Fogalmak ttelek elksztse feladatsorozatokkal Kosztolnyi Jzsef SZTE Bolyai

Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal Kosztolányi József SZTE Bolyai Intézet kosztola@math. u-szeged. hu RLV, Székesfehérvár 2017. július 5.

MOTTÓ: „Az átlagember számára a függvényfogalom fantasztikus rémregénynek vagy érthetetlen szakzsargonnak tűnik. Ennek nem az az oka, hogy a nem szakmabeli nem tud absztrahálni, hanem egyszerűen nincsenek olyan tapasztalatai, amelyek alapján absztrahálni tudott volna. Semmi okunk nincs annak feltételezésére, hogy az átlagember nem tudja megtanulni a matematikát, nem értünk egyet azzal az elterjedt felfogással, hogy a matematikai képesség csak keveseknek adatik meg. ” (Dienes Zoltán) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 2

1. A FOGALOMALKOTÁSRÓL ÁLTALÁNOSAN (vázlat) FOGALOM: Valamely dolog valamilyen szempontból lényeges jegyeit összefoglaló gondolategység. (Ez nem definíció!) Egy fogalom jellemzői: n tartalma (lényeges jegyek, tulajdonságok) n terjedelme (azon dolgok összessége, amelyek rendelkeznek a lényeges jegyekkel) Példa: trapéz Ezeket a fogalom definíciójával adhatjuk meg a legtömörebb formában. A fogalomalkotás fajtái (Dörfler): n empírikus n teoretikus (tudományos) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 3

EMPÍRIKUS FOGALOMALKOTÁS Tapasztalatok, közös tulajdonság felismerése „objektumokban” ↓ Közös tulajdonság kiemelése, elsőrendű absztrakció ↓ A kiemelt közös tulajdonság alapján osztályba sorolás ↓ Elsődleges fogalomalkotás, megnevezés, definíció (példák, ellenpéldák) ↓ Az elsődleges fogalom alkalmazása újabb (alá- vagy fölérendelt) osztályok, fogalmak további absztrakcióval történő megalkotásához ↓ Másodlagos fogalmak ↓ … ↓ Magasabb rendű fogalmak, fogalmi struktúrák (szkémák) kialakulása, hierarchikus rendszer Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 4

TEORETIKUS (TUDOMÁNYOS) FOGALOMALKOTÁS Alapfogalmak és axiómák (alapfogalmak között fennálló kapcsolatok, műveletek, relációk) ↓ Deduktív módon új műveletek, relációk, „objektumok” ↓ Általánosítás, absztrakció ↓ Új fogalmak definíciói ↓ … ↓ Fogalmi struktúrák (szkémák) kialakulása, hierarchikus rendszer Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 5

2. A FOGALMAK TANÍTÁSÁRÓL ÁLTALÁNOSAN Két alapelv (R. R. Skemp): 1. „Definíció segítségével senkinek nem közvetíthetünk az általa ismerteknél magasabb rendű fogalmakat, hanem csakis oly módon, hogy megfelelő példák sokaságát nyújtjuk. ” 2. „Minthogy a matematikában az előbb említett példák majdnem mind különböző fogalmak, ezért mindenekelőtt meg kell győződnünk arról, hogy a tanuló már rendelkezik ezekkel a fogalmakkal. ” Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 6

A FOGALMAK BEVEZETÉSÉNEK MÓDJAI n Induktív út Az empírikus fogalomalkotás „menete” alapján: konkrét példák → összehasonlítás → közös tulajdonság kiemelése → absztrakció → általánosítás → definíció n Deduktív út általános definíció → a definíció elemzése → példák, ellenpéldák a definíció által meghatározott fogalomra → a definíció „működtetése” n Konstruktív út a fogalom egy konkrét reprezentánsának előállítása → az eljárás általánosítása → definíció Példa: prímszám fogalma Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 7

ÁLTALÁNOS MEGJEGYZÉSEK A MÓDSZERRŐL n Közoktatásban (általános és középiskola) a fogalmak bevezetésének induktív és konstruktív módja javasolt. n Egy matematikai fogalom bevezetéséhez biztosítani kell a tanuló számára a szükséges tapasztalati forrásokat (lehetőleg „hétköznapi”, a tanuló életkorának megfelelő példákat, ellenpéldákat). n Láttatni kell a szükségességét. n Nem a fogalom definíciója, hanem annak alkalmazása fontos elsősorban. n A fogalom bevezetésének és „működtetésének” folyamata tanulói aktivitás „mentén” történjen. Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal tanulóval a fogalom bevezetésének 8

3. A FÜGGVÉNY FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA A FÜGGVÉNYTANÍTÁS SZINTJEI (Peller József): 1. Egyszerű kapcsolatok, relációk, mozgások (folyamatok, változások), hozzárendelések megfigyelése, közvetlen vizsgálata. 2. Egyszerű kapcsolatok, relációk, mozgások (folyamatok változások), hozzárendelések különböző módokon történő matematikai leírása, elemzése, összehasonlítása, a függvény fogalmának „absztrahálása”. 3. Egyszerű (elemi) függvények mint „matematikai objektumok” szemléleten alapuló (intuitív) vizsgálata. A függvények vizsgálatához szükséges kapcsolódó fogalmak kialakítása. Függvények képzése, alkalmazása. 4. A bevezető analízis alapvető fogalmainak (határérték, folytonosság, differenciálhányados, integrál) bevezetése, alkalmazása függvények vizsgálatára, függvényekhez kapcsolódó problémák megoldására. Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 9

PÉLDÁK AZ 1. ÉS A 2. SZINT TANÍTÁSÁHOZ 1. SZINT 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Egyszerű kapcsolatok, relációk, mozgások (folyamatok, változások), hozzárendelések megfigyelése, közvetlen vizsgálata. Családi kapcsolatok (testvér, szülő, nagyszülő); egyszerű hozzárendelések (édesapja, édesanyja, nagypapája, nagymamája, férje, felesége, testvére, stb. ) Különböző dolgok (pl. játékok) párba rendezése (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetése) – melyikből van több? Kössük össze rajzban az egymásnak megfelelőket (pl. állatok – kedvenc eledelük; évszakok – megfelelő öltözet; stb. ) Sorba rendezések (emberek: életkor vagy testmagasság alapján; járművek: gyorsaság alapján, stb. ) Mozgó test pályájának megfigyelése – következtetések levonása. Testmagasság mérése kicsi kortól, bizonyos időközönként bejelölés, tendencia megállapítása. Luca-búza – növekedés megfigyelése, lejegyzése. „Naptár-szalag”, nevezetes napok bejelölése. Napirend – időpontokhoz, időintervallumokhoz tevékenység hozzárendelése. Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 10

2. SZINT Egyszerű kapcsolatok, relációk, mozgások (folyamatok változások), hozzárendelések különböző módokon történő matematikai leírása, elemzése, összehasonlítása, a függvény fogalmának „absztrahálása”. 1. „Átalakító gépek” (a példa Pálfalvi Józsefné Matematika didaktikusan című könyvéből van) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 11

2. Adott területű téglalapok kerülete (Dienes Zoltán) Példa a) Állítsuk elő az összes 36 egységnégyzet területű, egész oldalhosszúságú téglalapot. Rendeljük mindegyikhez a kerületét. Készítsünk táblázatot. b) Írjuk fel az egyes téglalapok mindegyikére a sorok számának (s) függvényében az oszlopok számát (o) és a kerületet (K). c) Általánosítsunk nem egész oldalhosszúságú téglalapokra. Egészítsük ki a táblázatot. Megoldás a) Sorok száma 1 2 3 4 6 9 12 18 36 Kerület 74 40 30 26 24 26 30 40 74 b) o=36/s, K=2 s+(72/s) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 12

Javaslatok további példa típusokra 3. Grafikonok, táblázatok elemzése szélsőértékek leolvasása). 4. Geometriai természetű (ponthoz hozzárendelések, transzformációk. 5. Statisztikai táblázatok, diagramok vizsgálata, elemzése. 6. Változatos példák különböző hozzárendelés típusokra (nem egyértelmű, egyértelmű – szürjektív, injektív, bijektív). 7. Adott képlethez grafikon, táblázat készítése, és fordítva: grafikonhoz, táblázathoz képlet. (pl. telefondíj diagram) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal (növekedés, fogyás, pontot rendelő) 13

4. Háromszög súlyvonala, súlypontja; a megfelelő tétel. Adott egy tetszőleges ABC háromszög. Szerkesszünk az A csúcsán keresztül egy 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. olyan egyenest, amelyik felezi a háromszög területét. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507197) Szerkesszünk az A csúcson keresztül olyan egyenest, amely harmadolja (2 : 1 arányban osztja) a háromszög területét. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507199) Az 1. feladatban kapott felező egyenes háromszögbe eső szakaszán keressünk olyan P pontot, amelyre az ABP háromszög területe harmada az ABC háromszög területének. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507201) Mit mondhatunk az APC háromszög területéről? És a BCP háromszög területéről? Van-e még másik, a P-hez hasonló tulajdonságú pont a háromszög belsejében? (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507203) Mit kapunk, hogy ha az 1. feladatban nem az A, hanem a B vagy a C csúcsból indulunk ki? (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507205) A fogalmak definiálása, a tétel kimondása. Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 14

5. Pitagorasz-tétel felfedeztetése területekkel, tangrammal n n Négyzetrácsos papíron „ferde” négyzetek területének meghatározása. Átdarabolások, tangram a „szokásos” hindu bizonyítás felé. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/145851) A fentitől eltérő átdarabolások, tangramok. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507257) n Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 15

6. A vektor fogalmának kialakítása n n 1. 2. 3. 4. A Kerettanterv 7 -8. évfolyamra ennyit ír: „Eltolás, a vektor fogalma. ” Vektor ≠ irányított szakasz Hagyományosan a párhuzamos eltolást vektorral adjuk meg → fordítás: a párhuzamos eltolás segítségével vezessük be a vektor fogalmát. A síkbeli egybevágósági transzformációk taníthatók a tengelyes tükrözések segítségével: Tengelyes tükrözés és tulajdonságai. Két egymásra merőleges tengelyes tükrözés egymásutánja → középpontos tükrözés (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507233) Két metsző (tetszőleges szöget bezáró) tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánja (szorzata) → pont körüli forgatás. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507235) Két párhuzamos tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánja (szorzata) → párhuzamos eltolás. (http: //tananyag. geomatech. hu/material/simple/id/507237) Kérdés 2 -4. esetében: Hogyan adható meg másként a transzformáció? Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 16

A vektor fogalom bevezetésének lépései 1. 2. 3. 4. 5. A párhuzamos eltolást egyértelműen meghatározza egy pont és a második tükrözés után kapott képe → irányított szakasz: egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük → kezdőpont, végpont. Irányított szakaszok egyenlősége (szemléletesen). Minden irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. Analógia: közönséges törtek (racionális számok). Az egymással egyenlő irányított szakaszok ugyanazt a vektort határozzák meg → ekvivalencia osztály. Nullvektor, ellentett vektor, vektorok összege a párhuzamos eltolás alapján. Vektorok különbsége, számszorosa az összegből. (Vektorok a koordináta-rendszerben. ) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 17

7. Valószínűség, várható érték n Tippelések véletlen jelenségek előtt. Példa: Van öt számkártyánk, azokon rendre a 3, 4, 5, 6, 7 számok. Lefelé fordítjuk őket, és találomra kihúzunk hármat. A második húzás után meg kell tippelni, hogy az összeg páros vagy páratlan lesz. Mire van nagyobb esélyünk, ha a) a kihúzott két kártyán páratlan számok állnak; b) a két kihúzott kártyán egy páratlan és egy páros szám áll; c) mindkét kártyán páros szám van? n Valószínűségi kísérletek. Példa: Egy háromgyerekes családban az esti vacsorához az egyik gyerek szokott teríteni. A szülők úgy osztották be a gyerekeket, hogy azok adott sorrendben következnek egymás után, és ez mindig ismétlődjön. A két nagyobb gyerek ezen változtatni akart, és elhatározták, hogy két szabályos, egyforma pénzérme segítségével döntik el minden este, hogy ki terít. Valamelyikük egyszerre feldobja a két érmét, és ha azok mindketten írásra esnek, akkor a legöregebb, ha mindketten fejre esnek, akkor a középső, ha pedig az egyik írásra, a másik fejre esik, akkor a legkisebb terít. Mit gondolsz erről a döntési módszerről? Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 18

n Várható nyeremény, játékok igazságossága. Feladatsorozat: 1. Aladár és Béla egy szabályos dobókockával játszanak. Mindketten betesznek 100100 Ft tétet, majd egyikük feldobja a kockát. Ha a dobás páros, akkor Aladár nyer, ha páratlan, akkor Béla. Igazságos-e a játék? 2. A játék ugyanaz, mint az előbb (egy kocka, egy dobás), csak most nem tesznek be tétet. Ha a dobás hatos, akkor Aladár kap Bélától 500 Ft-ot, ha nem hatos, akkor Béla kap Aladártól 100 Ft-ot. Igazságos-e a játék? 3. A játék ugyanaz. Ha a dobás 1 vagy 2, akkor Aladár nyer 100 Ft-ot, ha 4, 5 vagy 6, akkor szintén Aladár nyer, de ekkor 200 Ft-ot. 3 -as dobás esetén Béla nyer 500 Ft-ot. Igazságos-e a játék? 4. A játék ugyanaz. Ha a dobás páros, Aladár nyer, ha páratlan, akkor Béla. A nyertes minden esetben annyiszor 100 Ft-ot kap a vesztestől, amennyi a dobott szám. Igazságos-e a játék? 5. A játék most is egy kockával zajlik, de most kétszer dobnak egymás után, és van tét: Aladár tétje 100 Ft, Béla tétje 200 Ft. Aladár nyer, ha a két dobás közül legalább az egyik 6 -os, ellenkező esetben Béla nyer. Igazságos-e a játék? 6. Most a fiúk két kockával dobnak egyszerre. Aladár tétje 1000 Ft, Béla tétje 800 Ft. Aladár nyer, ha a két dobás értékének összege 8 -nál kevesebb, ellenkező esetben Béla nyer. Igazságos-e a játék? Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 19

ZÁRÓGONDOLATOK: „A definíció és a fogalom tartalmának értése nélkül pedig csak azok a tanulók tudnak továbblépni, akik például „jegelni tudják” egy-egy fogalom meg nem értését, és szimbolikusan tudnak vele tovább dolgozni. Erre azért néhányan képesek. A többség pedig a tanár segítségével érti meg a fogalmat, a nehéz definíció ellenére is. ” (Szendrei Julianna) „Helyesen tesszük tehát, ha mindig igyekszünk megtalálni a szavak mögött a jelentést és a tényeket. Amikor a matematikus visszatér a definíciókhoz, a szakkifejezések mögött a matematikai tárgyak valóságos összefüggéseit akarja megragadni, éppúgy, ahogy a fizikus kísérleteket keres a fizikai szakkifejezések mögött, a hétköznapi ember pedig józan eszével a puszta tényeket keresi, és nem akarja, hogy üres szavakkal bolonddá tegyék. ” (Pólya György) „A tudományos fogalom elsajátítása körülbelül úgy különbözik a köznapi fogalom elsajátításától, mint az idegen nyelv iskolai elsajátítása az anyanyelv elsajátításától. ” (Lev Szemjonovics Vigotszkij) Fogalmak, tételek előkészítése feladatsorozatokkal 20