KALKULUS DIFERENSIAL Kalkulus diferensial digunakan untuk menemukan nilai

KALKULUS DIFERENSIAL

• Kalkulus diferensial digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara efisien dan untuk pengambilan keputusan melalui analisis marginal dimana pilihan-pilihan yang ada dalam pengambilan keputusan dibatasi oleh beberapa kendala.

Kalkulus Diferensial • Bermanfaat bagi masalah optimisasi terkendala. • Fungsi Y = f(X) • Jika menunjukkan perubahan nilai maka menggunakan tanda Δ sehingga menjadi ΔX dan ΔY

Konsep Turunan •

• Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut sebagai hasil bagi perbedaan (difference quotient), yang mencerminkanatau koefisien diferensi tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap perubahan variabel bebas x • Proses penurunan fungsi disebut juga proses diferensiasi merupakan penentuan limit suatu koefisien diferensi (∆x sangat kecil) • Hasil proses diferensiasi dinamakan turunan atau derivatif (derivative).

penotasian • Cara penotasian dari turunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam : Paling lazim digunakan ∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari garis kurva y = f(x)

Kaidah-kaidah diferensiasi ü Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 contoh : y = 5 dy/dx = 0 ü Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1 contoh : y=x 3 dy/dx=3 x 3 -1=3 x 2

ü Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv, dimana v = h(x), dy/dx = k dv/dx contoh : y = 5 x 3 dy/dx = 5(3 x 2) = 15 x 2 ü Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :

ü Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4 x 2 + x 3 u = 4 x 2 du/dx = 8 x v = x 3 dv/dx = 3 x 2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8 x + 3 x 2 ü Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)

ü Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)

Fungsi Konstan Contoh: Tentukan turunan pertama(dy/dx) dari : 1. Y = 3 maka dy/dx = 0 2. Y = -5 maka dy/dx = 0 3. Y = 2/3 maka dy/dx = 0 4. Y = 5³ maka dy/dx = 0

Fungsi Pangkat Contoh: 1. Y = 5 x³ 2. Y = 12 x⁸ 3. Y = 4 x⁶ maka dy/dx = 5. 3 x³ˉ¹ dy/dx = 15 x² maka dy/dx = 96 x⁷ maka dy/dx = 24 x⁵

Fungsi Pertambahan & Pengurangan Tentukan turunan pertama (dy/dx) dari Persamaan berikut : 1. Y = 2 X 3 + 5 X 2 – 6 X - 8 2. Y = 6 X 5 - X 2 – 2 X + 5 3. Y = -2 X 3 - 5 X – 6 X 2 + 1

Fungsi Pertambahan & Pengurangan 1. Y = 2 X 3 + 5 X 2 – 6 X – 8 dy/dx = 6 X 2 + 10 X 1 – 6 X 0 - 0 d. Y/d. X = 6 X 2 + 10 X - 6 2. Y = 6 X 5 - X 2 – 2 X + 5 dy/dx = 30 X 4 - 2 X 1 – 2 X 0 + 0 d. Y/d. X = 30 X 4 -2 X - 2 3. Y dy/dx = = -2 X 3 -6 X 2 -6 x 2 -6 X 2 – – – 5 X – 6 X 2 + 1 5 X 0 – 12 X 1 + 0 5 – 12 x 12 X - 5

Fungsi Perkalian/Hasil Dua Fungsi Contoh: 1. Y =(2 x-6)⁵(3 x+7)⁶ Misal: U=(2 x-6)⁵ V=(3 x+7)⁶ du=5(2 x-6)⁴. 2 dv=6(3 x+7)⁵. 3 du=10(2 x-6)⁴ dv=18(3 x+7)⁵ dy/dx =(3 x+7)⁶. [10(2 x-6)⁴ ] +(2 x-6)⁵. [18(3 x+7)⁵] =2(3 x+7)⁵. (2 x-6)⁴[5(3 x+7) +9(2 x-6)] = 2(3 x+7)⁵. (2 x-6)⁴. (33 x- 19)

Fungsi Pembagian Contoh: 1. Y = 2 x+ 5 4 x+1 Misal: U=2 X+5 V=4 X+1 du=2 dv=4 dy/dx=(4 x+1). 2 – (2 x+5). 4 (4 x+1)² = 8 x+2 – 8 x + 20 16 x²+8 x+1 (a + b )² = a ² + 2 ab + b ² = 22 16 x²+8 x+1

Fungsi Pembagian 1. Y = 5 X + 3 X– 4 U = 5 X + 3 maka du = 5 V = X – 4 maka d. V = 1 dy/dx = (X – 4). 5 – (5 X + 3). 1 (X – 4)2 dy/dx = 5 X – 20 – 5 X + 3 X 2 – 8 X + 16 dy/dx = - 17 X 2 – 8 X + 16

Fungsi dari Fungsi Tentukan turunan pertama dari : 1. Y = 3(x 2 – 5 x + 1)5 2. Y = 4(5 X – 3 X 2 ) 3

Fungsi dari Fungsi 1. Y = 3(x 2 – 5 x + 1)5 Jawab: dy/dx = 3. 5(x 2 – 5 x + 1) 5 -1. (2 x – 5) dy/dx = 15(2 x – 5)(x 2 – 5 x + 1)4 dy/dx = (30 x – 75)(x 2 – 5 x + 1)4

2. Y = 4(5 X – 3 X 2 ) 3 JAWAB: dy/dx = 4. 3(5 x – 3 x 2) 3 -1. (5 – 6 x) dy/dx = 12(5 – 6 x)(5 x – 3 x 2)2 dy/dx = (60 – 72 x)(5 x – 3 x 2)2