Giulio Tagliavini Massimo Regalli Corso di Economia degli

Giulio Tagliavini – Massimo Regalli Corso di Economia degli Intermediari Finanziari Elementi di matematica finanziaria utili alla comprensione di alcune parti del Corso 25/11/2020

Definizione di operazione finanziaria n Successione di importi di segno - e + da considerare congiuntamente ad una successione di tempi ai quali detti importi maturano, ovvero sono incassati se entrate o versati se uscite.

Il regime finanziario dell’interesse semplice n n n E’ noto che la disponibilità di un capitale altrui è un servizio vantaggioso avente un costo commisurato all’ammontare del capitale prestato nonché alla durata del prestito; L’uso di denaro altrui comporta la corresponsione di un compenso: l’interesse; Il debitore al termine del periodo di prestito dovrà quindi restituire un importo, detto Montante (M), pari a: Capitale prestato (C) + Interesse pattuito (I)

Il regime finanziario dell’interesse semplice n L’interesse (I) da aggiungere al capitale deve tenere conto: n della somma data a prestito; n della durata del prestito. n Per tenere conto del primo aspetto, l’interesse viene definito in termini % sul capitale prestato; n Per tenere conto del secondo elemento gli interessi così calcolati sono moltiplicati per la durata del prestito.

Il regime finanziario dell’interesse semplice n L’Interesse (I) da aggiungere al Capitale (C) è quindi dato da: I=Cxixt n Il Montante (M) diviene quindi: M = C + I = C + (C x i x t) n da cui, raggruppando, : M = C x (1 + i x t) n Questo è il regime finanziario di capitalizzazione semplice.

Il regime finanziario dell’interesse semplice n n Il problema può naturalmente essere inverso a quello considerato: noto il Montante (M) che una certa operazione assume ad una data futura, si cerca quale valore è corretto pretendere oggi (C - valore attuale) per la cessione del diritto di avere M a scadenza. In termini generali: C=M-I da cui: C=M-Cxixt ossia: C = M / (1 + i x t)

Il regime finanziario dell’interesse semplice n n n Esempio Capitale Investito (C) = 1. 000; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. La Vostra Idea ?

Il regime finanziario dell’interesse semplice Esempio n n n Capitale Investito (C) = 1. 000; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. Montante M = 1. 000 x (1 + 0, 12 x 3/12) = 1. 030. 000 Valore Attuale VA = 1. 030. 000 / (1 + 0, 12 x 3/12) = 1. 000

Il regime finanziario dello sconto commerciale n Si richiede una precisazione con riguardo all’operazione che ricerca il valore attuale (noto il montante a scadenza, si cerca il valore odierno equivalente); n Nella pratica commerciale, per le operazioni di sconto cambiario o di anticipazione su crediti, non si usa la formula appena vista (C = M / (1 + i x t)), ma: C=M-Mxixt= = M x (1 - i x t)

Il regime finanziario dello sconto commerciale n n n Esempio Capitale Investito (C) = 1. 030. 000; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. La Vostra Idea ?

Il regime finanziario dello sconto commerciale n n n Esempio Capitale Investito (C) = 1. 030. 000; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. 1 a soluzione (interesse semplice) VA = 1. 030. 000 / (1 + 0, 12 x 3/12) = 1. 000 2 a soluzione (interesse commerciale) VA = 1. 030. 000 x (1 - 0, 12 x 3/12) = 999. 100

Il regime finanziario della capitalizzazione composta n n In questo regime (capitalizzazione composta) gli interessi maturati alla fine del periodo di riferimento considerato vengono sommati al capitale di partenza divenendo anch’essi fruttiferi di interessi; La formula del Montante è: M = C x (1 + i)n n La formula del Valore Attuale è: VA = M / (1 + i)n

Il regime finanziario della capitalizzazione composta n n n Esempio Capitale Investito (C) = 1. 000; Periodo (t) = 3 anni; Tasso annuo (i) = 12%. La Vostra Idea ?

Il regime finanziario della capitalizzazione composta n n n Esempio Capitale Investito (C) = 1. 000; Periodo (t) = 3 anni; Tasso annuo (i) = 12%. Montante M = 1. 000 x (1 + 0, 12)3 = 1. 404. 928 Valore attuale VA = 1. 404. 928 / (1 + 0, 12)3 = 1. 000

Confronto fra i tre regimi

Confronto fra i tre regimi

Confronto fra i tre regimi

Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (montante)

Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (valore attuale)

Confronto fra i tre regimi: conclusioni di sintesi Montante n per durate inferiori all’anno: n montante più elevato: regime interesse semplice; n montante minore: regime interesse composto; n per durate superiori all’anno si invertono. Valore attuale n per durate inferiori all’anno: n sconto più elevato: regime sconto commerciale; n sconto minore: regime interesse composto. n per durate superiori all’anno: n sconto più elevato: regime sconto commerciale; n sconto minore: regime interesse semplice.

ALCUNE DEFINIZIONI

Tassi. . . di vario tipo Tasso annuo nominale convertibile n Il tasso al quale vengono calcolati effettivamente gli interessi è riferito ad 1/k di anno e si ottiene da quello nominale convertibile assegnato, dividendo per k. n Es. tasso annuo 12%; semestrale 6%; trimestrale 3%. Tassi equivalenti (1) n Tasso annuo e frazionario che producono, nella medesima unità di tempo, lo stesso risultato.

Tassi. . . di vario tipo Tassi equivalenti (2) n Formula per la definizione del tasso annuo; n Formula per la definizione del tasso frazionario

Tassi. . . di vario tipo Esempio: tassi equivalenti n n Tasso trimestrale del 2, 00% Quale il tasso annuo equivalente ? i = (1 + 0, 02)4 - 1 = 8, 24% n n Tasso annuo del 9, 38% Quale il tasso mensile equivalente ?