A Menemukan Dalil Pythagoras 1 Menemukan Dalil Pythagoras

A. Menemukan Dalil Pythagoras 1. Menemukan Dalil Pythagoras. “ Pada setiap segitiga siku-siku , luas daerah persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi siku-sikunya “

Teorema Pythagoras Dalam segitiga siku-siku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. B c a C b c 2 = a 2 + b 2 A

2. Menyatakan Dalil Pythagoras dalam bentuk Rumus c 2 = a 2 + b 2 = c 2 - a 2 = c 2 - b 2 B c a C b A

B. Menggunakan Dalil Pythagoras 1. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku jika sisi lain diketahui Contoh : Diketahui segitiga ABC siku-siku di A , dengan panjang AC = 6 cm dan panjang AB = 8 cm. Tentukan panjang BC !

Jawab : BC 2 = AC 2 + AB 2 C BC 2 = 62 + 82 6 BC 2 = 36 + 64 BC 2 = 100 BC = 100 A BC = 10 Jadi panjang BC = 10 cm 8 B

2. Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisinya Untuk menentukan jenis segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a , b , dan c (a merupakan sisi terpanjang) dapat menggunakan Dalil Pythagoras dengan ketentuan sebagai berikut :

#. Jika dalam segitiga ABC berlaku a 2 = b 2 + c 2 , maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku. Dalam hal ini dikenal dengan istilah Tripel Pythagoras adalah kumpulan 3 buah bilangan bulat positif yang memenuhi syarat “ kuadrat salah satu bilangan sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain “.

Jika sisi-sisi segitiga adalah tripel pythagoras , maka segitiga tersebut adalah segitiga siku. #. Jika dalam segitiga ABC berlaku a 2 < b 2 + c 2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip. #. Jika dalam segitiga ABC berlaku a 2 > b 2 + c 2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga tumpul.

Contoh : a. Segitiga dengan sisi 3, 4, dan 5 satuan adalah siku-siku , sebab 52 = 32 + 42 b. Segitiga dengan sisi 9, 7, dan 8 satuan adalah lancip , sebab 92 < 72 + 82 c. Segitiga dengan sisi 8, 5, dan 6 satuan adalah timpul , sebab 82 > 52 + 62

Soal latihan R 1. Pada gambar di samping, hitunglah panjang sisi PR ! 13 P 5 Q

Jawab : R PR 2 = QR 2 – PQ 2 PR 2 = 132 – 52 PR 2 = 169 – 25 PR 2 = 144 PR = 12 13 P 5 Q

2. Tentukan nilai x pada segitiga siku-siku, gambar disamping !

Bukti Teorema 2. 1: A

Teorema 2. 2 (Teorema Apollonius) Jika sisi-sisi dalam segitiga ABC adalah a, b dan c, panjang garis berat yang melalui titik-titik sudut A, B dan C berturut-turut adalah ma, mb dan mc maka ma 2 = (b 2 + c 2)/2 – a 2/4.

Bukti Teorema 2. 2 A b c ma a/2 B a/2 D C Berdasarkan Teorema 1. 6, dalam ABC berlaku ma 2. a=b 2. a/2 +c 2. a/2 +a/2. a atau ma 2 = (b 2 + c 2)/2 – a 2/4

Teorema 2. 3 Jika panjang masing-masing sisi dari ABC adalah a, b dan c, dan garis bagi dalam sudut C memotong sisi c atas bagian-bagian yang panjangnya c 1 dan c 2, serta panjang garis bagi dalam tersebut dinyatakan dengan dc, maka dc 2= ab – c 1 c 2.

Bukti Teorema 2. 3 C a b dc c 1 A c 2 D B Dengan sifat perbandingan dlm segitiga ABC, maka c 1 : c 2 = b : a. Akibatnya (c 1 + c 2) : (b + a) = c 1 : b atau c 1 = bc/(a+b) Dengan cara serupa diperoleh c 2 = ac/(a+b) Untuk menentukan dc, dipakai Teorema 1. 6 CD 2. AB = BC 2. AD + AC 2. BD – AD. BD. AB atau dc 2. c = a 2. c 1 + b 2. c 2 – c 1. c 2. c Substitusi c 1 dan c 2 ke kesamaan terakhir diperoleh dc 2 = ab – c 1 c 2.

Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD n n Dibentuk Kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 5 peserta diklat dengan anggota yang heterogen Masing-masing kelompok memilih pemimpin secara demokratis untuk memimpin diskusi bagi para anggota kelompok. Tiap anggota tim menggunakan Lembar kerja akademik dan saling membantu untuk menguasi bahan ajar dengan tanya jawab atau diskusi antar sesama anggota tim. Masing-masing kelompok menunjuk wakilnya untuk mempresentasikan hasil kerja kelompok.

Permasalahan 1 Tunjukkan bahwa: a. Dua segitiga yang tingginya sama, perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan panjang sisi alasnya. b. Segitiga-segitiga yang alasnya sama dan titik puncaknya terletak pada sebuah garis yang sejajar sisi alas, luas daerahnya sama.

Permasalahan 2 Tunjukkan bahwa: a. Dua segitiga yang salah satu sudutnya kongruen perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan hasil kali panjang kedua sisi yang mengapit sudut yang kongruen. b. Dua segitiga yang sebangun perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan kuadrat panjang sisinya yang seletak.

Permasalahan 3 Tunjukkan bahwa: a. Luas daerah segiempat sama dengan hasil kali panjang kedua diagonalnya dan sinus sudut yang terbentuk oleh kedua diagonal. b. Dalam suatu segiempat garis singgung, jumlah panjang pasangan sisi yang berhadapan sama.

Permasalahan 4 Buktikan bahwa jika dalam ABC yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b dan c; garis bagi luar sudut C memotong perpanjangan sisi AB di titik D, dengan DA = c 1 dan DB = c 2, serta panjang garis bagi luar itu dinyatakan dengan dc, maka

Permasalahan 5 Definisi Sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi segitiga disebut transversal sisi. Teorema Menelaos Jika dalam ABC sebuah transversal sisi g memotong sisi AB, BC dan AC atau perpanjangannya berturut-turut di titik P, Q dan R, maka Buktikan Teorema Menelaos !

Permasalahan 6 Definisi Sebarang garis lurus yang melalui sudut suatu segitiga disebut transversal sudut Teorema De Ceva Jika tiga buah transversal sudut pada suatu ABC melalui sebuah titik sudut, dan transversal sudut dari titik-titik sudut C, A dan B berturut-turut memotong sisi-sisi AB, BC, dan CA atau perpanjangannya di titik P, Q dan R maka PA QB RC = -1 x x PB QC RA Buktikan Teorema De Ceva !

Petunjuk Permasalahan 4 Perhatikan gambar disamping C 1 C 2 DA = c 1 dan DB = c 2 n Kemudian gunakan Teorema Perbandingan pada ABC, AC : BC = c 1 : c 2 C 2 1 dc D a b A B c n Untuk mendapatkan nilai c 1 dan c 2. Selanjutnya gunakan Teorema Stewart pada DBC

Petunjuk Permasalahan 5 R C C 1 Q n B 1 A P A 1 g Perhatikan gambar disamping n Ruas garis – ruas garis AA 1, BB 1 dan CC 1 masing-masing tegak lurus pada garis tranversal g. B Gunakan kenyataan bahwa APA 1 BPB 1, BQB 1 CQC 1 CRC 1 ARA 1

Petunjuk Permasalahan 6 Perhatikan gambar disamping n Dalam pembuktian ini digunakan notasi: AB = -BA. C R Q n A P B Gunakan Teo. Menelaos pada PBC dengan transversal sisi AQ, dan pada APC dengan transversal sisi BR.

Penyelesaian Permasalahan 1 a Perhatikan gambar disamping C R t A c t B P r Q Luas ABC : Luas PQR = ½ c. t : ½ r. t =c: r

Penyelesaian Permasalahan 1 b Perhatikan gambar disamping D C E t A B F Luas ABC = ½ AB. t ABD = ½ AB. t ABE = ½ AB. t ABF = ½ AB. t

Penyelesaian Permasalahan 2 a C A R x x B P Q Perhatikan gambar disamping Pada ABC dan PQR diketahui: CAB = RPQ = x. Akibatnya Luas ABC : Luas PQR = ½ AB. AC sin x : ½ PQ. PR sin x = AB. AC : PQ : PR

Penyelesaian Permasalahan 2 b R C A B P Q Perhatikan gambar disamping ABC PQR Luas ABC : Luas PQR = bc : qr = ac : pr = ab : pq Akibatnya acpq = abpr atau cq = br atau c: r=b: q Selanjutnya bc : qr = c 2 : r 2 = b 2 : q 2 = a 2 : p 2

Penyelesaian Permasalahan 3 a Perhatikan gambar disamping L ABCD = L ABD + L BDC = ½ BD. CP. sinx + ½ BD. AP. sinx = ½ BD (CP + AP) sin x = ½ BD. AC. sin x C D x P A B

Penyelesaian Permasalahan 3 b D R C S A Perhatikan gambar disamping ABCD segiempat garis singgung AB + CD = AP + PB + CR + RD = AS + BQ + QC + SD = AS + SD + BQ + QC = AD + BC Q P B

Sekian Terima Kasih Atas Perhatiannya