6 OPI ZAKON GRAVITACIJE Newtonov zakon gravitacije 14

6. OPĆI ZAKON GRAVITACIJE Newtonov zakon gravitacije 14. 7. 2008. Šimun Tomas 1

6. 1. OSVRT NA POVIJESNO TUMAČENJE GIBANJA NEBESKIH TIJELA Mnoge pojave koje se događaju u svemiru (gibanje planeta, smjena dana i noći, pomrčina Sunca i Mjeseca, slobodni pad, plima i oseka itd. ) oduvijek su zaokupljale pozornost ljudi i oni su pokušali znanstveno objasniti uzroke tih pojava. Sunce 2

Jedno od najpoznatijih tumačenja gibanja nebeskih tijela dao je aleksandrijski astronom Ptolemej u II. stoljeću. Ptolemej je smatrao da se u središtu svemira nalazi Zemlja koja ima oblik kugle, a oko Zemlje po kružnim putanjama gibaju se Sunce i Mjesec, dok je gibanje planeta nešto složenije, ali se opet svodi na kružno gibanje. Taj sustav, prema grčkom imenu Zemlje (Gea), nazvan je geocentrični sustav. Geocentrični sustav zadržao se sve do 16. stoljeća, kada poljski astronom Nikola Kopernik iznosi tezu da se u središtu planetarnog sustava nalazi Sunce oko kojeg se planeti gibaju po kružnim putanjama. Prema toj tezi planet Zemlja ima oblik kugle koja se za jedan okrene oko svoje osi, a za jednu godinu napravi jedan ophod oko Sunca. Budući da se u središtu tog sustava nalazi Sunce (grč. Helios), nazvan je heliocentrični sustav. Ideja heliocentričnog sustava nije bila potpuno nova, ali je tek tada bila znanstveno potkrijepljenja. Međutim, heliocentrični sustav svoju će punu potvrdu od znanstvenika dobiti tek stotinjak godina kasnije. Tada je njemački astronom Johannes Kepler, koristeći istraživačke podatke svoga profesora Tycha Bracha, otkrio tri važna zakona o gibanju planeta koji će proširiti i potvrditi Kopernikovo otkriće. 3

Zakoni su prema svome otkrivaču dobili naziv Keplerovi zakoni, a oni kažu: 1. zakon: Planeti se gibaju oko Sunca po eliptičnim putanjama u čijem se jednom fokusu nalazi Sunce 2. zakon: Radijus-vektor (spojnica Sunce - planet) u jednakim vremenskim intervalima prebriše jednake površine. A 2 A 1=A 2 3 zakon: Kvadrati ophodnih vremena oko Sunca odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti od Sunca. 4

6. 2. NEWTONOW ZAKON GRAVITACIJE Keplerovi zakoni kažu kako se planeti gibaju, ali ne kažu koji je uzrok takvog gibanja. I. Newton, proučavajući zakone slobodnog pada i gibanje planeta, otkrio je da je uzrok tih pojava jedna prirodna privlačna sila koju je nazvao gravitacijskom silom. Newton je došao do zaključka da između bilo koja dva tijela mase m 1 i m 2 djeluje gravitacijska sila kojom se međusobno ta tijela privlače. m 1 FG FG m 2 Dakle, gravitacijska sila je univerzalna sila, što znači da njezino djelovanje vrijedi za sva zemaljska tijela i tijela u svemiru. 5

Ona djeluje između Sunca i planeta, između Zemlje i Mjeseca, između zvijezda itd. Odgovorna je za gibanje planeta zvijezda i galaksija. Znači, gravitacijska sila je odgovorna i za gibanje planeta oko Sunca, a tu ima ulogu centripetalne sile. Sunce 6

Izraz za gravitacijsku silu Newton je matematičkim putem došao do zaključka da između bilo koja dva točkasta (kuglasta) tijela mase m 1 i m 2, čija se središta nalaze na udaljenosti r, djeluje gravitacijska sila čiji je iznos: G - je gravitacijska (univerzalna) konstanta: m 1 FG FG m 2 r Iz toga slijedi zaključak: Gravitacijska sila je sila koja djeluje između bilo koja dva tijela. Razmjerna je masama tijela između kojih djeluje, a obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti između njihovih središta. Gravitacijska sila je privlačna sila i vrlo je slabog intenziteta (najslabija od četiri prirodne sile). Njezin utjecaj je važan pri međudjelovanju tijela velikih masa. Napomena: Ako tijela nemaju točkast (kuglast) oblik, onda je za određivanje gravitacijske sile između tih tijela potrebno tijela rastaviti na elementarne mase, pa odrediti sile između elementarnih masa, a zatim naći rezultantu tih sila. 7

Sila teže i gravitacijska sila Gravitacijska sila između tijela mase m koje se nalazi na površini Zemlje čija je masa Mz , jednaka je: m FG Mz= 6. 1024 kg (masa Zemlje) Rz= 6, 4. 106 m (polumjer Zemlje) RZ FG MZ RZ Kada se tijelo nalazi na površini Zemlje (kao u ovom primjeru) ili u blizini površine, onda je gravitacijska sila jednaka sili teže FG=Fg=mg koja djeluje na tijelo. 8

Ako se tijelo mase m nalazi na visini h iznad površine Zemlje, onda je gravitacijska sila između Zemlje i tog tijela jednaka: m h FG RZ MZ 9

Akceleracija sile teže ( g ) Kada se tijelo mase Zemlje jednaka: m nalazi na površini Zemlje onda je gravitacijska sila između toga tijela i U ovom primjeru gravitacijska sila odgovara sili teže čega slijedi: ( FG=Fg ) koja djeluje na to tijelo, iz Dakle, pomoću zakona gravitacije izveli smo izraz za ubrzanje sile teže ( g ) na površini Zemlje i u blizini površine Zemlje. Budući da je ubrzanje sile teže ( g ) obrnuto razmjerno kvadratu polumjera Zemlje, onda je razumljivo zašto to ubrzanje ima različite vrijednosti na različitim mjestima Zemlje. 10

Ubrzanje sile teže ( gh ) na nekoj visini h iznad površine Zemlje jednako je: m g h RZ RZ MZ Na isti način možemo izračunati ubrzanje sile teže na bilo kojem mjestu u svemiru, na primjer na nekom planetu ili Mjesecu. Tako na nekom planetu N koji ima masu MN i polumjer RN, ubrzanje g. N iznosit će: Težina tijela na planetu N bit će: 11

6. 3. ZEMLJINI UMJETNI SATELITI Umjetni sateliti su letjelice bez posade koje kruže oko Zemlje. Služe za radio i TV prijenos, za komunikacijske potrebe, skupljanje meteorologijskih podataka potrebnih za vremensku prognozu, za špijunažu, razna znanstvena istraživanja itd. 12

Da bi neko tijelo postalo umjetni satelit, potrebno je da se to tijelo s neke visine h iznad tla Zemlje izbaci u horizontalnom smjeru tako velikom brzinom da ono nastavi kružiti oko Zemlje. Za određivanje brzine kojom treba tijelo izbaciti u horizontalnom smjeru da bi ono kružilo oko Zemlje, poslužit ćemo se simulacijom. Iz iskustva i iz dosadašnjeg učenja (horizontalni hitac) znamo da će se tijela izbačena početnom brzinom s neke visine u horizontalnom smjeru gibati po putanji oblika parabole (krivulja a) i pasti na tlo Zemlje. h Isto tako znamo da će tijelo padati sve dalje ako se izbaci većom brzinom (krivulje b, c). Očito je da postoji neka brzina kojom treba izbaciti tijelo u horizontalnom smjeru pa da putanja toga tijela ima oblik zakrivljenosti Zemlje, što znači da to tijelo više neće pasti na površinu Zemlje, već će se nastaviti gibati na visini s koje je izbačeno, a budući da je Zemlja približno okrugla, znači da će se i tijelo gibati po kružnici. 13

Znamo da se tijelo giba po kružnici zbog djelovanja centripetalne sile na nj. U navedenom primjeru centripetalna sila zbog koje se tijelo giba po kružnici oko Zemlje je gravitacijska sila, iz čega slijedi da je brzina kojom je tijelo izbačeno jednaka: Dakle, da bi tijelo postalo Zemljin satelit, potrebno ga je izbaciti s neke visine iznad tla Zemlje u horizontalnom smjeru početnom brzinom od 7, 9 km/s. Ta brzina zove se prva kozmička brzina. 14

Budući da je na površini Zemlje i u njenoj blizini gravitacijska sila jednaka sili teže, onda do istog rezultata možemo doći kada za centripetalnu silu uzmemo silu teže: Umjetni sateliti se izbacuju u putanje kojima se gibaju pomoću raketa ili svemirskih brodova tako što raketa ili brod uzleti do visine na kojoj je otpor zraka vrlo malen, a onda se satelit pomoću rakete izbaci u horizontalnom smjeru prvom kozmičkom brzinom. Na velikim visinama otpor zraka je tako malen da se satelit u svojoj putanji može zadržati i nekoliko godina bez vlastitog pogona. 15

Gravitacijsko polje Svako tijelo mase (m) u prostoru oko sebe stvara gravitacijsko polje. Gravitacijsko polje je prostor oko tijela mase (m) u kojem se osjeća gravitacijsko (privlačno) djelovanje tog tijela. Ako se u gravitacijskom polju tijela mase (m) u nekoj točki polja (P) stavi neko drugo tijelo male mase ( jedinične mase mp=1 kg), tada će tijelo mase m na tijelo mase mp djelovati gravitacijskom silom (vidi sliku): m P FG mp r Jakost gravitacijskog polja (J ) tijela mase m u točki P jednaka je omjeru između gravitacijske sile FG i tijela mase mp na koje ta sila djeluje: Dakle, jakost gravitacijskog polja (J) tijela mase (m) razmjerna je masi tijela, a obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti (r 2) od središta tijela. Jedinica za jakost gravitacijskog polja je , odnosno . 16

Jakost gravitacijskog polja je vektorska veličina čiji je smjer u smjeru gravitacijske sile: Gravitacijsko polje slikovito se prikazuje pomoću silnica polja. Smjer silnica je u smjeru središta tijela (vidi sliku). mp m silnice Tamo gdje su silnice gušće, jakost polja je veća, i obrnuto. 17

Gravitacijsko polje Zemlje je prostor u kojem se osjeća gravitacijsko djelovanje Zemlje na drugo tijelo. Jakost gravitacijskog polja Zemlje u nekoj točki polja (P) koja je od središta Zemlje udaljena r, iznosi: P m r MZ 18