Kapitel 18 Dynamische Modelle Schtzen der Parameter Hackl

Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter Hackl, Einführung in die Ökonometrie (18)

AR(1)-Modell: Schätzer für j Für das AR(1)-Modell Yt = j. Yt-1+ut gelte: |j| < 1, ut ist Weißes Rauschen; verletzte Annahme 4 (Exogenität der Regressoren) OLS-Schätzer: Da Yt = Sijiut-i eine unendliche Summendarstellung besitzt, aber nur endliche Daten zur Verfügung stehen, ist der Erwartungswert von St. Yt-iut nicht null. n Der OLS-Schätzer für j ist nicht erwartungstreu! Es lässt sich aber zeigen: n der OLS-Schätzer für j ist konsistent n Ist asymptotisch normalverteilt © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2

Schätzverfahren für dynamische Modelle Themen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: n DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen n ADL-Modell n Modell mit Koyck‘scher Lagstruktur © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 3

DL(s)-Modell Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells Yt = a + b 0 Xt + … + bs. Xt-s + ut sind: n „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung n Multikollinearität n Ordnung s (meist) nicht bekannt Zusätzliches Problem kann sein: n korrelierte Störgrößen, z. B. AR(1)-Prozess ut = rut-1+ et mit Weißem Rauschen e (Varianz s 2) © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 4

DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell: Yt = a + b 0 Xt + … + bs. Xt-s + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) Alternative Darstellungen (mit Störgrößen e) n ADL-Form Yt = ar + r. Yt-1 + br 0 Xt + … + br, s+1 Xt-s-1 + et mit ar = a(1 – r), br 0 = b 0, br 1 = b 1 – rb 0, …, br, s+1 = – rbs ADL(1, s+1)-Modell n Modell in Quasi-Differenzen: Y*t = a + b 0 X*t + … + bs. X*t-s + et mit Y*t = Yt – r. Yt-1, X*t = Xt – r. Xt-1 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 5

Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell Yt = a + b 0 Xt + b 1 Xt-1 + ut mit Störgrößen ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) n ADL(1, 2)-Form: Yt = d + r. Yt-1 + d 0 Xt + d 1 Xt-1 + d 2 Xt-2 + et mit d = a(1 – r), d 0 = b 0, d 1 = b 1 – rb 0, d 2 = – rb 1 ADL(1, 2)-Modell n Modell in Quasi-Differenzen: Y*t = a + b 0 X*t + b 1 X*t-1 + et mit Y*t = Yt – r. Yt-1, X*t = Xt – r. Xt-1 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 6

Beispiel: Konsumfunktion Datensatz Dat. S 04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976: 1 bis 1995: 2) In logarithmierten Differenzen: Ĉ = 0. 009 + 0. 621 Y mit t(Y) = 5. 94, adj. R 2 = 0. 326; r = 0. 344 ADL(1, 1)-Form: Ĉ = 0. 004 + 0. 345 C-1 + 0. 622 Y – 0. 131 Y-1 mit t(C-1) = 2. 96, t(Y) = 4. 81, t(Y-1) = -0. 87, adj. R 2 = 0. 386; r = 0. 024 Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0. 344 C-1, Y* = …): Ĉ* = 0. 006 + 0. 651 Y* mit t(Y*) = 5. 42, adj. R 2 = 0. 288; r = 0. 051 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 7

DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: Schätzer Eigenschaften der OLS-Schätzer: n DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: q erwartungstreu und konsistent q nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler (unterschätzt, wenn r > 0) n ADL-Form: q Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer q nicht-lineare Normalgleichungen n ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form: q Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung q nicht-lineare Normalgleichungen © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 8

Schätzen der ADL-Form Yt = ar + r. Yt-1 + br 0 Xt + … + br, s+1 Xt-s-1 + et Konsequenzen des Summanden r. Yt-1: OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben) Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung n konsistent n von der Wahl der Instrumente abhängig © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 9

Beispiel: DL(0)-Modell: Yt = a + b. Xt + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) ADL(1, 1)-Modell: Yt = d + r. Yt-1 + b. Xt + d 1 Xt-1 + et mit d = a(1 – r), d 1 = - rb IV-Schätzung 1. Hilfsvariable: Ŷt = c 0 + c 1 Xt-1 + c 2 Xt-2 + … Ordnung der Lagstruktur: z. B. AIC 2. Ersetzen von Yt-1 im ADL(1, 1)-Modell durch Ŷt-1 und OLSAnpassung © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 10

Schätzen der Quasi-Differenzen. Form Modell: Y*t = a + b 0 X*t + b 1 X*t-1 + et mit Y*t = Yt – r. Yt-1, X*t = Xt – r. Xt-1 Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für r Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLSSchätzung) 1. OLS-Schätzer für r, Berechnung der Quasi-Differenzen 2. OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 11

Beispiel: DL(1)-Modell: Yt = a + b 0 Xt + b 1 Xt-1 + ut mit ut = rut-1+ et (e: Weißes Rauschen) Cochrane-Orcutt-Schätzer: 1. OLS-Schätzer a, b 0, b 1 (unter Annahme, dass r = 0); Berechnung der Residuen et = Yt – (a + b 0 Xt + b 1 Xt-1) und 2. Berechnung der Quasi-Differenzen Y*t = Yt – r. Yt-1, Xt* = … OLS-Schätzung der Koeffizienten aus Y*t = a + b 0 X*t + b 1 X*t-1 + et © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 12

Schätzen von r Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion OLS-Residuen n IV-Residuen r ist konsistenter Schätzer n Iteratives Berechnen: 1. Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme r = 0, Berechnen von r(1) und der Quasi-Differenzen 2. Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form, Berechnen von r(2) und verbesserter Quasi-Differenzen 3. Wiederholung, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 13

ADL-Modell: korrelierte Störgrößen ADL(1, 1)-Modell Yt = a + j. Yt-1 + b 0 Xt + b 1 Xt-1 + ut mit ut = rut-1 + et Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z. B. : Schätzer r für r ist nicht konsistent) Schätzverfahren: 1. IV-Schätzung 2. FGLS-Schätzung 3. Direkte Schätzung (nicht-lineare Optimierung) © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 14

Konsumfunktion, Forts. ADL(1, 1)-Form: Ĉ = 0. 004 + 0. 345 C-1 + 0. 622 Y – 0. 131 Y-1 mit t(C-1) = 2. 96, t(Y) = 4. 81, t(Y-1) = -0. 87, adj. R 2 = 0. 386; r = 0. 024 Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent! Hilfsvariable: CIV = 0. 008 + 0. 545 Y + 0. 127 Y-1 IV-Schätzung Ĉ = – 0. 011 + 2. 149 CIV-1 + 0. 504 Y – 1. 197 Y-1 mit t(C IV 0 -1) = 2. 11, t(Y) = 3. 79, t(Y-1) = -1. 88, adj. R 2 = 0. 342 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 15

IV-Schätzung ADL(1, 1)-Modell Yt = a + j. Yt-1 + b 0 Xt + b 1 Xt-1 + ut mit ut = rut-1 + et (e Weißes Rauschen) Instrumente: X-j, j > 1 Verfahrens-Schritte: 1. Bestimmen der Hilfsvariablen Ŷt = c 0 + c 1 Xt-1 + c 2 Xt-2 + … mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur 2. Ersetzen von Yt-1 durch Ŷt-1; OLS-Anpassung IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 16

Konsumfunktion, Forts. DL(1)-Modell: Ĉ = 0. 007 + 0. 545 Y + 0. 127 Y-1 mit t(Y) = 4. 07, t(Y-1) = 0. 97, adj. R 2 = 0. 316; r = 0. 276 FGLS-Schätzung: Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0. 276 C-1, Y* = …): Ĉ* = 0. 006 + 0. 634 Y* + 0. 020 Y*-1 mit t(Y*) = 5. 08, t(Y*-1) = 0. 16, adj. R 2 = 0. 282 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 17

Nicht-lineare OLS-Schätzung ADL(1, 0)-Modell Yt = j. Yt-1 + b. Xt + ut mit ut = rut-1 + et Einsetzen liefert Yt = (j+r)Yt-1 – rj. Yt-2 + b. Xt – rb. Xt-1 + et Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen 1. Wahl von Startwerten für r, j, b 2. Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter 3. Wiederholen von 2. , bis Korrekturen sehr klein © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 18

Nicht-lineare OLS-Schätzung EViews bietet nicht-lineare OLS-Schätzung als Option; dabei werden alle Parameter simultan geschätzt Schätzen von l durch Intervallschachtelung: 1. Wahl von drei Werten von l; für jedes l: Ø Berechnen von Wt = Xt + l. Xt-1 + … + lt-1 X 1 und lt Ø OLS-Anpassung liefert Schätzer für a, b 0, b* Ø Berechnen der Summe der quadrierten Residuen 2. Ausscheiden des l mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues l: Mittelwert der anderen beiden l, Wiederholen des Schrittes 1. 3. Abbruch, wenn l mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 19

Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der Parameter DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Yt = a + b(1 -l) Sili. Xt-i + ut Schätz-Problem: Historische Werte X 0, X-1, X-2, … sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = b(1 -l)(Xt + l. Xt-1 + … + lt-1 X 1 + b*lt + ut mit b* = b(1 -l)(X 0 + l. X-1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten) AR (autoregressive)-Form Yt = a(1 -l) + l. Yt-1 + b(1 -l) Xt + vt mit vt = ut – lut-1: ADL(1, 0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss. Newton) © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 20

Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Yt = a + b(1 -l) Sili. Xt-i + ut Näherungsweise äquivalentes Modell ist Yt = a + b(1 -l)(Xt + l. Xt-1 + … + lt-1 X 1) + b*lt + ut = a + b 0 Wt + b*lt + ut mit b 0 = b(1 -l) b* = b(1 -l)(X 0 + l. X-1 + … ) Wt = Xt + l. Xt-1 + … + lt-1 X 1 Nicht-lineares Schätzproblem! © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 21

Tests auf Autokorrelation Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: n Durbin‘s h n LM-Test von Breusch-Godfrey n andere © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 22

Durbin‘s h ADL(1, 0)-Modell Yt = j. Yt-1 + b 0 Xt + ut mit ut = rut-1 + et (e: Weißes Rauschen) Nullhypothese H 0: r = 0 d: Durbin-Watson-Statistik, d ~ 2(1 - r 1) bzw. (1 -0. 5 d) ~ r 1 Unter H 0: h ~ N(0, 1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n) © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 23

Breusch-Godfrey-Test ADL(1, 0)-Modell Yt = j. Yt-1 + b 0 Xt + ut mit ut = rut-1 + et (e: Weißes Rauschen) Nullhypothese H 0: r = 0 1. 2. Regression der OLS-Residuen et auf Yt-1, Xt und et-1; Re 2 Teststatistik LM(A) = n Re 2 Unter H 0: LM(A) ~ c 2(1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n) © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 24