U D 8 2 ESO GEOMETRA PLANA Angel

U. D. 8 * 2º ESO π GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 8. 6 * 2º ESO π PENTÁGONO Y EXÁGONO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

POLÍGONOS REGULARES • Los polígonos reglares son polígonos convexos cuyos lados son iguales. • • • CONSTRUCCIÓN 1. - Se traza una circunferencia con el mismo lado del polígono. Esta circunferencia será la circunscrita, o sea la que pasa por todos los vértices. 2. - Se traza un diámetro. 3. - Se divide el diámetro trazado en tantas partes iguales como lados tenga el polígono a dibujar. Por ejemplo dibujaremos un pentágono: n=5. 4. - Se trazan dos arcos de circunferencia, cada uno con centro en un extremo del diámetro y que pasen por el otro extremo. 5. - Se traza una recta que una el punto de intersección de los arcos con la segunda de las divisiones del diámetro. 6. - Señalamos el punto de corte de la anterior recta con la circunferencia. 7. - La distancia del punto anterior al extremo del diámetro es el lado del polígono. Con el compás llevamos esta distancia a lo largo de la circunferencia y tenemos los vértices. • • @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 3

O P @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 4

PENTÁGONO • PENTÁGONO • • • Es un polígono regular de CINCO lados. Ángulo central: 360/5 = 72º Ángulos interiores: (180 – 72) / 2 = 54º • • Se compone de 5 triángulos isósceles idénticos. La altura de uno de ellos es la APOTEMA. • • PERÍMETRO: P = 5. l • • ÁREA: A = 5. (l. apo / 2) = P. apo / 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 54º 72º 54º apo l 5

Ángulos en el pentágono @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

APOTEMA DE UN POLÍGONO • • APOTEMA Es el segmento perpendicular al lado, que une el centro de un polígono regular con el punto medio del lado. • En todos los polígonos regulares se puede construir un triángulo rectángulo en el cual: Hipotenusa: El radio del polígono. Un cateto: La apotema. Otro cateto: La mitad del lado. Por el Teorema de Pitágoras: R 2 = a 2 + (l/2)2 • • Ejemplo Hallar la apotema de un polígono regular cuyo radio mide 13 cm y cuyo lado mide 10 cm. a 2 = R 2 – (l/2)2 = 132 – 52 = 144 a = 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 54º 72º R l a l/2 7

EXÁGONO • CONSTRUCCIÓN DEL EXÁGONO • • • Es un polígono regular de seis lados. El radio, R, es igual al lado. Se compone de seis triángulos equiláteros. Todos sus ángulos miden 60º • • A Se construye una circunferencia de F radio igual al lado. Con la longitud del radio se marcan sobre la circunferencia seis puntos equidistantes (A, B, C, D, E y F). Y se unen los seis puntos. C l=R E @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO B D 8

APOTEMA DEL EXÁGONO • APOTEMA DEL EXÁGONO • • • Es un exágono al ser el radio igual al lado, tenemos: Por el Teorema de Pitágoras: R 2 = a 2 + (l/2)2 En este caso: l 2 = a 2 + (l/2)2 Despejando la apotema: a 2 = l 2 – (l/2)2 Operando: a 2 = l 2 – l 2/4 = (4. l 2 – l 2)/4= 3. l 2 / 4 La apotema valdrá: a = √ 3. l 2/4 = l. √ 3 / 2 • Perímetro: P=6. l @ Angel Prieto Benito A B F C l=R a l/2 E D A = P. apo / 2 Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

Perímetro y Área • Ejemplos • 1. - Hallar la apotema de un hexágono regular de 6 cm de lado, así como el perímetro y el área. ap = l. √ 3 / 2 ap = 6. √ 3 / 2 = 3. √ 3 cm P = 6. l = 6. 6 = 36 cm A =P. ap / 2 = 36. 3. √ 3 / 2 = 54. √ 3 cm 2 • • • 2. - Hallar la apotema de un hexágono regular de 10 cm de lado, así como el perímetro y el área. a = l. √ 3 / 2 a = 10. √ 3 / 2 = 5. √ 3 cm P = 6. l = 6. 10 = 60 cm A =P. ap / 2 = 60. 5. √ 3 / 2 = 150. √ 3 cm 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 10

Perímetro y Área • … Ejemplos • 3. - Hallar el lado de un hexágono regular de 4 cm de apotema, así como el perímetro y el área. a = l. √ 3 / 2 4 = l. √ 3 / 2 4. 2 / √ 3 = l l = 8 / √ 3 cm P = 6. l = 6. 8 / √ 3 = 48/√ 3 cm A =P. ap / 2 = 48/√ 3. 4 / 2 = 96/√ 3 cm 2 • • • 4. - Hallar el lado de un hexágono regular de 7. √ 3 cm de apotema , así como el perímetro y el área. a = l. √ 3 / 2 7. √ 3 = l. √ 3 / 2 7. √ 3. 2 / √ 3 = l l = 14 cm P = 6. l = 6. 14 = 84 cm A =P. ap / 2 = 84. 7√ 3 / 2 = 294·√ 3 cm 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 11

Los lagartos de M. C. Echer @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 12