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Université de Poitiers - Université d’AGADIR - Université de Lomé MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES Danielle FORTUNÉ Université de Poitiers Camélia LERINTIU Université de Poitiers P prime Kossi ATCHNOUGLO Université de Lomé Jamal CHAOUFI Université d’Agadir Claude VALLÉE Université de Poitiers P prime Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010 - Poitiers

Plan de l’exposé 1 -Introduction : Lois de comportement 2 -Suite de Fitzpatrick associée Y=Ax pour une loi linéaire monotone non 3 -Lois linéaires coaxiales: « loi de Hooke généralisée » 4 -Lois linéaires coaxiales et suite de Fitzpatrick 5 -Construction des fonctions : étude de matrices 2 x 2 6 -Polynômes de Tchebychev de 2ème espèce 7 -Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick 8 -Quel bipotentiel pour la loi coaxiale? 9 -Conclusion et perspectives 2

Introduction y tenseur symétrique des contraintes de Cauchy dans l’espace de Banach réel Y x le tenseur symétrique des petites déformations dans l’espace de Banach réel X dual de Y Produit scalaire Norme associée La loi de comportement est la donnée du graphe d’une multifonction T. Le couple (x, y) satisfait la loi de comportement s’il est 3 dans le graphe.

Introduction • Les matériaux standards (MS): potentiels différentiables • Matériaux standards généralisés (MSG) : potentiels convexes sous-différentiables • Matériaux standards implicites (MSI) : bipotentiels • Matériaux standards implicites monotones (MSIM): lois de comportement maximales monotones 4

Introduction : Matériaux standards • Le graphe dans lequel évolue (x, y) est une sous variété symplectique maximale de l’ espace Xx. Y. Pour les (M. S) , il existe une fonction différentiable appelée potentiel telle que la loi de comportement s’écrive • Si ce potentiel est convexe l’inverse de la loi de comportement s’écrit • où est la transformée de Legendre du potentiel 5

Introduction : Matériaux standards généralisés • Pour certains matériaux la relation entre x et y est une multifonction • Non différentiabilité du potentiel tout en gardant la convexité et la semi-continuité inférieure (J. J. Moreau, R. T. Rockafellar ): classe des matériaux standards généralisés • La loi de comportement se décline par une des trois formes équivalentes suivantes 6

Introduction : Généralisation • La dernière égalité peut être regardée comme le cas extrémal de l’inégalité de Fenchel pour le couple (x, y) satisfaisant la loi de comportement • A l’appui de cette idée, Géry de Saxcé a modélisé le comportement des matériaux en renonçant à la somme des deux potentiels mais en travaillant avec une fonction du couple (x, y) appelée bipotentiel. L’égalité pour le couple (x, y) est réalisée lorsque x et y sont liés par la loi de comportement du matériau. 7

Introduction : Matériaux standards implicites • Les bipotentiels b(x, y) respectent les règles suivantes • Convexe et semi-continue inférieure en x • Convexe et semi-continue inférieure en y • et Un matériau est appelé matériau standard implicite (MSI) si sa loi de comportement s’exprime par l’une des 3 propriétés équivalentes suivantes 8

Introduction: Matériaux standards implicites monotones Lois de comportement maximales monotones Une loi de comportement est monotone si pour deux couples Elle est maximale si elle ne peut pas s’étendre en une loi qui serait encore monotone 9

Suite de Fitzpatrick Pour une multifonction maximale monotone T La suite de fonctions de Fitzpatrick associée à T est 10

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax Loi linéaire y=Ax A non symétrique, S définie positive. Couple (x, y) avec y non nécessairement égal à Ax Double suite bouclée Suite de Fitzpatrick associée à A 11

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax Changement d’origine Le maximum est atteint lorsque 12

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax Trouver la valeur de z 1? 13

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax Ainsi: 14

Suite de Fitzpatrick : résultat Suite de Fitzpatrick associée à la loi linéaire y=Ax A non symétrique Matrices Hn Remarque : La notation Hn est cohérente: FA, n-1 est associée à Hn-3, et ainsi de suite 15

Lois Linéaires coaxiales Lois linéaires coaxiales k tenseur symétrique , μ scalaire, e identité Ces lois respectent bien la propriété de conservation des directions principales de x et y h déviateur de k si h est nul, k sphérique : Loi de Hooke 16

Lois Linéaires coaxiales généralisée : Loi de Hooke Lois linéaires coaxiales Conditions de monotonie Conditions traditionnelles Condition supplémentaire Interprétation moderne du principe énoncé par R. Hooke « tant on tire, tant ça s’allonge » . D’où l’appellation de loi de Hooke généralisée 17

Lois Linéaires coaxiales , , : Application A où appliqué à x ne retient que xd déviateur de x Choisir la base orthonormée ? 18

Lois Linéaires coaxiales : Application A sphérique unitaire , , partie déviatorique de k 4 déviateurs Tous unitaires et orthogonaux 19

Lois Linéaires coaxiales : Application A Base orthonormée , , 20

Lois linéaires coaxiales : notations Suite de Fitzpatrick , Décomposition des matrices Hn matrices 4 x 4 sphériques hn et matrices 2 x 2 sn , …, 21

Construction des fonctions FA, n(x, y) : matrices sphériques hn Expressions des hn et ses inverses On suppose Par récurrence 22

Construction des fonctions FA, n(x, y) : caractérisation des matrices 2 x 2 sn Rappel En décomposant a et a. T en parties symétriques et parties antisymétriques proportionnelles à J, puis en introduisant la propriété suivante sur les matrices 2 x 2 On démontre, par récurrence, que les sn sont proportionnels à s 23

Construction des fonctions FA, n(x, y) : caractérisation des scalaires αn Expression du déterminant de s On pose L’expression de αn se transforme en Etudions maintenant les propriétés de la suite satisfaisant avec 24

Construction des fonctions FA, n(x, y) : caractérisation des fonctions βn(X) Regardons ces fonctions comme le rapport entre deux fonctions notées Pi(X) Par récurrence, il vient 25

Polynômes de Tchebychev Les polynômes Pi(x) introduits satisfaisont : On reconnait les polynômes de Tchebychev de 2ème espèce 26

Polynômes de Tchebychev La variable X est comprise entre 0 et 1 Θ est compris entre 0 et π/2. Les polynômes prennent les formes suivantes . 27

Polynômes de Tchebychev : expressions de αn et sn Expressions des scalaires αn Expressions des matrices sn 28

Polynômes de Tchebychev : expressions des matrices Hn En regroupant les résultats sur les matrices hn et sn, les matrices Hn s ‘écrivent : 29

Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick Fonctions de Fitzpatrick avec Chaque fonction de Fitzpatrick génère un bipotentiel pour la loi coaxiale non symétrique y=Ax 30

Quel bipotentiel pour la loi coaxiale monotone? On ne doit pas aller jusqu’à l’infini pour choisir le bipotentiel associé à la loi coaxiale monotone y=Ax avec A non symétrique et S définie positive Le choix d’un indice N est à faire afin de conserver le plus loin possible la définie positivité 31

Conclusion et Perspectives Proposition de bipotentiel pour la loi de Hooke non tronquée de 7 paramètres Repenser la RDM par l’identification des 7 paramètres: λ, μ et le déviateur h Remplacer la somme des deux potentiels de la loi de Hooke à deux paramètres λ et μ par la fonction de Fitzpatrick FA, N Dans le principe mixte, remplacer la fonctionnelle par 32

Extention: non linéaire, non monotone vecteurs x et y de même orientation suite de Fitzpatrick généralisée bipotentiel de Cauchy- Schwarz- Buniakovsky 33

MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES Merci de votre attention Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010 - Poitiers 34

Quelques lectures J. J. Moreau (2003), Fonctionnelles convexes, Istituto poligrafico e Zecca dello stato S P A , Roma G. de Saxcé and L. Bousshine (2002), Implicit Standard Materials, D. Weichert and G. Maier (eds), Inelastic Behaviour of Structures Under Variable Repeated Loads, CISM Courses and Lectures, 432, Springer G. de Saxcé, Z. Q. Feng , (1991), New Inequation and Functional for Contact with Friction: the Implicit Standard Material Approach, International Journal Mechanics of Structures and Machines, 19/3, 301 -325 S. Fitzpatrick (1988), Representing monotone operators by convex functions, Work-shop/ Mini conference on Functional Analysis and Optimisation, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University, 20, Australia, 59 -65 S. Bartz, H. H. Bauschke, J. M. Borwein, S. Reich and X. Wang (2007), Fitzpatrick function, cyclic monotonicity and Rockafellar antiderivative, Nonlinear Analysis, 66, 1198 -1223 M. Buliga, G. de Saxcé, C. Vallée (2008), Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued laws, J. of Convex Analysis, 15/1, 87 -104 C. Vallée, C. Lerintiu, D. Fortuné, K. Atchonouglo, M. Ban, (2009) Representing a non associated constitutive law by a potential issued from a Fitzpatrick sequence, Archives of Mechanics, 61, issue 3 -4, 325 -342, Warszawa 35