CONICHE 1 coniche come luoghi solidi 1 1

CONICHE 1. coniche come “luoghi solidi” 1. 1 le coniche di Menecmo 1. 2 le coniche di Apollonio 2. coniche come luoghi geometrici del piano 2. 1 fuochi 2. 2 direttrici ed eccentricità 3. coniche come trasformazioni proiettive del circolo 4. teorema di Quetelet e Dandelin

1. STEROI TOPOI (luoghi solidi) ORTOTOMA OXITOMA AMBLITOMA 1. 1 Coniche di Menecmo

Cono rettangolo ORTOTOMA Cono acutangolo OXITOMA Cono ottusangolo AMBLITOMA

1. 2 Coniche di Apollonio superficie conica rotonda è il luogo delle rette g (generatrici) che passano per un punto V (vertice) di una retta v (asse) e che formano con v un angolo costante. Sezione conica è la curva (necessariamente chiusa) nella quale un piano taglia una superficie cnica rotonda.

Un qualunque piano (non passante per V) taglia la superficie conica in una curva simmetrica lungo un asse detto asse focale o asse principale della sezione conica. Tale asse focale è l’intersezione del piano della conica con il piano ad esso che passa per l’asse v della superficie conica e dunque è anche un piano di simmetria della superficie. L’asse focale incontra la curva nei suoi due apsidi A 1 e A 2, vertici principali della conica la cui distanza 2 a misura la lunghezza dell’asse focale. Conica (sezione) Apside A 1 Apside A 2 2 a asse focale

parabola iperbole ellisse L’asse focale della sezione conica può formare un angolo rispetto all’asse v uguale, minore o maggiore di (l’angolo formato dalle generatrici g della superficie) a seconda che il piano sia // a una, a due o a nessuna generatrice. Nel primo caso incontra al finito tutte le generatrici tranne quella a esso // per cui la curva, parabola ha tutti punti propri tranne il suo secondo vertice principale. Nel secondo caso i vertici della curva sono propri ma, essendo // a due generatrici, la curva, iperbole ha due punti impropri e dunque consta di due rami. Nel terzo caso incontra tutte le generatrici al finito e quindi si determina una curva, ellisse o in particolare circolo, circolo composta di tutti punti propri che presenta anche una coppia di vertici secondari agli estremi di un secondo, minore, asse di simmetria ortogonale.

Consideriamo sezione conica qualunque sezione piana della superficie conica, e dunque è una conica, anche quella ottenuta con un piano sezionante che passi per il vertice della superficie, solo che in quel caso la curva si riduce o a un punto o a una coppia di rette (distinte oppure coincidenti) è detta conica degenere.

circolo conica degenere

Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si deducono da quelle della superficie conica. Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde parallele di una superficie conica sono i punti di un piano che passa per il vertice e chiamiamo piano diametrale coniugato alla direzione delle corde //. Così sul piano della sezione conica il luogo dei punti medi di una schiera di corde // della curva è una retta che viene detta diametro coniugato alla direzione delle corde. Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è una retta che passa per V che viene detta diametro coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri coniugati passano per il centro della conica. Caso particolare è quello in cui taglia la superficie conica in una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una direzione // a passa per la generatrice // a . Tutti i diametri di una parabola sono // al suo asse. Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la tangente alla conica è \ alla direzione coniugata a quel diametro.

2 -3. Dalle “diverse” coniche di Apollonio alle coniche come diverse manifestazioni di un unico ente matematico

2. Coniche come luogo geometrico di punti del piano rispondenti a proprietà metriche 2. 1 fuochi

2. 1 Distanze dai FUOCHI

Come il circolo è il luogo dei punti di un piano equidistanti da un solo punto F (centro), l’ellisse è quello dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti F 1, F 2 detti fuochi,

l’iperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due fuochi F 1, F 2,

la parabola è il luogo dei punti per i quali è uguale la distanza da un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice). direttrice fuoco

2. 2 direttrici

2. 2 eccentricità Le coniche si possono anche definire come il luogo dei punti P di un piano tali che il rapporto tra la loro distanza PF da un punto F detto Fuoco e la loro distanza Pd da una retta d (corrispondente a F) detta direttrice è sempre costante; tale rapporto si dice eccentricità e= PF/Pd , e per e=1, e<1, e>1 la curva è rispettivamente parabola, ellisse ed iperbole.

3. Coniche come trasformazioni proiettive del circolo

4. Teorema di Quetelet e Dandelin.

4. Teorema di Quetelet e Dandelin. In una superficie conica rotonda sezionata con un piano non // a una generatrice (caso dell’ellisse e dell’iperbole) esistono due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti al piano nei fuochi F 1 e F 2 della conica. Se è // a una generatrice esiste una sola sfera iscritta alla superficie e tangente al piano nel fuoco F della parabola. Inoltre i piani dei circoli di contatto delle sfere iscritte con la superficie conica intersecano il piano sezionante nelle direttrici della sezione conica.

Per dimostrare questa proposizione si consideri la sezione con il piano e che passa per l’asse v della superficie conica; esso taglia la superficie secondo due generatrici g 1 e g 2 e individua su l’asse principale A 1 A 2 della conica. In quel piano le due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti a risultano tagliate in due cerchi massimi che si possono disegnare facilmente uno come il circolo (di centro C 1) iscritto al triangolo VA 1 A e l’altro come quel circolo (di centro C 2) ex-iscritto del trilatero VA 1 A 2 che ha centro sull’asse v.

È evidente che il trilatero VA 1 A 2 rappresenta le tangenti condotte dai punti A 1, e A 2 ai due circoli di centri C 1 e C 2 nei punti Q 2, Q 1, F 2, F 1, R 2, R 1. E per la simmetria del cerchio sono ovviamente uguali i due segmenti di tangente che vanno dai punti di contatto R e Q ai punti esterni A per i quali si conducono tali tangenti: così A 1 Q 1 = A 1 F 1 e A 1 F 2 = A 1 R 1.

Si vede dunque come sia A 1 Q 1 + A 1 R 1 = 2 a (lunghezza dell’asse focale A 1 A 2 della conica) e quindi come un qualsiasi segmento di generatrice compreso tra i due circoli di contatto delle sfere iscritte abbia estensione uguale all’asse focale A 1 A 2. Si immagini uno qualunque di questi segmenti di generatrice P 1 P 2 compresi tra i due circoli di contatto intersecare il piano nel punto P. I segmenti PP 1 e PP 2 (distanze di P dai circoli di contatto) sono i segmenti di tangenti condotte da P alle due sfere iscritte e per la simmetria della sfera si può constatare che PP 1 = PF 1 e PP 2 = PF 2 e concludere che PF 1 + PF 2 = A 1 A 2 = 2 a, cioè che tutti i possibili punti P della sezione individuano un’ellisse poiché sono tali per cui resta costante (= 2 a)la somma delle loro distanze da F 1 e da F 2.