E E Dona Antnia Valadares MATEMTICA ENSINO MDIO

E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO REVISÃO –GEOMETRIA 2ª PARTE: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO C tet ob Cateto a Ca Altura h A m H Prof: Alexsandro de Sousa B n Hipotenusa c

ELEMENTOS DE UM TRI NGULO RET NGULO O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A. A ( é reto) c B O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados catetos. b a a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos Prof: Alexsandro de Sousa C

Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa. m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. c b h n m a Prof: Alexsandro de Sousa

A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH. A h B Prof: Alexsandro de Sousa H C

1ª relação métrica A A b c h h m n B Prof: Alexsandro de Sousa H H C

2ª relação métrica A A b b c h m B a Prof: Alexsandro de Sousa C H C

3ª relação métrica A A b c c h n B H B a C b h c n c Prof: Alexsandro de Sousa a

4ª relação métrica A A b c c h n B H B a C b h c n c Prof: Alexsandro de Sousa a

Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica) c b h n Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se: m a 2ª relação: b² = m. a 3ª relação: c² = n. a Observe que a = m + n Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados catetos. Prof: Alexsandro de Sousa

Prof: Alexsandro de Sousa

Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são: h 2 = mn c b h c 2 = am b 2 = an ah = bc m n a a=m+n Prof: Alexsandro de Sousa a 2 = b 2 + c 2

Exemplos 1 – Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm? Resolução: Seja um quadrado de lado 5 cm. A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. x 5 cm Observe: Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: x 2 = 52 + 52 x 2= 25 + 25 x 2 = 50 x = 5 5 cm Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: d=l 2 Prof: Alexsandro de Sousa 13

2 – Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Resolução: Seja um triângulo equilátero de lado 10 cm. A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe: Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo 10 cm destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 10 cm 102 = x 2 + 52 O outro cateto mede 5 cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo: 10 cm 100 = x 2 + 25 x 2 = 100 – 25 x = 75 x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: . Prof: Alexsandro de Sousa

A 3 – Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6 cm e AC = b = 8 cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela. b c h B m n H Resolução: A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. Por Pitágoras, temos : a 2 = 82 + 62 a 2 = 64 + 36 a 2 = 100 a = 10 c 2 = a. m 62 = 10. m 36 = 10. m m = 36/10 m = 3, 6 cm b 2 = a. n 82 = 10. n 64 = 10. n n = 64/10 m = 6, 4 cm h 2 = m. n h 2 = 3, 6. 6, 4 h 2 = 23, 04 h = 4, 8 h. a = b. c h. 10 = 8. 6 h. 10 = 48 h = 48/10 h = 4, 8 Prof: Alexsandro de Sousa C