INVESTIGAO OPERACIONAL 9 Aula Redes As redes invadem

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª î Aula Redes As redes invadem o nosso mundo das mais diversas formas. As redes de transporte, eléctricas ou de comunicação são disso exemplo. No entanto, a representação sob a forma de rede pode ser utilizada em áreas tão diferentes como a produção, distribuição, planeamento de projectos, localização de instalações, gestão de recursos, planeamento financeiro, etc. Para resolver estes problemas de redes, utilizam-se modelos de optimização que se baseiam em alguns tipos de problemas de programação linear. Neste capítulo iremos tratar dos seguintes tipos de problemas: î î Cecília Rocha # 1 Caminho Mais Curto (shortest path) Árvore de Ligações Mínimas (minimum spanning tree) Fluxo Máximo (maximum flow) Fluxo de Caixa Mínimo (minimum cost flow) 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Exercício Exemplo û O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n. º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. A 2 7 2 5 O 4 B 1 û û 1 7 E O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n. º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: î î Cecília Rocha # 2 4 T D 3 4 C 5 î 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Termos utilizados em “Redes” Redes Uma rede consiste num conjunto de pontos e linhas que ligam certos pares de pontos û Esses pontos denominam-se Nós û As linhas entre os pontos denominam-se Arcos î Aos arcos estão associados fluxos Se o fluxo só pode circular numa direcção – Arco Direccionado, Direccionado cuja direcção corresponde à da seta A representada B î Quando não existem restrições de direcção de fluxo – Arco Não Direccionado ou Ligação î û û Se uma rede só utiliza arcos direccionados, designa-se por Rede Direccionada Um percurso entre dois nós corresponde à sequência de arcos distintos que permite ligar esses nós î î î û û Cecília Rocha # 3 Um percurso direccionado do nó i ao nó j refere-se à sequência de arcos de ligação cuja direcção (se existir) é de i para j e permite que haja fluxo ao longo deste percurso. Um percurso não direccionado do nó i ao nó j é a sequência de arcos de ligação, direccionados ou não, que permite o fluxo de e para o nó j. Um percurso que começa e acaba no mesmo nó denomina-se ciclo Dois nós dizem-se ligados se a rede contém pelo menos um arco não direccionado entre eles Uma rede diz-se ligada se todos os pares de pontos estão ligados 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Termos utilizados em “Redes” Redes û û û Considerando um conjunto de n nós, pode-se criar uma árvore adicionando arcos, um a um, entre os diversos nós. Cada arco novo vai expandir a árvore que é uma rede ligada sem ciclos não direccionados. Quando o arco (n-1) for adicionado o processo termina dado que a árvore resultante já liga os n nós. Uma árvore expandida é uma rede ligada, para todos os n nós, que não contém nenhum ciclo não direccionado e tem exactamente n-1 arcos, número necessário para ligar todos os nós sem criar ciclos. O fluxo máximo que pode ser transportado por um dado arco designa-se por capacidade do arco Um nó de origem é aquele em que o fluxo de saída é superior ao de entrada Um nó de destino é aquele em que o fluxo de entrada excede o fluxo de saída Um nó de transbordo é aquele em que o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída D A C B Cecília Rocha # 4 D A C E B E 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont. ) û î Problema do Caminho Mais Curto Consideremos uma rede ligada e não direccionada com 2 nós especiais – Origem e Destino. A cada ligação está associada uma distância não negativa O objectivo final será encontrar o percurso com menor distância entre a Origem e o Destino. û Algoritmo de Resolução Cecília Rocha # 5 O î Objectivo da n- ésima iteração Encontrar o n- ésimo nó mais próximo da Origem (repetir até que o n- ésimo nó seja o destino) î Dados para a n- ésima iteração Os n-1 nós mais próximos da Origem (determinados na iteração anterior e denominados nós resolvidos), incluindo o caminho mais curto determinado até ao momento e a correspondente distância à Origem î Candidatos ao nó mais próximo Cada nó resolvido está ligado por um arco a um ou mais nós por resolver dos quais se irá escolher um candidato com a menor distância para o arco de ligação î Cálculos para o nó mais próximo Para cada nó resolvido e respectivo candidato, adicionar a distância do caminho mais curto já determinado, entre a origem e este nó. O candidato com a menor distância total à origem será o n- ésimo nó mais próximo. 2 4 5 A 2 1 C B 7 3 4 4 E 1 D 7 5 T 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Exercício Exemplo û O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n. º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. A 2 7 2 5 O 4 B 1 û û 1 7 E O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n. º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: î î Cecília Rocha # 6 4 T D 3 4 C 5 î 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont. ) û î O 2 Exercício- Exemplo î 1ª Iteração Nó início Origem 4 Nó final A B C distância 2 5 (> 4) 4 î 2ª Iteração Nó início Origem/A Origem/C distância 2+2=4 2+7=9 4 + 1 = 5 (> 4) 4+4=8 î 3ª Iteração Nó início Origem/A/B Nó final C D E distância 4 + 1 = 5 (> 4) 4+4=8 4+3=7 1 Nó final Término D Término distância 8 + 5 = 13 (Fim) 7+1=8 7 +7 = 14 B 7 3 4 4 E 1 D 7 5 î 4ª Iteração Nó início Origem/A/B/D Origem/A/B/E Cecília Rocha # 7 A 2 C Nó final B D B E 5 T 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Problema do Caminho Mais Curto Exercício Uma pessoa que vive na Póvoa e trabalha no Porto pretende descobrir que o percurso que deverá seguir na viagem matinal para o seu emprego, de forma a minimizar a duração da viagem. Durante algum tempo, teve o cuidado de registar a duração da viagem ao longo das diferentes localidades intermédias. O resultado dessa análise está apresentado no quadro seguinte onde se representou por “-” a inexistência de estradas a ligar essas localidades. Qual será o percurso que essa pessoa seleccionou? Póvoa L 1 L 2 L 3 L 4 Porto Cecília Rocha # 8 Póvoa 18 32 - L 1 18 12 28 - L 2 12 17 32 L 3 32 28 17 4 17 L 4 4 11 Porto 32 17 11 - 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Problema da Árvore de Ligações Mínimas Consideremos uma rede ligada e não direccionada com 2 nós especiais – Origem e Destino. A cada ligação está associada uma distância não negativa O objectivo final será encontrar a árvore com menor comprimento total de ligações, de forma a que todos os pares de nós estejam ligados, se que seja criado algum ciclo. Num problema desta natureza não poderemos ter mais de n – 1 arcos (de outra forma estaríamos a formar um ciclo) Este tipo de problema pode ser utilizado, por exemplo, para resolver um problema de planeamento de transportes, no qual se pretendem servir diversas povoações garantindo o menor custo possível. Os dados de base seriam as localidades, a distância entre si e os meios de transporte disponíveis. Num caso genérico, começa-se por um nó escolhido arbitrariamente, procurando-se em seguida o arco com menor valor para o próximo nó. O passo seguinte consiste em identificar o nó não ligado que está mais próximo dos dois definidos inicialmente e adicionar o arco correspondente à rede. Este processo é repetido até se terem ligado todos os nós. A rede resultante será uma Árvore de Ligações Mínimas. Cecília Rocha # 10 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Exercício Exemplo û O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n. º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. A 2 7 2 5 O 4 B 1 û û 1 7 E O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n. º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: î î Cecília Rocha # 11 4 T D 3 4 C 5 î 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados pelos 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) O ûAlgoritmo de Resolução aplicado ao Problema do Parque Seervada 2 4 5 î 1ª Tarefa A Seleccionar um nó arbitrariamente (seja a Origem O) Ligá-lo ao nó mais próximo (A – 2, B – 5 ou C – 4), neste caso nó A 2 1 C B 7 î 2ª Tarefa (repetir até ter ligado todos os nós) Identificar o nó não ligado mais próximo de um nó já ligado B (BO = 5, BA = 2) BA C (CO = 4, CB = 1) CB E (EB = 3, EC = 4) EB D (DA = 7, DB = 4, DE = 1) T (TD = 5, TE = 7) 4 E 1 D DE 7 5 TD î Desempates Cecília Rocha # 12 3 4 Os desempates para seleccionar o nó mais próximo de um já ligado, pode ser quebrado arbitrariamente, dado que este procedimento não irá alterar o resultado final. No entanto pode ser indicativo da existência de múltiplas soluções óptimas. T 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Problema de Árvore de Ligações Mínimas Exercício Determine a Árvore de Ligações Mínimas para o seguinte problema e respectivo custo de ligação: E 10 7 A 2 8 B 5 1 1 D 4 10 3 4 C Cecília Rocha # 13 F 7 G 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Problema do Fluxo Máximo Com este tipo de problema pretende-se determinar as combinações de arcos que permitem maximizar o fluxo numa dada rede. Considerar uma rede direccionada e ligada, onde existe um nó de Origem – O, um nó de Destino – T e em que todos os outros nós são nós de transbordo. São dados do problema as capacidades de cada ligação e o objectivo final será determinar uma distribuição de fluxos admissível que maximiza o fluxo total na rede do nó de Origem ao nó de Destino. Depois de iniciar o processo de distribuição de fluxos, iremos obter uma Rede Residual, Residual onde se evidenciam os fluxos residuais que ainda podem ser transportados em cada ligação e que se representa da seguinte forma: A B O número à esquerda do arco refere-se à capacidade residual (que ainda pode ser transportada) do nó anterior para o seguinte. Antes de se iniciar a resolução deste tipo de problemas, propriamente dita, temos de transformar a rede inicial direccionada e ligada numa rede residual ligada, na qual à esquerda de cada arco temos a capacidade máxima do arco e à direita (lado da seta) o valor zero. Cecília Rocha # 15 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Problema do Fluxo Máximo Seguidamente, de cada vez que algum fluxo passa por esse arco é deduzido ao lado esquerdo e aumentado ao direito. Um Percurso Positivo é um percurso directo da Origem ao Destino, na Rede Residual, em que todos os arcos têm capacidade residual estritamente positiva. O mínimo destas capacidades residuais denomina-se capacidade residual do percurso positivo e corresponde ao fluxo que efectivamente pode ser transportado ao longo de todo esse percurso. î Algoritmo de Resolução 1. 2. 3. 4. Cecília Rocha # 16 Identificar um Percurso Positivo procurando uma sequência de arcos, da Origem ao Destino, cuja capacidade residual seja estritamente positiva Identificar a Capacidade Residual c* desse Percurso Positivo procurando o mínimo das capacidades residuais dos arcos que o constituem. Aumentar o fluxo na rede desse valor c* Deduzir a capacidade residual de cada arco de c*, à esquerda, nesse Percurso Positivo e adicionar a mesma quantidade ao lado direito. Voltar ao primeiro passo até distribuir o fluxo máximo pela rede. 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Exercício Exemplo û O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n. º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. A 5 3 1 7 O 4 B 2 û û 1 6 E O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n. º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: î î Cecília Rocha # 17 4 T D 5 4 C 9 î 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) Exercício- Exemplo î 1ª Iteração Problema Inicial O- A- D- T Rede Residual inicial O O 4 4 A 7 7 2 C 3 5 4 E D A 3 2 0 5 0 B C 4 0 0 0 6 D 0 E 2 0 5 0 B 4 0 1 0 0 6 9 6 0 0 4 0 1 2 0 B 3 A 1 E 5 0 4 4 fluxo: min(5, 3, 9) = 3 O 2 7 5 C Percurso 3 D 6 9 T Cecília Rocha # 18 0 T 0 0 T 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont. ) û Exercício- Exemplo î 1ª Iteração Percurso O- A- D- T O- C- E- T 2ª Iteração Percurso O- A- B- D- T 3ª Iteração fluxo: min (5, 3, 9) = 3 O 2 fluxo: min (2, 2, 4, 6) = 2 O 0 fluxo: min (4, 4, 6) = 4 O 0 4 4 7 C 2 5 E 0 0 6 D 3 E 2 0 5 2 B Cecília Rocha # 19 T 3 0 4 2 0 6 D 3 E 2 0 5 2 B 2 0 1 2 0 2 4 0 T 5 0 0 1 0 4 C 2 6 0 A 0 4 0 1 0 0 C 4 4 0 0 B 5 A 0 0 7 5 A 2 0 7 3 0 Percurso 3 D 4 4 T 5 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont. ) û Exercício- Exemplo î 3ª Iteração Percurso O- C- E- T T 4ª Iteração Percurso O- B- D- T 5ª Iteração Percurso O- B- E- D- fluxo: min (4, 4, 6) = 4 O 0 fluxo: min (7, 2, 4) = 2 O 0 fluxo: min (5, 5, 1, 2) = 1 O 0 0 0 7 5 0 C 2 5 E 0 4 2 0 2 D 3 E 2 0 5 2 B Cecília Rocha # 20 T 5 0 4 4 0 2 D 3 E 2 0 4 2 B 0 1 0 4 1 2 2 4 T 7 0 3 0 0 1 0 4 C 0 4 4 A 2 0 0 1 0 4 C 2 0 4 2 B 5 A 0 0 4 5 A 4 0 5 3 D 1 4 T 8 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont. ) û Exercício- Exemplo î 5ª Iteração Percurso O- B- E- D- T 6ª Iteração Percurso O- B- E- T Distribuição Final Fluxo fluxo: min (5, 5, 1, 2) = 1 fluxo: min (4, 4, 2) = 2 = 3+ 2+ 4 +2 +1 +2 = 14 O 0 0 O 0 4 0 2 5 0 C 2 4 E 0 4 4 1 2 D 3 2 0 2 E 2 B Cecília Rocha # 21 T 8 A 0 4 4 1 0 D 3 E 2 0 2 2 B 0 3 0 4 1 0 1 6 T 8 0 5 0 3 0 0 4 C 0 1 4 5 5 0 1 0 0 4 C 0 0 4 2 B 2 A 3 0 0 5 A 4 O 0 3 D 1 6 T 8 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL û 9ª Aula (cont. ) î Problema do Fluxo Máximo Exercício Determine o fluxo máximo que pode ser transportado nesta rede: D 8 8 A 10 7 B 10 10 C Cecília Rocha # 22 2001/2002