Lalgebra delle opzioni Giulio Tagliavini Universit di Parma

L’algebra delle opzioni Giulio Tagliavini Università di Parma

Premessa n n n Miscelando contratti a fermo e ad opzione è possibile organizzare posizioni speculative di significato molto vario. Nel seguito sono riassunte alcune indicazioni che riguardano la contabilizzazione e l'interpretazione delle posizioni create mediante combinazione di contratti semplici. Infatti, il significato reale di molte posizioni complesse molto facilmente sfugge se non viene utilizzata una precisa metodologia di controllo.

Obiettivo dello speculatore e blocchi elementari di lavoro. n L'obiettivo del trader è quello di organizzare un profilo di risultato sui vari prezzi possibili a termine che abbia caratteristiche di rischio/rendimento adeguate con: ] ] le previsioni circa la volatilità/stabilità del prezzo del titolo e circa le sue tendenze al rialzo ed al ribasso; la propria avversione al rischio, e quindi con la perdita massima che si ritiene di sopportare in ipotesi pessimistica.

Blocchi elementari n I blocchi elementari che possono essere composti nella posizione complessiva sono in numero piuttosto ridotto, e di interpretazione immediata: ] ] ] n n acquisto e vendita del titolo con esecuzione a pronti o a termine acquisto e vendita di contratti call alle varie basi acquisto e vendita di contratti put alle varie basi. Risulta molto significativo illustrare i blocchi elementari con riferimento ad un grafico sul cui asse delle ascisse si pongono i vari prezzi possibili del titolo alla data di valutazione della posizione speculativa. Sull'asse delle ordinate viene posto il guadagno e la perdita potenziale che si produce ai vari livelli di prezzo.

Grafici n Con riferimento ai blocchi elementari, l'osservazione dei grafici suddetti permette queste osservazioni: n n n il prezzo di esercizio dà luogo, nelle opzioni, a grafici di profitto “spezzati”; i contratti put danno luogo a grafici orizzontali a destra del prezzo di esercizio. A sinistra dello stesso danno luogo ad un linea crescente, in caso di vendita del contratto, o decrescente, in caso di acquisto; i contratti call danno luogo a grafici orizzontali a sinistra del prezzo di esercizio. A destra di tale prezzo danno luogo ad una linea crescente, in caso di acquisto, o decrescente, in caso di vendita; il grado di pendenza delle linee non orizzontali dipende dal numero di contratti che sono stati stipulati. Per contratti unitari la pendenza è 45 gradi. Contratti di ammontare maggiore danno luogo a pendenze più pronunciate; il contratto a fermo produce un grafico sempre inclinato, positivamente in caso di acquisto (posizione "lunga"), negativamente in caso di vendita (posizione "corta" ). Si mantiene la regola circa il grado di pendenza legato al numero di contratti conclusi. Risulta comodo indicare con O la pendenza orizzontale, con 1 la pendenza positiva procurata da un contratto (45 gradi), con -1 la pendenza negativa procurata da un contratto (- 45 gradi). 1 vuol dire che il guadagno cresce di 1 al crescere di 1 del prezzo.

Le formule necessarie n E' utile poi trascrivere in un linguaggio algebrico particolare i contratti base: n n n n acquisto put vendita put acquisto call vendita call acquisto a fermo vendita a fermo (-1, O) (E) ( 1, 0) (E) ( 0, 1) (E) ( 0, -1) (E) ( 1, 1) (S) (-1, -1) (S) Dove: n n E = prezzo di esercizio di ogni contratto S = è il prezzo di effettuazione del contratto a fermo

Posizione lunga Posizione corta (-1, -1) S (1, 1) S

Call comprato Call venduto (0, -1) E (0, 1) E

Put comprato (-1, 0) E Put venduto (1, 0) E

La combinazione dei blocchi di base n La notazione algebrica appena introdotta permette di controllare il significato di posizioni composte, in cui hanno effetto più contratti elementari. Un esempio semplifica la possibilità di "sommare" le singole posizioni di base.

ESEMPIO N. 1 n n n n n Lo speculatore acquista un contratto call base 1. 0 e vende un contratto put base 1. 0. Quale è il significato della posizione ? Ricorrendo alla notazione algebrica: acquisto del call (0, 1) (1. 0) vendita del put (1, 0) (1. 0) e sommando i due contratti posizione complessiva (1, 1) (1. 0) che si interpreta come un acquisto a fermo a prezzo uguale alla base comune. In questo caso le due "spezzature" dei profili elementari si compensano nella posizione complessiva in modo da formare una linea continua.

ESEMPIO N. 1 CON VARIAZIONE n n n n Se la base dei due contratti non fosse stata la stessa (ad esempio base del put = 1. 1) l'operazione di somma sarebbe stata effettuata con maggiore attenzione: acquisto del call (0, 1) (1. 0) vendita del put (1, 0) (1. 1) posizione complessiva (1, 2, 1) (1. 0, 1. 1) e con un criterio analogo in caso di basi invertite: acquisto del call (0, 1) (1. 1) vendita del put (1, 0) (1. 0) posizione complessiva (1, 0, 1) (1. 0, 1. 1)

LA SOMMA DELLE PENDENZE n n Il funzionamento di questa notazione si basa dunque sull'individuazione, mediante somma, della pendenza della posizione tra i vari prezzi a cui sono state fissate le basi dei contratti elementari. L'algebra delle opzioni può essere utilizzata per interpretare la somma di svariati contratti che sono in essere o, partendo dal punto di vista opposto, per tradurre nei contratti necessari una posizione che viene immaginata nel suo complesso. L'esempio numero 2 parte dalla considerazione della posizione complessiva.

ESEMPIO N. 2 n n n Si vuole "montare" la posizione speculativa descritta in questo modo (la posizione è denominata nel gergo butterfly spread): (0, 1, -1, 0) (1. 0, 1. 2, 1. 3) Si noti che il numero dei prezzi nella seconda parentesi è uguale al numero dei cambi di pendenza, e quindi al numero delle inclinazioni della prima parentesi diminuito di uno. Ciò è ovvio: per ottenere il cambio di pendenza occorre un contratto a premio e farne corrispondere la base.

PER COSTRUIRE LA POSIZIONE n n n n Per costruire la posizione si possono comporre i seguenti contratti: A = acquisto V = vendita A 1 call base 1. 0 (0, 1, 1, 1) (1. 0, E , E) V 2 call base 1. 2 (0, 0, -2) ( E, 1. 2, E) posizione intermedia (0, 1, -1) (1. 0, 1. 2, E) A 1 call base 1. 3 (0, 0, 0, 1) ( E, E, 1. 3) posizione finale (0, 1, -1, 0) (1. 0, 1. 2, 1. 3)

ALTERNATIVA n n n n ma è possibile anche la seguente soluzione: A 1 put base 1. 3 (-1, -1, 0) ( E, E, 1. 3) V 2 put base 1. 2 (+2, 0, 0) ( E, 1. 2, E) posizione intermedia ( 1, 1, -1, 0) ( E, 1. 2, 1300) A 1 put base 1. 0 (-1, 0, 0, 0) (1. 0, E, E) posizione finale ( 0, 1, -1, 0) (1. 0, 1. 2, 1. 3) La prima soluzione "sistema" la posizione da sinistra, partendo da basi basse, ed utilizza contratti call. La seconda soluzione, da destra, utilizza contratti put.

ULTERIORE ALTERNATIVA n Sono possibili soluzioni ancora diverse, ad esempio: V 1 fisso (-1, -1, -1) ( E, E, E) A 1 call ( O, 0, 0, +1) ( E, E, 1. 3) V 2 put (+2, 0, 0) ( E, 1. 2, E) A 1 put (-1, 0, 0, 0) (1. 0, E, E) n posizione n n ( 0, 1, -1, 0) (1. 0, 1. 2, 1. 3)

Rilevanza della molteplicità delle soluzioni n n n Se la stessa posizione speculativa può essere organizzata in modi diversi ne consegue che tali diversi modalità dovrebbero avere il medesimo costo. Se così non fosse, potremmo acquistare la soluzione meno costosa e vendere quella a prezzo più alto. La differenza positiva tra i due prezzi sarebbe l'utile del nostro arbitraggio. Gli esiti delle due posizioni, per definizione identiche, si compensano esattamente, in quanto una è stata venduta e l'altra acquistata. La convenienza per l'acquisto della soluzione meno costosa tende a rafforzare su di essa la domanda. La conseguente crescita del costo dei premi utilizzati dovrebbe spingere ad un riequilibrio ed all'annullamento delle convenienze per l'arbitraggio. L' investitore di borsa può dunque valutare le differenze di costo tra modalità diverse di montaggio della stessa posizione. In un mercato perfetto tutte le diverse modalità hanno il medesimo costo. Nella realtà, i costi di transazione, i tempi di reazione non immediati, la diversità dell’ammontare dei capitale investiti riducono la convenienza di arbitraggi estremamente sofisticati in presenza di squilibri di importo non rilevante.

L'altezza del profilo di risultato n n n Il grafico di risultato della posizione speculativa può essere gestito nel senso che si può imprimergli la successione di pendenze che più soddisfa i desideri e la fantasia dell'investitore. La dislocazione del profilo di risultato rispetto agli assi, e quindi l'utile e la perdita da contabilizzare nei singoli esiti del mercato, non possono però essere ovviamente decisi dall'investitore, ma sono intrinseche nelle condizioni di mercato. In altri termini, la decisione di acquistare (vendere) una opzione per imprimere una certa modificazione di pendenza è subordinata alla verifica che il costo (ricavo) sia soddisfacente e accettabile.

GUADAGNI E PERDITE n Le varie configurazioni del profilo di risultato inevitabilmente presentano tratti di guadagno e tratti di perdita. Gli sforzi per allargare l'area di guadagno procurano sempre l'aumento delle perdite in altre situazioni di mercato.

La trasformazione dei contratti n n n La possibilità di organizzare profili di speculazione in modo alternativo è particolarmente interessante per quei contratti complessi che vengono venduti sul mercato già assemblati. Tali profili di risultato vengono richiesti con una certa regolarità ed allora alcuni operatori (i trasformatori delle opzioni) si assumono il compito di vendere sul mercato la posizione assemblata per acquistare le componenti o viceversa. La differenza di costo tra il contratto sintetico e le sue componenti è rilevante per il trasformatore e per l'acquirente che può decidere di rivolgersi al mercato delle componenti, se la differenza di prezzo è sufficientemente interessante.

Le modalità di costruzione delle posizioni speculative n Nel seguito sono indicate le più importanti equivalenze tra opzioni e sono illustrati numerosi contratti complessi. Oltre a contratti complessi sono descritte posizioni speculative non offerte in modo diretto; esse possono essere organizzate solo partendo dalle componenti di base. Molte di esse non sono utilizzate dagli operatori nazionali.

TRASFORMAZIONE DEI CONTRATTI A FERMO n n n TITOLI SINTETICI A fisso ( 1, 1) V fisso (-1, -1) = = A call ( O, 1) (E) V call ( 0, -1) (E) V put ( 1, 0) (E) A put (-1, 0) (E)

TRASFORMAZIONE DEI PREMI A FACOLTA' SEMPLICE n n n n n A call ( 0, 1) (E) = A fisso ( 1, 1) A put (-1, 0) (E) = V fisso (-1, -1) A call ( 0, 1) (E) V call ( 0, -1) (E) = V fisso (-1, -1) V put ( 1, 0) (E) = A fisso ( 1, 1) V call ( 0, -1) (E)

TRASFORMAZIONE DEI PREMI A FACOLTA' COMPOSTA NEGOZIATI SUL MERCATO ITALIANO - STELLAGE n n n A stellage (-1, +1) (E) V stellage (+1, -1) (E) = = A put (-1, 0) (E) V put ( 1, 0) (E) A call ( 0, 1) (E) V call ( 0, -1) (E) = = A fisso ( 1, 1) V fisso (-1, -1) A 2 put (-2, 0) (E) V 2 put ( 2, 0) (E) = = V fisso (-1, -1) A fisso ( 1, 1) A 2 call ( 0, 2) (E) V 2 call ( 0, -2) (E) (lo stellage viene denominato straddle sui mercati anglosassoni)

STRIP n n n n n A strip (-2, l) (E) = A 2 put (-2, O) (E) A 1 call ( 0, l) (E) = A 3 call ( 0, 3) (E) V 2 fisso (-2, -2) = A 1 fisso ( l, l) (E) A 3 put (-3, 0) (E) V strip ( 2, -1) (E) = V 2 put ( 2, 0) (E) V 1 call ( 0, -1) (E) = V 3 call ( 0, -3) (E) A 2 fisso ( 2, 2) = V 1 fisso (-1, -1) (E) V 3 put ( 3, 0) (E)

STRAP n n n n n A strap (-l, 2) (E) = A 1 put (-l, 0) (E) A 2 call ( 0, 2) (E) = A 3 call ( 0, 3) (E) V 1 fisso (-1, -1) = A 2 fisso ( 2, 2) (E) A 3 put (-3, 0) (E) V strap ( 1, -2) (E) = V 1 put ( l, 0) (E) V 2 call ( 0, -2) (E) = V 3 call ( 0, -3) (E) A 1 fisso ( l, l) = V 2 fisso (-2, -2) (E) V 3 put ( 3, 0) (E)

ALTRE POSIZIONI SPECULATIVE L'ACQUISTO DI UN VERTICAL SPREAD (al rialzo) n n n n Lo spread combina l'acquisto e la vendita di opzioni dello stesso tipo. Lo spread verticale combina premi con diversa base e stessa scadenza; lo spread orizzontale combina diverse scadenze ma la stessa base; lo spread diagonale combina diverse basi e scadenze. Nel seguito sono analizzati solo contratti con medesima scadenza, e quindi spread verticali. A vertical spread ( 0, l, 0) (e, E) = A 1 put base bassa (-l, 0, 0) (e) V 1 put base alta ( l, l, 0) (E) = A 1 call base bassa ( 0, l, l) (e) V 1 call base alta ( 0, 0, -1) (E)

LA VENDITA DI UN VERTICAL SPREAD (al ribasso) n n n n V vertical spread ( 0, -1, 0) (e, E) = V 1 put base bassa ( 1, 0, 0) (e) A 1 put base alta (-1, 0) (E) = V 1 call base bassa ( 0, -1) (e) A 1 call base alta ( 0, 0, 1) (E)

L' ACQUISTO DI UN CALL NEUTRAL RATIO VERTICAL SPREAD n n n (Rispetto alle posizioni precedenti vengono combinate call per quantitativi diversi. ) A neutral ratio v. spread ( 0, 2, -1) (e, E) = A 2 call base bassa ( 0, 2, 2) (e) V 3 call base alta ( 0, 0, -3) (E)

L' ACQUISTO DI UN PUT NEUTRAL RATIO VERTICAL SPREAD n n A neutral ratio v. spread = A 2 put base alta V 3 put base bassa ( 1, -2, 0) (e, E) (-2, 0) (e) ( 3, 0, 0) (E)

STRANGLE n n ACQUISTO VENDITA (-1, 0, 1) (e, E) ( 1, 0, -1) (e, E)

BUTTERFLY SPREAD n n ACQUISTO VENDITA ( 0, 1, -1, 0) (el, e 2, e 3) ( 0, -1, +1, 0) (el, e 2, e 3)

Straddle - Stellage Butterfly Strangle

FASTER BREAKEVEN CALL n n ACQUISTO ( O, 2, 1) (e, E) anticipa l'area di guadagno al rialzo a condizioni di costo ridotto

FASTER BREAKEVEN PUT n n ACQUISTO (-2, -1, 0) (e, E) anticipa l'area di guadagno al ribasso a condizioni di costo ridotto

CONDOR n n ACQUISTO ( 0, 1, 0, -1, 0) (el, e 2, e 3, e 4) VENDITA ( 0, -1, 0, 1, 0) (el, e 2, e 3, e 4)

PTERODATTILO n n n ACQUISTO ( 0, -1, 2, -1, 0) (el, e 2, e 3, e 4) (al rialzo) VENDITA ( 0, 1, -2, 1, 0) (el, e 2, e 3, e 4) (al ribasso) (sono uno spread tra butterfly)

La scelta del profilo di risultato e l'impostazione della strategia di investimento n n n n Nella tabella seguente sono riassunte alcune indicazioni per l'utilizzo dei profili di risultato prima descritti. convenienza Strategia ribasso rialzo profitto perdita forte debole forte max A fermo ****** I I V fermo ****** I I A call ****** I L V call ****** L I A put ****** I L V put ****** L I A stellage ********* I L V stellage **** L I A strip ********* I L V strip ******* L I A strap ********* I L V strap ******* L I

La scelta del profilo di risultato e l'impostazione della strategia di investimento n n n n n Nella tabella seguente sono riassunte alcune indicazioni per l'utilizzo dei profili di risultato prima descritti. convenienza Strategia ribasso rialzo profitto perdita forte debole forte max A vertical spread ***** L L V vertical spread ****** L L A strangle ***** I L V strangle **** L I A butterfly ***** L L V butterfly **** L L A call neutral rvs ****** I L V call neutral rvs ******* L I A put neutral rvs ****** I L V put neutral rvs ******* L I A faster b call ******* L I A faster b put ****** I L A condor **** V condor ***** A pterodattilo ****** V pterodattilo ******