U D 8 2 ESO GEOMETRA PLANA Angel

U. D. 8 * 2º ESO π GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 8. 5 * 2º ESO π TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

TRAPECIOS Trapecios Rectángulo Isósceles P=B+b+h+l A = [(B+b) / 2]. h P = B + b + 2. l A = [(B+b) / 2]. h l = √ (h 2 + (B – b)2) l = √ (h 2 + [(B – b)/2]2 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO Escaleno P = B + b + l` A = [(B+b) / 2]. h 3

ÁREA Y PERÍMETRO • El perímetro de un trapecio es la suma de los lados. • P= B + b + l’ • • • En un trapecio isósceles l=l’ En un trapecio rectángulo l’= h Si unimos dos trapecios, como en la figura ( uno de ellos invertido), se forma un romboide. El área del romboide será: A = (B+b). h Luego el área del trapecio será la mitad: b l B b • A = (B + b). h / 2 @ Angel Prieto Benito l’ h B Apuntes Matemáticas 2º ESO b 4

TRAPECIO ISÓSCELES • TRAPECIO ISÓSCELES • Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. Se podría decir que es la parte de un triángulo isósceles queda entre su base y una recta paralela a dicha base. • • • En el trapecio isósceles la semidiferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo. Por ello se puede determinar la altura conociendo las bases y el lado oblicuo; o también se puede determinar el lado oblicuo conociendo las bases y la altura. @ Angel Prieto Benito b l h l B Por el Teorema de Pitágoras: l = √ (h 2 + [ ( B – b ) / 2 ]2 ) l = lado oblicuo = hipotenusa. Apuntes Matemáticas 2º ESO 5

TRAPECIO RECTÁNGULO • TRAPECIO RECTÁNGULO • Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases, formando dos ángulos rectos. En él la diferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo. • b l l’=h l = √ ( h 2 + ( B – b ) 2 ) h B–b B @ Angel Prieto Benito En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: El perímetro es la suma de sus cuatro lados: P=B+b+h+l Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

• • Ejemplo 1 En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm, la altura vale 6 cm y los lados oblicuos miden 6, 5 y 7, 5 cm. Hallar el perímetro y el área. • • • El perímetro será: P=B+b+l+l’ = 7+5+6, 5+7, 5 = 26 cm El área será: A = [(B+b) / 2]. h A = [(7+5) / 2]. 8 = 6. 8 = 48 cm 2. • • Ejemplo 2 En un trapecio el perímetro mide 40 cm, las bases miden 10 y 8 cm, la altura vale 5 cm y un lado oblicuo es 3 cm mayor que el otro. Hallar los lados y el área. • • • El perímetro será: P=B+b+l+l’ 40 = 10 + 8 + l + (l + 3) 40 = 21 + 2. l l = (40 – 21) / 2 = 19 / 2 = 9, 5 cm , , l’ = l+3 = 9, 5 + 3 = 12, 5 cm El área será: A = [(B+b) / 2]. h A = [(10+8) / 2]. 5 = 9. 5 = 45 cm 2. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

• Ejemplo 3 • • b=5 En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm y el área vale 48 cm 2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. l’ l h Sabemos que: A = [(B+b) / 2]. h Luego: 48 = [(7+5)/2]. h 48 =(12/2). h 48 = 6. h Aplicando la Regla del Producto: h = 48 / 6 = 8 cm Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones). h B=7 h=8 A = 48 @ Angel Prieto Benito A = 48 Apuntes Matemáticas 2º ESO A = 48 8

• Ejemplo 4 • En un trapecio rectángulo el las bases miden 17 y 12 cm y la altura mide 12 cm. Hallar el perímetro y el área. • • • Sabemos que: P = B + b + h + l P = 17 + 12 + l Necesitamos conocer el lado oblicuo. Por el T. de Pitágoras: l 2 = h 2 + (B – b)2 l 2 = 122 + (17 – 12)2 l 2 = 144 + 25 = 169 l = √ 169 = 13 cm Por tanto P = 17+12+12+13 = 54 cm • • • b=12 l h El área será: A = [(B+b) / 2]. h A = [(17+12)/2]. 12 A = (29/2). 12 A = 29. 6 = 174 cm 2 @ Angel Prieto Benito h h B–b B = 17 Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

• Ejemplo 5 • En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm 2. Hallar la altura, los lados oblicuos y el perímetro. • b=5 • • • Sabemos que: A = [(B+b) / 2]. h Luego: 48 = [(11+5)/2]. h 48 =(16/2). h 48 = 8. h h = 6 cm • Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Por el T. de Pitágoras l = √ (h 2 + [(B – b)/2]2 ) = = √ (62 + [(11 – 5)/2]2 ) = = √ (36 + 9) = √ 45 = 3. √ 5 cm • • @ Angel Prieto Benito l l h h B=7 • • El perímetro será: P=B+b+2. l P=11+5+2. 3. √ 5 = P= 16 + 6. √ 5 cm Apuntes Matemáticas 2º ESO 10

TRAPEZOIDE • • • Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. Todo trapezoide se puede descomponer en cuatro triángulos, cuyos vértices serán los extremos de cada lado y un punto interior, P, cualquiera del trapezoide. Un caso particular de trapezoide es la cometa, donde las diagonales son perpendiculares (como el rombo o el cuadrado) y los lados iguales dos a dos. Ello hace que se forme un triángulo rectángulo, y por consiguiente se pueda utilizar el teorema de Pitágoras para su construcción. c b P d a @ Angel Prieto Benito La cometa Apuntes Matemáticas 2º ESO 11

La cometa • • • Ejemplo 7 En la cometa de la figura (trapezoide) nos dan la medida troceada de la diagonal mayor (6 + 15 = 21 dm) y el lado mayor (L=17 dm). Queremos saber el perímetro y el área para poder construirla. Calculamos la diagonal menor, d. Por el T. de Pitágoras d/2 = √(172 – 152) = √(289 – 225) = = √ 64 = 8 d = 2. 8 = 16 dm Calculamos el lado menor, l. Por el T. de Pitágoras l = √(82 + 62) = √ 100 = 10 dm @ Angel Prieto Benito 17 10 8 15 6 10 8 17 • • El perímetro será: P=2. 10+2. 17 = 20+34 = 54 dm • • El área será: A=D. d/2 = 21. 16 / 2 = 168 dm 2 Apuntes Matemáticas 2º ESO 12