Geometria Solida Poliedri Prima parte Geometria Solida La

Geometria Solida Poliedri Prima parte

Geometria Solida La Geometria solida è la geometria dello spazio tridimensionale, il tipo di spazio in cui viviamo. . .

Geometria Solida 3 dimensioni (3 D) Si chiama tridimensionale, o 3 D, perché ci sono tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza.

Geometria Solida Semplici forme Cominciamo ad osservare alcune dei solidi più semplici.

Geometria Solida Semplici forme Cubo Parallelepipedo

Geometria Solida Semplici forme Prisma Piramide

Geometria Solida Semplici forme Sfera Cilindro Cono

Geometria Solida Proprietà I solidi hanno: • Volume (pensate a quanta acqua può contenere un cilindro). • Superficie (pensate alla zona che si può dipingere di un cubo). • Alcuni (i poliedri) hanno un certo numero di facce, spigoli e vertici.

Geometria Solida Poliedri e non poliedri Ci sono due tipi di solidi: i poliedri che hanno facce piane poligonali; i non poliedri che hanno facce non poligonali.

Geometria solida Poliedri Un poliedro è un solido delimitato da facce piane (dal greco poli- che significa "molti" e -edron che significa "faccia").

Geometria solida Poliedri Le superfici delle facce di un poliedro sono dei poligoni! Esempi di poliedri: Cubo Tetraedro

Geometria solida Poliedri • Il vertice di un poliedro è il punto d’incontro di tre o più bordi del poliedro; • il bordo che unisce due vertici è chiamato spigolo; • una faccia è un singolo poligono che delimita il poliedro.

Geometria solida Solidi Platonici I solidi platonici sono quei poliedri: • in cui le facce sono poligoni regolari congruenti; • ad ogni vertice concorre lo stesso numero di facce. Esempio Il cubo è un solido platonico perché: • ha tutte le facce quadrate e congruenti; • ogni vertice è l’incontro di tre facce.

Geometria solida Solidi Platonici I solidi platonici sono cinque: Tetraedro Cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

Geometria solida Solidi Platonici Tetraedro: • 4 facce (triangoli equilateri); • 3 facce che si incontrano nel vertice; • 4 vertici; • 6 spigoli. Sviluppo piano

Geometria solida Solidi Platonici Cubo (o esaedro): • 6 facce (quadrati); • 3 facce che si incontrano nel vertice; • 8 vertici; • 12 spigoli. Sviluppo piano

Geometria solida Solidi Platonici Ottaedro: • 8 facce (triangoli equilateri); • 4 facce che si incontrano nel vertice; • 6 vertici; • 12 spigoli. Sviluppo piano

Geometria solida Solidi Platonici Dodecaedro: • 12 facce (pentagoni regolari); • 3 facce che si incontrano nel vertice; • 20 vertici; • 30 spigoli. Sviluppo piano

Geometria solida Solidi Platonici Icosaedro: • 20 facce (triangoli equilateri); • 5 facce che si incontrano nel vertice; • 12 vertici; • 30 spigoli. Sviluppo piano

Geometria solida Solidi Platonici Perché i solidi platonici son solo 5? In ogni vertice si incontrano almeno tre facce. La somma dell’ angolo interno del solido deve essere minore di 360° (a 360° l’angolo si “appiattisce”)

Geometria solida Solidi Platonici Perché i solidi platonici son solo 5? Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici. Il triangolo equilatero ha angoli di 60° e pertanto si potranno avere solidi platonici con: • 3 triangoli (3 x 60° = 180°); • 4 triangoli (4 x 60° = 240°); • 5 triangoli (5 x 60° = 300°).

Geometria solida Solidi Platonici Perché i solidi platonici son solo 5? Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici. Il quadrato ha angoli di 90° e pertanto si potrà avere solo un unico solido platonico, il cubo: • 3 quadrati (3 x 90° = 270°)

Geometria solida Solidi Platonici Perché i solidi platonici son solo 5? Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni regolari identici. Il pentagono regolare ha angoli di 108° e pertanto si potrà avere solo un unico solido platonico: • 3 pentagoni (3 x 108° = 324°)

Geometria solida Solidi Platonici Perché i solidi platonici son solo 5? Se volessimo usare più di 5 triangoli equilateri, 4 quadrati, 3 pentagoni regolari o addirittura altri poligoni regolari per costruire un solido platonico, ci renderemo conto che ciò è impossibile in quanto l’angolo sarà Esempio: 3 esagoni regolari = 3 x 120° = 360°

Geometria solida Riepilogando: Solidi Platonici

Geometria solida Formula di Eulero Per qualsiasi poliedro convesso: • il numero delle facce, più • il numero dei vertici, meno • il numero degli spigoli: è sempre uguale a 2 F+V–S=2

Geometria solida Formula di Eulero F+V–S=2 Facciamo un esempio, consideriamo il cubo: ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli, cioè 6 + 8 – 12 = 2

Geometria solida Formula di Eulero F+V–S=2 Per capire il perché, immagina di prendere il cubo e aggiungerci uno spigolo (basta tracciare la diagonale di una sua faccia). Si ottiene così uno spigolo in più e una faccia in più: 7 + 8 – 13 = 2 La formula è sempre valida!

Geometria solida Formula di Eulero F+V–S=2 Aggiungendo un altro vertice (diciamo nel punto medio dello spigolo), si avrà anche uno spigolo in più. vertice Se aumenta un vertice si avrà uno spigolo in più: 6 + 9 – 13 = 2 La formula è sempre valida! 2 spigoli

Fine prima parte