Variable P ist erklärende Variable: plim (X'X)-1 X'u ≠ 0´ Das Modell ist in Strukturform (Angebot und Nachfrage) gegeben. © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 12

Reduzierte Form: Q = p 11 + p 12 Y + p 13 Z + v 1 P = p 21 + p 22 Y + p 23 Z + v 2 mit p 11 = (a 1 b 2 – a 2 b 1)/(b 2 – a 2), p 12 = (b 2 u 1 – a 2 u 2)/(b 2 – a 2), etc. Die pij können konsistent geschätzt werden! Kann man aus Schätzern für pij auf Schätzer der ai und bi schließen? © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 13

Schätzprobleme, Forts. Zwei Fragestellungen: n Identifizierbarkeit: Können – bei gegebener Struktur des Modells und gegebenen Daten – die Parameter (konsistent) geschätzt werden? n Schätzverfahren: Welche – (neue? ) – Schätzmethoden können bei Mehrgleichungs-Modellen angewendet werden, sodass gewünschte Eigenschaften der Schätzer sichergestellt sind? © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 14

Typen von Variablen Endogene Variable: n Werden durch das Modell bestimmt n Vollständiges Modell: Anzahl der Gleichungen ist so groß, wie die Anzahl der endogenen Variablen Exogene Variable: n Sind von außerhalb des Modells bestimmt n Können auch verzögerte endogene („vorherbestimmte“, predetermined) Variable sein n Wir unterscheiden: q Strikt exogene Variable: unkorreliert mit historischen, aktuellen und künftigen Störgrößen q vorherbestimmte Variable: unkorreliert mit aktuellen und künftigen Störgrößen © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 15

Marktmodell, Forts. Zwei Gleichungen: Q = a 1 + a 2 P + a 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q = b 1 + b 2 P + b 3 Z + u 2 (Angebotsfunktion) bestimmen Q und P (endogene Variable) außerhalb des Systems bestimmt: Y, Z Offene Fragen: n Rückkoppelung zwischen Q und Y? n Z unabhängig von Q? © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 16

SUR-Modell seemingly unrelated regression allgemeiner Fall des multivariaten Regressionsmodells m Gleichungen Yt 1 = x‘t 1 b 1 + ut 1 … Ytm = x‘tmbm + utm mit Var{uti} = si 2 für i = 1, …, m; Cov{uti, utj} = sij ≠ 0 für i ≠ j , i, j = 1, …, m (kontemporär korrelierte Störgrößen) Regressoren können für die Gleichungen unterschiedlich sein Mehrgleichungs-Modell mit gemeinsamen Regressoren: xti = xt für i = 1, …, m Vereinfachung des SUR-Modells (vergl. das CAP-Modell) © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 17

Investitionsmodell, Forts. I = b 1 + b 2 F + b 3 C + u I: Investitionen F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode General Motors: I = -149. 78 + 0. 119*F + 0. 371*C, R 2 = 0. 92, se = 91. 78 Chrysler: I = -6. 19 + 0. 078*F + 0. 316*C, R 2 = 0. 91, se = 13. 28 General Electric: I = -9. 96 + 0. 027*F + 0. 152*C, R 2 = 0. 71, se = 27. 88 Investitionen sind auch bestimmt von allgemeiner Konjunktur! © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 18

SUR-Modell, Notation m=2 n mit n-Vektoren yi, ui, (nxki)-Matrix Xi: yi = Xi bi + ui, i = 1, 2 Var{uti} = si 2, Cov{ut 1, ut 2} = s 12, t = 1, …, n n mit 2 n-Vektoren oder mit Ist s 12 ≠ 0, ist SUR dem 1 -Gleichungs-OLS vorzuziehen. © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 19

Kronecker-Produkt Definition: Ordnung: npxmq © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 20

Interdependente Mehrgleichungs -Modelle Strukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen Variablen einerseits und exogenen und vorherbestimmten Variablen andererseits entsprechend der ökonomischen Theorie. Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von den vorherbestimmten Variablen Koeffizienten der n Strukturform: Interpretation als Strukturparameter im Sinn der ökonomischen Theorie n Reduzierten Form: Interpretation als impact multiplicator; geben Effekt der Änderung der vorherbestimmten Variablen auf abhängige Variable an © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 21

Marktmodell, Forts. Strukturform Qt = a 1 + a 2 Pt + a 3 Yt + ut 1 (Nachfragefunktion) Qt = b 1 + b 2 Pt + b 3 Zt + ut 2 (Angebotsfunktion) ut = (ut 1, ut 2)‘: bivariates Weißes Rauschen Matrixnotation: A yt = G zt + ut mit yt = (Qt, Pt)‘, zt = (1, Yt, Zt)‘ © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 22

Marktmodell, Forts. Reduzierte Form yt = A-1 G zt + A-1 ut = P zt + vt mit In Langform: Qt = p 11 + p 12 Yt + p 13 Zt + vt 1 Pt = p 21 + p 21 Yt + p 23 Zt + vt 2 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 23

Strukturform m abhängige Variable (und Gleichungen), K Regressoren: Ayt = Gzt + ut mit m-Vektoren yt und ut, K-Vektor zt, (mxm)-Matrix A, und (mx. K)Matrix G Struktur des Mehrgleichungs-Modells: (A, G, S) Strukturparameter: Elemente von A und G Normalisierte Matrix A: aii = 1 für alle i Vollständiges Mehrgleichungs-Modell: A ist quadratisch und invertierbar Rekursives Mehrgleichungs-Modell: A hat Dreiecksform; die endogenen Variablen beeinflussen sich nur in einer Richtung © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 24

Identifizierbarkeit Fragestellung: n Können aus den Schätzern der Parameter der reduzierten Form konsistente Schätzer der Strukturparameter abgeleitet werden? n Können mit den exogenen und vorherbestimmten Variablen als Instrumente Instrumentvariable für die erklärenden endogenen Variablen bestimmt werden? © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 25

Marktmodell, Forts. Aus p 13 = – a 2 b 3/(b 2 – a 2) und p 23 = – b 3/(b 2 – a 2) ergibt sich a 2 = p 13/p 23 als Schätzer für a 2 aus den OLS-Schätzern p 13 und p 23 für p 13 und p 23 b 2 = p 12/p 22 für b 2 aus p 12 und p 22 für p 12 und p 22 Weiters ergeben sich a 3 = p 22(b 2 – a 2), a 1 = p 11 – p 21 a 2; die Koeffizienten der Nachfragefunktion lassen sich in eindeutiger Weise aus den konsistenten Schätzern der pij bestimmen; die Nachfragefunktion ist identifizierbar Analog ergibt sich für die Koeffizienten der Angebotsfunktion b 3 = – p 23(b 2 – a 2), b 1 = p 11 – p 21 b 2; auch die Angebotsfunktion ist identifizierbar © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 26

Modifiziertes Marktmodell Qt = a 1 + a 2 Pt + a 3 Yt + ut 1 (Nachfragefunktion) Qt = b 1 + b 2 Pt + ut 2 (Angebotsfunktion) Koeffizienten der reduzierten Form: p 11 = (a 1 b 2 – a 2 b 1)/(b 2 – a 2), p 12 = a 3 b 2/(b 2 – a 2) p 21 = (a 1 – b 1)/(b 2 – a 2), p 22 = a 3/(b 2 – a 2) 1. 2. Angebotsfunktion: b 2 = p 12/p 22, b 1 = p 11 – p 21 b 2 die Angebotsfunktion ist identifizierbar Nachfragefunktion: für drei Koeffizienten gibt es nur zwei Gleichungen a 1 = p 11 – p 21 a 2, a 3 = p 22(b 2 – a 2) es existiert keine eindeutige Lösung. Die Funktion ist nicht identifizierbar; sie ist unteridentifiziert © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 27

Noch ein Marktmodell Qt = a 1 + a 2 Pt + a 3 Yt + a 3 Zt + ut 1 (Nachfragefunktion) Qt = b 1 + b 2 Pt + ut 2 (Angebotsfunktion) 1. 2. Angebotsfunktion: b 2 = p 12/p 22, b 2 = p 13/p 23 für beide Lösungen ergibt sich b 1 = p 11 – p 21 b 2 die Angebotsfunktion ist identifizierbar; man sagt, die Angebotsfunktion ist überidentifiziert Die Nachfragefunktion ist unteridentifiziert © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 28

Identifizierbarkeit: Kriterien Identifizierbarkeit einer Gleichung ist gegeben, wenn n eine Anzahl von Modell-Variablen aus der Gleichung ausgeschlossen sind („ Nullrestriktionen“) n oder eine andere Restriktion zutrifft q Punktrestriktion: ein Koeffizient hat einen bestimmten Wert, z. B. den Wert Null q Gleichungen in den Koeffizienten, linear oder nicht-linear q Restriktion für Elemente von S Überprüfen der Nullrestriktionen n Abzähl- oder Ordnungs-Bedingung n Rang-Bedingung © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 29

Ordnungs-Bedingung Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren : Ayt = Gzt + ut mit (mxm)-Matrix A, (mx. K)-Matrix G i-te Gleichung: n mi: Anzahl der erklärenden endogenen Variablen n mi*: Anzahl der (durch Nullrestriktionen) ausgeschlossenen endogenen Variablen (mi* = m – mi – 1) n Ki*: Anzahl der (durch Nullrestriktionen) ausgeschlossenen vorherbestimmte Variablen (Ki* = K – Ki) Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 30

Ordnungs-Bedingung: Interpretation Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi d. h. , wenn n die Anzahl der ausgeschlossenen Variablen (Ki* + mi*) mindestens so groß ist wie die um Eins verminderte Anzahl der endogenen Variablen (m – 1) n die Anzahl der ausgeschlossenen vorherbestimmten Variablen (Ki*) mindestens so groß ist wie die Anzahl der erklärenden endogenen Variablen (mi) Die Ordnungs-Bedingung ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 31

Modifiziertes Marktmodell, Forts. Qt = a 1 + a 2 Pt + a 3 Yt + ut 1 (Nachfragefunktion) Qt = b 1 + b 2 Pt + ut 2 (Angebotsfunktion) m = 2 (Q, P), K = 2 (1, Y); 1. 2. Nachfragefunktion (i = 1): m 1* = 0, m 1 = 1, K 1* = 0, K 1 = 2 die Ordnungs-Bedingung ist nicht erfüllt: K 1* = 0 < m 1 = 1 (oder K 1* + m 1* = 0 < m – 1 = 1); die Nachfragefunktion ist nicht identifiziert Angebotsfunktion (i = 2): m 2* = 0, m 2 = 1, K 2* = 1, K 2 = 1 die Ordnungs-Bedingung ist erfüllt: K 2* = 1 = m 2 = 1 (oder K 2* + m 2* = 1 = m – 1 = 1); die Angebotsfunktion ist (möglicherweise) identifizierbar © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 32

Rang-Bedingung Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren : Ayt = Gzt + ut mit (mxm)-Matrix A, (mx. K)-Matrix G i-te Gleichung: Streichen der i-ten Zeile weiters n A*: durch Streichen aller Spalten in A, die in i-ter Zeile einen von Null verschiedenen Koeffizienten haben n G*: durch Streichen aller Spalten in G, die in i-ter Zeile einen von Null verschiedenen Koeffizienten haben Rang-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn r([A* G*]) ≥ m – 1 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 33

IS-LM-Modell Ct = g 11 – a 14 Yt + ut 1 It = g 21 – a 23 Rt + ut 2 Rt = – a 34 Yt + g 32 Mt + ut 3 Y t = Ct + I t + Z t C: Konsum; I: Investitionen, R: Zinssatz, Y: Einkommen, M: Geldmenge, Z: autonome Ausgaben endogen: C, I, R, Y; exogen: 1, M, Z Erste Gleichung: n Ordnungs-Bedingung: K 1* = 2 = m 1 = 2; (also K 1* ≥ m 1) n Rang-Bedingung: die folgende Matrix hat den Rang 3 = m -1 Beide Bedingungen sind erfüllt; die 1. Gleichung ist identifizierbar © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 34

Praxis der Idenfizierbarkeitsprüfung 1. 2. 3. 4. 5. Ein Mehrgleichungs-Modell ist identifizierbar, wenn jede seiner Gleichungen identifizierbar ist Gleichungen, die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen meist auch die Rang-Bedingung Kleine Modelle sind meist leicht nach beiden Kriterien prüfbar; bei umfangreichen Modellen ist die Identifizierbarkeit der Gleichungen meist kein Problem (Modell enthält viele vorherbestimmten Variable) Soll ein Regressor eliminiert werden? § Bei Eliminieren ist Gleichung eher identifizierbar § Nicht Eliminieren kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer Gleichungen zur Folge haben Weitere Gleichung in identifizierbarem Modell: das neue Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine neue Variable in den anderen Gleichungen verwendet wird © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 35