E E Dona Antnia Valadares MATEMTICA ENSINO MDIO

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E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Quadrática PROFESSOR:

E. E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Quadrática PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA http: //donaantoniavaladares. comunidades. net

Prof: Alexsandro de Sousa

Prof: Alexsandro de Sousa

FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja a, b e c números reais e a ≠ 0. A

FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja a, b e c números reais e a ≠ 0. A função f : R → R tal que para todo x Є R, é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. • a) y = x² + 3 x + 2 ( a=1; b=3; c=2 ) • b) y = x² ( a=1; b=0; c=0 ) • c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 ) Prof: Alexsandro de Sousa

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Prof: Alexsandro de Sousa

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Prof: Alexsandro de Sousa

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa. Prof: Alexsandro de Sousa

Função Quadrática • Há várias situações do dia-a-dia em que a função quadrática está

Função Quadrática • Há várias situações do dia-a-dia em que a função quadrática está presente. ØEngenharia ØArquitetura ØFísica ØBiologia ØEsporte ØIndústria/ comércio ØComunicações Prof: Alexsandro de Sousa

Natureza Prof: Alexsandro de Sousa

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Esporte Prof: Alexsandro de Sousa

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Nas Comunicações Antena de Satélite Prof: Alexsandro de Sousa

Nas Comunicações Antena de Satélite Prof: Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura Forno Solar França Ponte 25 de Abril - Portugal Prof: Alexsandro de

Na Arquitetura Forno Solar França Ponte 25 de Abril - Portugal Prof: Alexsandro de Sousa Murphy Center at Asphalt Green - EUA Ponte em concreto armado

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA - CONSTRUÇÃO • y = x 2. y 5

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA - CONSTRUÇÃO • y = x 2. y 5 x y = x 2 4 – 2 4 3 – 1 1 2 0 0 1 1 2 4 1 x – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 – 1 – 2 Im = [0, +∞[ Prof: Alexsandro de Sousa y = x 2 Mínimo = 0

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA - CONSTRUÇÃO • y = – x 2. x

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA - CONSTRUÇÃO • y = – x 2. x y y = – x 2 – 4 – 1 0 0 1 – 1 2 – 4 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 – 1 – 2 – 3 – 4 Im = ]– ∞, 0] Prof: Alexsandro de Sousa x 0 y = – x 2 Máximo = 0

Exemplo: f(x) = X -2 -1 0 1 2 Y 5 0 -3 -4

Exemplo: f(x) = X -2 -1 0 1 2 Y 5 0 -3 -4 -3 Prof: Alexsandro de Sousa .

A análise dos gráficos anteriores nos sugere um caso geral em relação a todas

A análise dos gráficos anteriores nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c. • Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. • O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. • A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. • O gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, c) • O gráfico intercepta o eixo x nas raízes da função • Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. • Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo. Prof: Alexsandro de Sousa

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA f(x)= a. x 2 + b. x + c

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA f(x)= a. x 2 + b. x + c y Eixo de simetria c x =0 f(0) = c TERMO INDEPENDENTE xv x 1 y =0 x x 2 yv RAÍZES Prof: Alexsandro de Sousa VÉRTICE (xv; yv)

Concavidade da parábola Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para

Concavidade da parábola Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Prof: Alexsandro de Sousa Quando a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Raízes da função quadrática Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau

Raízes da função quadrática Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função as soluções da equação do 2º grau, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: S = x 1+x 2 = -b a P = x 1. x 2 = c a sendo: Prof: Alexsandro de Sousa

Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido

Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; quando é zero, há só uma raiz real; quando é negativo, não há raiz real. Prof: Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δ>0 Δ<0 a>0 a<0 Prof: Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δ>0 Δ<0 a>0 a<0 Prof: Alexsandro de Sousa

Vértice da parábola O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por

Vértice da parábola O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas. A ordenada do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO, . Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO, . y y Valor máximo 0 . x Valor mínimo Prof: Alexsandro de Sousa . 0 x

Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada

Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: y a>0 a<0 x y x Prof: Alexsandro de Sousa

Exemplo: O vértice da parábola de equação é dado por V , em que:

Exemplo: O vértice da parábola de equação é dado por V , em que: e Portanto, o vértice da parábola é o ponto v(3, -4). 5 1 -4 Prof: Alexsandro de Sousa 3 5

Função Quadrática f(x)= x 2 – 8 x + 12 y a > 0

Função Quadrática f(x)= x 2 – 8 x + 12 y a > 0 12 x =0 f(0) = 12 4 2 RAÍZES VÉRTICE Prof: Alexsandro de Sousa - 4 6 x

Função Quadrática f(x)= -2 x 2 - 8 x + 24 y 32 x

Função Quadrática f(x)= -2 x 2 - 8 x + 24 y 32 x =0 f(0) = 24 -6 RAÍZES VÉRTICE Prof: Alexsandro de Sousa a < 0 24 -2 2 x

f(x) = x 2 – 6 x + 8 Termo independente Raízes da função

f(x) = x 2 – 6 x + 8 Termo independente Raízes da função Prof: Alexsandro de Sousa Vértice

Máximo e mínimo da função quadrática Prof: Alexsandro de Sousa

Máximo e mínimo da função quadrática Prof: Alexsandro de Sousa

Questões como essas, em que se procura determinar o valor máximo ou o valor

Questões como essas, em que se procura determinar o valor máximo ou o valor mínimo, são estudadas em matemática pela aplicação dos conceitos de máximo e mínimo de funções. Daremos início ao estudo desses conceitos, tratando, por enquanto, apenas de funções quadráticas. É bom saber também que cálculos de máximos e mínimos, em geral, têm várias aplicações. Como você pode perceber, o pai de Calvin não sabia desse fato. Prof: Alexsandro de Sousa

 Nas questões em que é pedido ou se faz referência ao valor máximo

Nas questões em que é pedido ou se faz referência ao valor máximo ou mínimo de uma função do 2º grau, temos que descobrir “O que a questão está pedindo é Xv ou Yv? ” O valor de Yv = -Δ/4 a, é o próprio valor máximo, se a<0, ou mínimo da função, se a>0. Já o valor de Xv = -b/2 a, é o que torna o valor de Yv máximo ou mínimo. Prof: Alexsandro de Sousa

Exemplo • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de

Exemplo • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A função h(t) = – 5 t 2 + 30 t + 80 é quadrática, com a = – 5, b = 30 e c = 80. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo. Prof: Alexsandro de Sousa

 • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de

• Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: –(30) –b t = = = 3 s 2. (– 5) 2 a Prof: Alexsandro de Sousa

 • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de

• Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. h(3) = – 5. 32 + 30. 3 + 80 = 125 m Prof: Alexsandro de Sousa

 • Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de

• Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0 ⇒ – 5 t 2 + 30 t + 80 = 0 ⇒ t 2 + 6 t – 16 = 0 ⇒ t = – 2 ou t = 8 ⇒ t = 8 s Prof: Alexsandro de Sousa

Veja o gráfico da função h(t) = – 5 t 2 – 30 t

Veja o gráfico da função h(t) = – 5 t 2 – 30 t + 80 h (m) 125 80 0 Prof: Alexsandro de Sousa 3 8 t (s)

Vejamos em dois exemplos: 1. Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial

Vejamos em dois exemplos: 1. Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100 m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao solo, em função do tempo (t) é dada pela expressão: . Qual a altura máxima alcançada pela bola? Como é pedido o valor máximo de h, que representa y na função dada, calculamos Yv. Perceba que a pergunta é direta: qual a altura máxima. R. 180 m 2. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = 2510 - 100 n + n 2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo ? Como é pedido o que torna o valor da função mínimo, calculamos Xv. Perceba também que a pergunta é mais explicada e longa: Quantas unidades deverão ser produzidas para. . . R. 50 unidades Prof: Alexsandro de Sousa

A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico,

A representação cartesiana da função é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que: a) a<0, b<0 e c>0 b) a>0, b>0 e c<0 c) a>0, b>0 e c>0 d) a<0, b>0 e c<0 e) a<0, b>0 e c>0 Prof: Alexsandro de Sousa

 • A função y = –x 2 + 4 x + k, tem

• A função y = –x 2 + 4 x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função. Prof: Alexsandro de Sousa

Estudo da Variação do Sinal de uma Função Quadrática Para estudar a variação do

Estudo da Variação do Sinal de uma Função Quadrática Para estudar a variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Vamos analisar o gráfico da função : Prof: Alexsandro de Sousa

 • Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que

• Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. • Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0. • Para 1 < x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas. Prof: Alexsandro de Sousa

Inequações polinomiais do 2º grau Uma inequação do 2° grau pode ser escrita numa

Inequações polinomiais do 2º grau Uma inequação do 2° grau pode ser escrita numa das seguintes formas: ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c ≤ 0. Para resolvermos uma inequação do Segundo Grau devemos estudar o sinal da função correspondente a equação: 1. Igualar a sentença do 2° grau a zero; 2. Localizar (se existir) as raízes da equação no eixo x. 3. Estudar o sinal da função correspondente. A resolução de uma inequação polinomial de 2º grau é fundamentada no estudo da variação de sinal de uma função quadrática, conforme mostra os exercícios resolvidos a seguir: Prof: Alexsandro de Sousa

1. Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0. • Solução: -x² + 4

1. Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0. • Solução: -x² + 4 = 0. x² – 4 = 0. x=2 x = -2 Prof: Alexsandro de Sousa . x -

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