Wykad 12 16 5 Zjawisko samoindukcji 17 Energia

Wykład 12 16. 5 Zjawisko samoindukcji 17 Energia pola indukcji magnetycznej 18 Prądu zmienne 18. 1 Impedancja obwodów prądu zmiennego 18. 2 Sumowanie impedancji 18. 3 Moc prądu zmiennego 18. 4 Transformator 18. 5 Rezonans szeregowy (prądowy) 18. 6 Rezonans równoległy (napięciowy) 18. 7 Układ RLC – Drgania tłumione Reinhard Kulessa 1

16. 6 Zjawisko samoindukcji Z dotychczasowej dyskusji można odnieść wrażenie, że siła elektromotoryczna indukcji powstaje tylko wtedy, gdy zmienny strumień indukcji magnetycznej pochodzi z zewnątrz. Tak jednak nie jest. Okazuje się bowiem, że siła elektromotoryczna indukcji powstaje również wtedy, gdy pętla, lub inny obwód z prądem sama jest przyczyną zmian strumienia indukcji. Rozważmy dowolną pętlę z prądem. A A r dl Strumień indukcji magnetycznej M wytworzony przez prąd I płynący w pętli wynosi: I Reinhard Kulessa 2

Równanie to możemy napisać w postaci. Współczynnik indukcji własnej pętli z prądem jest więc równy: . (16. 8) Gdy zmienia się natężenie prądu w przewodniku indukuje się siłą elektromotoryczna indukcji: . (16. 9) A). Policzmy współczynnik indukcji własnej dla cewki o długości l i liczbie zwojów N i przekroju o powierzchni A, przez którą płynie prąd o natężeniu I. Reinhard Kulessa 3

B(t) I(t) l V 0 ind(t) Liczyliśmy już dla takiej cewki pole indukcji magnetycznej. Mamy więc: . Współczynnik indukcji własnej cewki wynosi więc: (16. 10) Reinhard Kulessa 4

B). Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego Policzmy sobie jako przykład indukcję własną kabla koncentrycznego. Tworzą go dwa współśrodkowe walce, w których antyrównolegle płynnie prąd o natężeniu I. Strefa zewnętrzna jest wolna od pola indukcji 2 b magnetycznej. Wokół cylindra 2 a wewnętrznego roztacza się pole x indukcji B(r), jako zamknięte V(x B(r) 0 +x ) pierścienie, dla których: I r I V(x 0) Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowaną powierzchnię wynosi. Reinhard Kulessa 5

Mamy więc . Zmiana strumienia indukcji magnetycznej w czasie wynosi więc: . Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego wynosi więc: , (16. 11) gdzie x jest długością kabla. Wraz z długością kabla zmienia się również różnica potencjału między wewnętrzna a zewnętrzną częścią kabla: . Reinhard Kulessa 6

Zjawisko indukcji własnej ma bardzo ważne znaczenie przy włączaniu i wyłączaniu obwodów I R L U 0 tzał Reinhard Kulessa t twył 7

17 Energia pola indukcji magnetycznej Załóżmy, że mamy szpulę, dla której opór jest równy zero. W takim razie, aby utrzymać w szpuli prąd o natężeniu I lub I+d. I, nie trzeba włożyć żadnej pracy. Równocześnie przy przejściu z prądem od I do I+d. I powstaje siła elektromotoryczna indukcji własnej VL, która sprzeciwia się zmianie natężenia prądu. I I+d. I I t t+dt Reinhard Kulessa t 8

Aby wymusić zmianę natężenia prądu o d. I, trzeba wykonać pracę: Wynika stąd, że aby zmienić prąd w szpuli od 0 do I trzeba wykonać pracę: (17. 1) Równocześnie w szpuli powstaje pole indukcji magnetycznej Biorąc ze wzoru (16. 10) wyrażenie na współczynnik samoindukcji takiej szpuli, uzyskamy następujące wyrażenie na Reinhard Kulessa 9 pracę W:

, (17. 2) bo. (l·A) = jest objętością zajmowaną przez pole indukcji magnetycznej. Otrzymujemy więc na gęstość energii pola magnetycznego wyrażenie: (17. 3) Rozważania dotyczące szpuli możemy uogólnić dla dowolnego pola, które jest jednorodne w objętości d. Pole w objętości d można sobie przedstawić jako pochodzące od maleńkiego solenoidu. Wobec tego równanie (17. 3) obowiązuje dla każdego przypadku. Reinhard Kulessa 10

18 Prądy zmienne 18. 1 Impedancja obwodów prądu zmiennego Przy omawianiu siły elektromotorycznej indukcji rozważaliśmy SEM indukcji dla obracającej się pętli z prądem (równanie (16. 4)). , Gdzie jest amplitudą i przedstawia największą wartość SEM. Możemy użyć sinusoidalnie zmienną w czasie siłę elektromotoryczną jako źródło prądu. W dowolnym obwodzie, oprócz tej siły elektromotorycznej pojawi się siła elektromotoryczna indukcji własnej: Reinhard Kulessa 11

R Zgodnie z prawem Kirchoffa mamy Czyli, L (18. 1) Rozwiązania tego równania będziemy szukali w postaci: gdzie I 0 i są stałymi całkowania. Po wstawieniu przewidzianego rozwiązania do równania (18. 1) i kilku przekształceniach otrzymujemy; Reinhard Kulessa 12

(18. 2) Na natężenie prądu otrzymamy następujące wyrażenie: (18. 3) R Dla obwodu z oporem i pojemnością uzyskamy następujące równania: C Reinhard Kulessa 13

Równanie, które mamy rozwiązać jest nastepujące: (18. 4) I znów szukając rozwiązania takiego jak poprzednio, uzyskujemy: (18. 5) 14

Natężenie prądu płynącego w obwodzie będzie miało następującą postać: . (18. 6) Wyrażenia nazywamy oporem pozornym obwodu lub impedancją. Reinhard Kulessa 15

Jedynym rzeczywistym oporem w obwodzie prądu przemiennego jest opór omowy. Stosując na opory poszczególnych elementów wyrażenia zespolone, możemy problem obwodów zawierających te elementy rozwiązać bardziej ogólnie. Wprowadźmy następujące oznaczenia: Wtedy stosując prawo Ohma możemy otrzymać: , a stąd . Reinhard Kulessa 16

18. 2 Sumowanie impedancji Rozważmy obwód R-L posługując się wielkościami zespolonymi. = V 0 ei t R L Pamiętając, że dla liczby urojonej i zachodzi : i = ei /2, oraz -i = e-i /2, otrzymujemy: (18. 7) Ogólna zależność pomiędzy zwykłym a eksponencjalnym zapisem liczby zespolonej jest następująca: Reinhard Kulessa 17

Jeśli a to Związek pomiędzy a, b, i , jest taka sama jak między współrzędnymi układu kartezjańskiego i biegunowego. Dla rozważanego równania (18. 7), możemy narysować następujący diagram: Reinhard Kulessa 18

(t) R t (R 2+ 2 2 L ) 1/2 (t) L Z przedstawionego rysunku możemy odczytać, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym we wzorze (18. 7) jest równe: , A przesunięcie fazowe liczymy z wzoru Reinhard Kulessa . 19

W oparciu o prawo Ohma możemy więc napisać: Do rezultatu możemy dojść jeszcze szybciej rysują na diagramie tylko składowe impedancji. Identyczne rozważania Im( ) możemy przeprowadzić dla obwodu | | a). R-C, L czy też obwodu R b). R-L-C. Re( ) Reinhard Kulessa 20

Otrzymujemy wtedy: dla a). dla b). Należy jeszcze podkreślić, że impedancje spełniają regułę dodawania oporów. Dla połączenia szeregowego: (18. 8) A dla połączenia równoległego: . Reinhard Kulessa 21

18. 3 Moc prądu zmiennego Załóżmy, że mamy źródło prądu zmiennego o następujących parametrach: Identyczną zależność napięcia i natężenia otrzymujemy również, gdy w obwodzie znajdują się również elementy z indukcyjnością L i pojemnością C. Chwilowa moc prądu wynosi: V(t) I(t) t Reinhard Kulessa 22

Policzmy średnią moc prądu dla jednego okresu T. Całka w powyższym równaniu ma wartość: ½ cos. Wobec tego: (18. 9) Veff oraz Ieff oznaczają kolejno napięcie i natężenie skuteczne prądu. Reinhard Kulessa 23

18. 4 Transformator służy do uzyskiwania większych lub mniejszych sił Elektromotorycznych niż dają źródła prądu. l A p 00 N 1 w L 1 L 2 N 2 R L 12=L 21 Obwód pierwotny Obwód wtórny Mamy dwa obwody połączone strumieniem indukcji magnetycznej. Po włączeniu zmiennego napięcia w obwodzie pierwotnym, w obydwu obwodach powstają siły elektromotoryczne indukcji własnej i wzajemnej. Reinhard Kulessa 24

W obwodzie wtórnym pojawia się również spadek potencjału na oporze omowym. Możemy więc napisać dwa równania: Z tego układu równań eliminujemy d p/dt, pamiętając, że: . Otrzymamy wtedy na natężenie prądu w obwodzie wtórnym wyrażenie: (18. 10) Reinhard Kulessa 25

Dostajemy stąd bezpośrednio , że gdy znamy L 1, L 2 i L 12. Policzmy sobie jakie jest natężenie i napięcie prądu w obwodzie wtórnym dla przedstawionego na ostatnim rysunku transformatorze. Rdzeń o przenikalności magnetycznej >>1, przekroju A i długości l, zamyka w sobie linie indukcji magnetycznej, tak, że zarówno w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym strumień indukcji jest taki sam. Możemy więc napisać: Z równań tych wynika, że Prąd wtórny wynosi: Reinhard Kulessa 26

. Mamy więc: . (18. 11) Napięcie na oporze R w obwodzie wtórnym wynosi: . (18. 12) Z ostatniego równania mamy bezpośrednio; (18. 13) Reinhard Kulessa 27

Można również pokazać policzywszy uprzednio w podobny sposób natężenie prądu pierwotnego, że (18. 14) Oznacza to, ze cała moc z układu pierwotnego jest przekazywana do układu wtórnego. 18. 5 Rezonans szeregowy (prądowy) C = V 0 ei t I(t) R Impedancja przedstawionego obwodu wynosi: L Reinhard Kulessa 28

Wartość bezwzględna impedancji jest równa: Z poprzednich rozważań pamiętamy, że: Wypadkową zawadę możemy otrzymać graficznie. Otrzymamy więc: -i/ C R (18. 15) i L Reinhard Kulessa 29

Największe natężenie prądu będzie wtedy, gdy Oznaczając częstość dla której to zachodzi przez r, częstość rezonansową, mamy: Dla częstości rezonansowej zawada jest najmniejsza i równa się R. Wtedy również faza jest równa zero. Również natężenie prądu jest maksymalne: Osłabienie natężenia prądu możemy uzyskać przez zwiększenie oporu R. Opór ten odgrywa rolę tłumienia. Prześledźmy zależność natężenia prądu i fazy dla dwóch różnych oporów. Reinhard Kulessa 30

Możemy wyznaczyć składowe napięcia na poszczególnych elementach obwodów I( ) V 0/R 1 V 0/R 2 2 V 0/R 2 ( ) R 2 r + /2 r Względna półszerokość krzywej rezonansowej jest równa - /2 Reinhard Kulessa 31

Współczynnik dobroci Q Napięcie rzeczywiste Q jest nazywany współczynnikiem dobroci Z powyższych wzorów widzimy, że : 1. 2. 3. Suma rzeczywistych napięć VL+VC= 0 Dla pojemności i indukcyjności QV 0>V 0, czyli napięcie na tych elementach jest większe od napięcia źródła. Gdy mamy słabe tłumienie, Q = r. L/R krzywa rezonansowa jest symetryczna. Reinhard Kulessa 32

18. 6 Rezonans równoległy (napięciowy) IL I IC = V 0 ei t C R Zespolona wartość natężenia prądu będzie wynosiła L Zakładając, że mamy do czynienia ze słabym tłumieniem, możemy pominąć R 2 w stosunku do 2 L 2. Reinhard Kulessa 33

Diagram impedancji dla 1/Z wygląda następująco: Z podanego na poprzedniej stronie i C -i/ L Równania otrzymujemy na rzeczywiste wartości natężenia 1 prądu i przesunięcie fazowe ZR/ 2 L 2 wartości: Rezonans zachodzi wtedy gdy (18. 17) Reinhard Kulessa 34

Dla częstości rezonansowej zachodzi: 1. =0, 2. |1/Z| = R/( r. L)2 min. , I( ) V 0/R Możemy jeszcze podać wartości dla prądów częściowych: r Widzimy, że I 0 C=I 0 L, ale IC+IL=0 dla rezonansu. Reinhard Kulessa 35

18. 7 Układ RLC – Drgania tłumione Mamy obwód szeregowo połączonych R-L-C z naładowanym kondensatorem. Ponieważ nie przykładamy napięcia zmiennego, nie ma zastosowania rachunek na liczbach zespolonych. Możemy napisać: I + - C R L (18. 18) Reinhard Kulessa 36

Jest to równanie typu tłumionego oscylatora harmonicznego. Rozwiązanie tego równania dla słabego tłumienia (1/LC) > (R 2/4 L 2) jest następujące: (18. 19) I(t) t Reinhard Kulessa Rozwiązanie to zawiera również przypadek nieperiodyczny czyli eksponencjalny zanik natężenia prądu. 37

Wtedy gdy (1/LC) >> (R 2/4 L 2) częstość Jest równa częstości własnej nie tłumionego obwodu. Rozważmy co dzieje się z natężeniem pola elektrycznego E i indukcją magnetyczną B. Reinhard Kulessa 38

1. R + + C E - - 2. E=0 L B=0 R C Dla chwili t=0 istnieje tylko pole E w kondensatorze. L B 0 Po zamknięciu klucza zaczyna płynąć prąd rozładowujący kondensator. Wytwarza on pole B cewce L, przy czym E w kondensatorze znika. Reinhard Kulessa 39

3. E 0 R - - L C + + B=0 4. R L E=0 Płynący przez cewkę prąd stopniowo zanika, lecz w sumie ładuje on kondensator przeciwnie niż na początku. Znów mamy pole E różne od zera i równe zeru pole indukcji B. I znów kondensator się rozładowuje tworząc pole B i likwidując pole E, itd. . C B 0 Reinhard Kulessa 40

Wiemy, że pole istnieje nie tylko w pobliżu źródeł pola, ale jest obserwowane na dużych odległościach. Z poprzednich rozważań widać, że jest to pole zmienne w czasie, czyli drgające w ten sposób, że zmiana pola elektrycznego E generuje zmianę pola indukcji B. Drganie te zgodnie z teorią względności mogą rozchodzić się nie szybciej niż z prędkością światła. Tworzą one tzw. falę elektromagnetyczną. Istnienie fal elektromagnetycznych zostało przewidziane już przez Maxwella. Zestawmy sobie więc wszystkie równania Maxwella. Reinhard Kulessa 41