Technique des Plans dExpriences 1 Plans dExpriences Introduction

Technique des Plans d’Expériences 1

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 2 Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : • Comment sélectionner les expériences à faire ? • Quelle est la meilleure stratégie pour : • conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ? • éviter des expériences inutiles ? • apporter une bonne précision ? • modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ? Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple.

Le problème des pesées Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 3 Le Problème des Pesées (Hotelling 1944) Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation. illustration par l’exemple de la pesée…

Plans d’Expériences La question et le matériel expérimental Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple • La question Déterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision. Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 4 • Le matériel expérimental Une balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids.

Plans d’Expériences Les hypothèses Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple • Chaque pesée est entachée d’une erreur e : Y=m+e • L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser : Variance (e) = s² • Les pesées ne sont pas liées entre elles : Covariance (Yi, Yj) = 0 • En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique » . • Chaque pesée coûte 100€ 5

Plans d’Expériences STRATEGIE 1 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple On pèse un objet à la fois Matrice d’expérience Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 6 0 : l’objet n’est pas sur la balance 1 : l’objet est sur le plateau de droite -1 : l’objet est sur le plateau de gauche

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 7 STRATEGIE 1 Estimation des masses des objets

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 8 STRATEGIE 1 Quelle est la précision des mesures ?

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 9 Comment obtenir une meilleure précision ?

Plans d’Expériences STRATEGIE 2 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 10 On pèse deux objets à la fois Matrice d’expérience

Plans d’Expériences STRATEGIE 3 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 11 On pèse trois objets à la fois Matrice d’expérience

Plans d’Expériences STRATEGIE 4 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 12 La première pesée est inversée Matrice d’expérience

Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k • Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais, . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple • On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai), Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 13 • La limite inférieure de la précision est s²/n où n désigne le nombre d’essais, • On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice t. XX où X est la matrice d’expérience, • Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : t. XX = n. I où I est la matrice d’identité.

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Stratégie 1 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Stratégie 2 Stratégie 3 Stratégie 4 Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple • une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois, • meilleure stratégie matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes, • entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes le plan d’expérience est orthogonal La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience 14

Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k Stratégie 1 Stratégie 2 . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 15 Stratégie 3 Stratégie 4

Plans d’Expériences Reformulation du problème des pesées Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k (Reformulation / transposition du problème des pesées) . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Mauvaise 16 Optimale

Concept et Définitions Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Constat : Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse. La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables Xi que l’on appelle facteurs. Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 17 Y = f (X 1, X 2, …, Xn) Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs. On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse. Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse.

Concept et Définitions Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 18 Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres • Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, • souvent employée car l’analyse des résultats est simple. Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience • diminution du nombre d’essais • étude d’un grand nombre de facteurs • détection des interactions entre facteurs • obtention de la meilleure précision possible • obtention d’un modèle du système • analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés Les plans d’expériences

Concept et Définitions Plans d’Expériences Introduction Vocabulaire . Exemple Facteur : variable qui agit sur le système. Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Réponse : grandeur que l’on mesure pour connaître l’effet des facteurs sur le système. Continu Discret quantitatif qualitatif Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie. Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais. Définition Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience. Plan Xk k facteurs à X niveaux • Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 23 = 8 expériences • Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet comporte 23 42 = 128 expériences 19 Plan 2 k plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux.

Plan factoriel complet 2 k Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Le domaine expérimental Le domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter : • niveaux trop proches pas d’effet significatif sur les facteurs • niveaux trop éloignés mise en défaut de l’hypothèse de linéarité Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Choix aux effets antagonistes 20

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Plan factoriel complet 2 k Stratégie de mise en place d’un plan : Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 1 – Recher l’ensemble des facteurs influents sur le système. 2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits). 3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience (les autres seront figés au cours des essais). 4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs. 5 – Faire le plan. 6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous les facteurs sont figés). 7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des effets…). 21

Concept et Définitions Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 22 La matrice d’expérience tableau indiquant : • le nombre d’expérience à réaliser, • la façon de faire varier les facteurs, • l’ordre de réalisation des expériences. Ici pour ce plan 22, le niveau bas est codé à l’aide du nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1. (notation de Yates) Exp X 1 X 2 1 -1 -1 2 +1 -1 3 -1 +1 4 +1 +1 La matrice d’expérience et des réponses Exp X 1 X 2 Réponse : Yrep 1 -1 -1 y 1 2 +1 -1 y 2 3 -1 +1 y 3 4 +1 +1 y 4

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Cas d’un seul facteur • effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. • effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen = moitié de l'effet global. Exp Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Effet global de X 1 : y 2 - y 1 Effet moyen de X 1 : Effet au centre : (moyenne des réponses) 23 Effets global et moyen d’un facteur X 1 Rép : Yrep 1 -1 y 1 2 +1 y 2

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Effets global et moyen d’un facteur Cas de deux facteurs • L'effet moyen de X 1 : demi-variation de la réponse lorsque X 1 passe de -1 à +1. Exp X 1 1 -1 -1 y 1 Or, pour chacun des niveaux de X 1, il y a 2 expériences 2 +1 -1 y 2 3 -1 +1 y 3 travail à partir des réponses moyennes. 4 +1 +1 y 4 • Réponse moyenne quand X 1 est au niveau – 1 : • Réponse moyenne quand X 1 est au niveau +1 : • Effet moyen de X 1 24 X 2 Rép : Yrep Effet global de X 1 : Effet moyen de X 1 :

Plans d’Expériences Introduction Effets global et moyen d’un facteur Cas de deux facteurs . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple • Rép. moyenne quand X 2 est au niveau – 1 : • Rép. moyenne quand X 2 est au niveau +1 : Exp X 1 X 2 Rép : Yrep 1 -1 -1 y 1 2 +1 -1 y 2 3 -1 +1 y 3 4 +1 +1 y 4 • Effet moyen de X 2 Plan Frac. . Principe. Exemple 25 • Réponse théorique pour X 2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1

Plans d’Expériences Notion d’interaction entre facteurs Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 26 • Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre. • Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande. ou Il existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement.

Plans d’Expériences Introduction Notion d’interaction entre facteurs Calcul de l’interaction X 1 X 2 . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X 2 lorsque X 1 passe du niveau bas au niveau haut Exp X 1 1 -1 -1 y 1 = 60 2 +1 -1 y 2 = 85 3 -1 +1 y 3 = 75 4 +1 +1 y 4 = 90 Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple • Effet moyen de X 2 au niveau haut de X 1 : • Effet moyen de X 2 au niveau bas de X 1 : Plan Frac. . Principe. Exemple 27 • Effet moyen de l'interaction X 1 X 2 : X 2 Réponse : Yrep

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Calcul des effets avec la notation de Yates On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple. La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1. Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice telle que = X-1 Yrep = (1/n) t. X Yrep où Yrep est la matrice colonne des réponses expérimentales. La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient. Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : t. XX = n In 28

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 29 Algorithme de Yates On s'intéresse à un plan 2 k et à un modèle polynomial du premier d° : Y = a 0 +a 1 X 1 + a 2 X 2 +. . . + ak. Xk Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2 k lignes. On alterne les -1 et le +1 - toutes lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne, - toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par -1. - on alterne les -1 et les +1 toutes les 2 j-1 lignes pour la jème colonne. Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales yi affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur Xi divisé par le nombre d'expériences.

Exemple numérique Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Construction d’un plan 23 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. (plan 2 k où k=3 soit 23=8 expériences) Les facteurs : X 1 : la température de pressage, X 2 : la pression lors du pressage, X 3 : le temps de pressage. Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Matrice d’expérience et des réponses Exp X 1 X 2 X 3 Yexp 1 -1 -1 -1 18, 1 2 +1 -1 -1 16, 0 Plan Frac. 3 -1 +1 -1 17, 1 . Principe. Exemple 4 +1 +1 -1 17, 0 5 -1 -1 +1 17, 8 6 +1 -1 +1 17, 2 7 -1 +1 +1 18, 1 8 +1 +1 +1 17, 0 30 Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X 1 80 °C 120 °C X 2 0, 5 bars 2 bars X 3 1 h 2 h J=1 J=2 Matrice des effets 2 J 1=…. J=3

Exemple numérique Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique Exp Moy X 1 X 2 X 3 Yexp 1 +1 -1 -1 -1 18, 1 2 +1 +1 -1 -1 16, 0 3 +1 -1 17, 1 4 +1 +1 +1 -1 17, 0 5 +1 -1 -1 +1 17, 8 6 +1 +1 -1 +1 17, 2 7 +1 -1 +1 +1 18, 1 17, 0 . Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple 8 +1 +1 Diviseur 8 8 Plan Frac. Effets a 0=17, 29 a 1=-0, 49 a 2=0, 01 a 3=0, 24 . Principe. Exemple 31 Le modèle s’écrit :

Plan complet avec interactions Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple • Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables Xi et Xj on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise Xi. Xj, et que l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables Xi et Xj. • Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment. Exemple numérique • Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs Plan Frac. Domaine expérimental . Principe. Exemple 32 Matrice d’expérience et des réponses Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 Température : T 60°C 80°C Pression : P 1 bar 2 bars Exp T P Y (%) 1 -1 -1 60 2 +1 -1 65 3 -1 +1 75 4 +1 +1 85

Exemple numérique Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions. . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. Exp 1 Moy ( +1 T × -1 × P TP -1 ) = +1 60 2 +1 +1 -1 -1 65 3 +1 -1 75 4 +1 +1 85 Diviseur 4 4 Effets a 0=71, 25 a 1=3, 75 a 2=8, 75 a 12=1, 25 Calcul des coefficients . Principe. Exemple Le modèle s’écrit : Soit : Y = 71, 25 + 3, 75 T + 8, 75 P + 1, 25 P T 33 Y (%)

Exemple numérique Plans d’Expériences Introduction Tableau des réponses moyennes . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple T Niveau -1 Niveau +1 P P P -1 +1 T -1 60 75 T +1 65 85 Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Graphe des effets 34 Visualisation de l’interaction (Ec 1 Ec 2) interaction

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Construction d’un plan 2² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs. Niveau bas : -1 Les facteurs : X 1 : le stress, X 2 : la compréhension. Niveau haut : +1 X 1 Faible Elevé X 2 Totale Nulle Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple N° des essais 1 2 3 4 Note obtenue 17. 7 12. 9 10. 3 2. 5 Plan Frac. . Principe. Exemple 35 1. 2. 3. 4. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Tracer le diagramme des effets Construire le modèle mathématique associé

Exemple numérique Plans d’Expériences Exp Moy X 1 X 2 X 1 X 2 Yexp . Exemple 1 +1 -1 -1 +1 17, 7 Concepts Plan 2 k 2 +1 +1 -1 -1 12, 9 3 +1 -1 10, 3 4 +1 +1 2, 5 Statistique Diviseur 4 4 . Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Effets 10, 85 -3, 15 -4, 45 -0, 75 Introduction . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 36 X 1 X 2 14 15, 3 Niveau +1 7, 7 6, 4 Niveau -1 X 2 X 1 X 1 -1 +1 X 2 -1 X 2 +1 10. 3 17. 7 12. 9 2. 5 Le modèle s’écrit :

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Construction d’un plan 23 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs. Niveau bas : -1 Les facteurs : X 1 : la température, X 2 : le nombre de cycles, X 3 : la charge appliquée. Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Niveau haut : +1 X 1 20 °C 120 °C X 2 1 200 X 3 10 MPa 50 MPa N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8 Déformation (mm) 2 1 4 3 7 2 5 6 Plan Frac. . Principe. Exemple 37 1. 2. 3. 4. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Tracer le diagramme des effets Déterminer une loi de comportement du matériau testé

Exemple numérique Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Exp Moy X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 1 X 3 X 2 X 3 X 1 X 2 X 3 Yexp 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 2 2 +1 +1 -1 -1 +1 +1 1 3 +1 -1 -1 +1 4 4 +1 +1 +1 -1 -1 -1 3 5 +1 -1 -1 +1 7 6 +1 +1 -1 -1 2 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 5 8 +1 +1 6 Diviseur 8 8 8 8 Effets a 0=3, 75 a 1=-0, 75 a 2=0, 75 a 3=1, 25 a 12=0, 75 a 13=-0, 25 a 23=-0, 25 a 123=0, 75 Le modèle s’écrit : 38

Exemple numérique Plans d’Expériences Introduction Tableau des réponses moyennes . Exemple Concepts Plan 2 k X 1 Niveau -1 . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Niveau +1 3 X 2 X 3 3 2, 5 4, 5 5 Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple X 1=-1 Plan Frac. X 1 . Principe. Exemple -1 X 1=+1 X 2 +1 -1 X 3 +1 -1 Graphe des effets 39 +1 -1 +1 Visualisation de l’interaction X 1 X 2

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 40 Statistique & interprétation des résultats

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Statistique - Rappels élémentaires Concepts Plan 2 k • Moyenne . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple • Variance s² : moyenne des carrées des écarts à la moyenne Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 41 - Pour un échantillon variance vraie : où est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl. - Pour une population variance estimée : où M est la moyenne estimée de la population : N nombre d’échantillons n-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne)

Statistique - Rappels Plans d’Expériences • Test de comparaison de deux variances Introduction. Exemple On cherche à comparer deux distributions statistiques normales Concepts Plan 2 k (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ? ) . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple On observe n 1 individus 1 ier échantillon Variance s 12 On observe n 2 individus 2 ième échantillon Variance s 22 On forme le rapport de Fisher-Snedecor : Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons n 1 et n 2 avec n 1=n 1 -1 et n 2=n 2 -1. F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce a, c’est-àdire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie. Si on désire évaluer le risque à 5% table à 0, 95 On cherche dans la table la valeur de que l’on compare à Fcalculé. On accepte l’hypothèse d’identité des variances si : 42

Plans d’Expériences Exemple : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées. Les agents travaillent ils de la même façon ? B est-il meilleur que A ? Agent A : 11 échantillons s. A 2 = 3, 02 Agent B : 22 échantillons s. B 2 = 1, 22 Table de Snedecor pour un risque de 5%. ddl(s. A 2) = 11 -1 = 10 = n 1 ddl(s. B 2) = 22 -1 = 21 = n 2 Plan Frac. . Principe. Exemple La différence des variances est significative (au seuil de 5%) On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B. 43 Statistique - Rappels

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 44 Test de signification des effets Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle. Les calculs statistiques permettent : - savoir si les effets sont significatifs, - calculer les intervalles de confiance, - de valider la linéarité du modèle. Ils font intervenir d'une part les résidus ei, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit : n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle On peut montrer que tous les effets ont même variance Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus s². Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer s².

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 45 Test de signification des effets Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0. On testera donc l'hypothèse : H 0 = << ai = 0 >> contre l'hypothèse H 1 = << ai ≠ 0 >> Pour cela on calcule : Pour le test on utilise la table de Student à n = n - p ddl où n est le nombre d'expériences réalisées, p est le nombre d'effets y compris la constante. Pour un risque de première espèce a (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur tcrit(a, n), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle : si ti > tcrit(a, n), on rejette H 0 au risque accepté. si ti < tcrit (a, n), on accepte H 0 au risque accepté. H 0 accepté l’effet en question n’est pas, au risque a, significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse.

Test de signification des effets Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple : On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T, pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P. On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %. Exp Moy T P Y (%) Yest ei ei ² 1 +1 -1 -1 60 58. 75 1. 25 1. 5625 2 +1 +1 -1 65 66. 25 -1. 25 1. 5625 3 +1 -1 +1 75 76. 25 -1. 25 1. 5625 4 +1 +1 +1 85 83. 75 1. 25 1. 5625 Diviseur 4 4 4 Le modèle : Effets a 0=71. 25 a 1=3. 75 a 2=8. 75 3 coefficients Variance des résidus : Variance commune des estimateurs : 46

Plans d’Expériences Introduction Test de signification des effets Les ti sont calculés avec la relation : . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple La table de Student donne pour un risque de 5% avec n = n - p = 4 - 3 = 1 : - Pour a 1 = 3. 75 (effet de T) on a t 1 = 3 < 12. 71 : on accepte H 0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif. - Pour a 2 = 8. 75 (effet de P) on a t 2 = 7 < 12. 71 : on accepte H 0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif. On peut donc considérer que les coefficients a 1 et a 2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit » . La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique. Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré. 47

Intervalle de confiance des effets Plans d’Expériences a/ variance expérimentale connue Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 48 On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental s. L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque 5% : [(ai - 1, 96 si) ; (ai + 1, 96 si)] risque 1% : [(ai - 2, 58 si) ; (ai + 2, 58 si)] où si² est la variance commune des estimateurs des coefficients.

Intervalle de confiance des effets Plans d’Expériences b/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant) Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 49 La variance commune des résidus estimée avec n = n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet. et Si l’on choisit un risque a, on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t(a, n) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque a% : [(ai – t(a, n) si) ; (ai + t(a, n) si)]

Exemple Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Considérons le plan d'expérience 23 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3 X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 1 X 3 X 2 X 3 Yobservé Yi estimés ei e²i -1 -1 -1 +1 +1 +1 5. 2 5, 1875 + 0, 0125 0, 000156 +1 -1 -1 +1 4. 7 4, 7125 - 0, 0125 0, 000156 -1 +1 -1 5. 1 5, 1125 - 0, 0125 0, 000156 +1 +1 -1 -1 5. 5 5, 4875 + 0, 0125 0, 000156 -1 -1 +1 +1 -1 -1 4. 9 4, 9125 - 0, 0125 0, 000156 +1 -1 4. 6 4, 5875 + 0, 0125 0, 000156 -1 +1 +1 -1 -1 +1 4. 8 4, 7875 + 0, 0125 0, 000156 +1 +1 +1 5. 3 5, 3125 - 0, 0125 0, 000156 Plan Frac. . Principe. Exemple Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant : Y = 5. 0125 + 0. 0125 X 1 + 0. 1625 X 2 – 0. 1125 X 3 + 0. 2125 X 1 X 2 + 0. 0375 X 1 X 3 0, 0125 X 2 X 3 à partir duquel on évalue Yestimé, puis les écarts. 50

Exemple Plans d’Expériences Introduction • Variance commune des résidus : . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple • Variance commune de tous les effets : • Calcul du « t » de Student pour chaque effet : • La table de Student t(a; n) = t(0, 05; 1)=12, 71 pour un risque de 5%. Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Constante 5, 0125 X 1 Plan Frac. . Principe. Exemple 51 Variable effet t Résultat t 0 = 401 > 12, 71 significatif a 1 = 0, 125 t 1 = 1 < 12, 71 non significatif X 2 a 2 = 0, 1625 t 2 = 13 > 12, 71 significatif X 3 a 3 = - 0, 1125 t 3 = 9 < 12, 71 non significatif X 1 X 2 a 12 = 0, 2125 t 12 = 17 > 12, 71 significatif X 1 X 3 a 13 = 0, 0375 t 13 = 3 < 12, 71 non significatif X 2 X 3 a 23 = - 0, 0125 t 23 = 1 < 12, 71 non significatif Modèle à retenir : Y = 5, 0125 + 0, 1625 X 2 + 0, 2125 X 1 X 2

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 52 Analyse de la variance • Lever le doute quant à la significativité des effets

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Analyse de la variance • Validité du modèle linéaire ? - Yi les réponses observées lors de la réalisation des expériences, la réponse estimée à l'aide du modèle linéaire, - Ymoy la moyenne des réponses. 1 - La variation due à la liaison linéaire : SCEL se lit : "somme des carrés des écarts dues à la liaison". 2 - La variation résiduelle : SCER se lit : "somme des carrés des écarts des résidus". 3 - La variation totale : SCET = SCEL + SCER STCE se lit : " somme totale des carrés des écarts". Le "carré moyen" est le quotient d'une somme de carrés par son degré de liberté. SCEL a (p-1) ddl (p : nombre de coefficients estimés à partir du modèle). SCER a (n-p) degrés de libertés (n est le nombre d'expériences réalisées). SCET a (n-1) degrés de liberté. 53

Analyse de la variance Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Variation due à Somme des carrés ddl Liaison (entre échantillons) SCEL p– 1 Résidus SCER (intérieur échantillon) n–p Total n– 1 SCET Carré moyen F • Le test F permet de comparer pour un risque fixé à l'avance le Fobs que l'on a calculé dans le tableau avec un F(critique) lu dans la table de Fisher-Snedecor avec (p - 1) et (n - p) degrés de liberté. Le test : H 0 : « les deux carrés moyens sont de même grandeur » la régression n'est pas significative. H 1 : « le carré moyen dû à la régression est significativement plus grand que le carré moyen dû aux résidus » la régression est globalement significative. La règle du test alors pour un risque a choisi : Si Fobs < F(critique), on accepte l'hypothèse H 0. Si Fobs > F(critique), on accepte l'hypothèse H 1 avec la confiance 1 -a. 54

Exemple Plans d’Expériences Reprenons l’exemple précédent avec tous les effets et leurs interactions : Introduction Moy X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 1 X 3 X 2 X 3 Y Concepts Plan 2 k +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 5. 2 +1 +1 -1 -1 +1 4. 7 . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple +1 -1 -1 +1 -1 5. 1 +1 +1 +1 -1 -1 5. 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 4. 9 +1 +1 -1 4. 6 Statistique +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 4. 8 . Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple +1 +1 5. 3 a 0 a 1 a 2 a 3 a 12 a 13 a 23 5, 0125 0, 1625 -0, 1125 0, 2125 0, 0375 -0, 0125 . Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 55 Variation due à Somme des carrés DDL Liaison SCEL 7– 1 Résidus SCER 8– 7 Total SCET 8– 1 Carré moyen 0. 0984 F ici, p = 7 n=8 n 1 = 6 n 2 = 1 d’où Fcrit = 234 pour a = 5% (Fobs = 91, 667) < (Fcrit = 234) on rejette l'hypothèse de linéarité du modèle.

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 56 Exemple

Exemple Plans d’Expériences Introduction. Exemple Effectuons une nouvelle analyse de la variance, avec le modèle ne contenant que les coefficients significatifs a 2 et a 12. Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Variation due à Somme des carrés DDL Liaison SCEL 3– 1 Statistique Résidus SCER 8– 3 . Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Total SCET 8– 1 Plan Frac. . Principe. Exemple Carré moyen F ici, p = 3 n=8 n 1 = 3 -1 = 2 n 2 = 8 -3 = 5 a = 5% 0. 0984 On évalue Fcrit avec la table de Fischer Snédecor pour n 1=2 et n 2=5, pour un risque a=5% (Fobs = 12, 3) > (Fcrit = 5, 79) on accepte donc l'hypothèse de linéarité du modèle. 57

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Plans fractionnaires Constatation : Lorsque le nombre de facteurs ou le nombre de niveaux par facteur augmente, les plans complets donnent très vite un nombre d’essais peu compatible avec la réalité industrielle. Question : Doit on réaliser toutes les expériences du plan complet pour estimer le modèle du système ? Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple En effet si l’on veut étudier un modèle à 3 facteurs à 2 niveaux mais sans interaction, il faut identifier 4 coefficients 4 essais et non 8 comme pour le plan complet 23. Le plan fractionnaire à 4 essais suppose les interactions nulles. Si l’une d’entre elles est ≠ 0 alors elle perturbera les coefficients du modèle. L’utilisation d’un plan fractionnaire n’est pas sans risque. Il faut pouvoir statuer sur les points suivants : - Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire, - Quels sont les risques liés à l’utilisation d’un plan fractionnaire. 58

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 59 Plans fractionnaires Condition sur le nombre de degrés de liberté Le nombre de ddl d’un modèle indique le nombre de valeurs qu’il est nécessaire de calculer pour connaître l’ensemble des coefficient du modèle. D’une manière générale, pour pouvoir calculer X valeurs indépendantes il faut introduire dans les calculs au moins X expériences La règle : Le nombre minimal d’expériences à réaliser est égal au nombre de degrés de liberté du modèle étudié.

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 60 Plans fractionnaires Condition d’orthogonalité Condition indispensable pour pouvoir calculer les effets d’un facteur indépendamment des autres facteurs. Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de 2 actions Deux actions disjointes sont orthogonales si à chaque niveau de l’une, tous les niveaux de l’autre sont associés le même nombre de fois dans le plan d’expériences. Orthogonalité d’un plan d’expérience Un plan d’expériences est orthogonal vis à vis d’un modèle, si toutes les actions disjointes du modèle sont orthogonales dans le plan d’expériences.

Plans fractionnaires Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Loi de composition des colonnes des matrices d’expériences On définit une multiplication dans E de la manière suivante. Le produit de deux vecteurs de E est un vecteur de E dont les composantes dans la base canonique sont les produits des composantes de même rang. Exemple dans IR 4, si et alors Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 61 Plans factoriels fractionnaires à 2 niveaux = 2 k-p nombre total de facteur à étudier nombre de fois où le plan complet est coupé en deux • Choisir le nb de facteurs à étudier et le nb d’expériences à réaliser. • Choisir le plan complet correspondant au nb d’expériences à réaliser. • Affecter aux colonnes des interactions d’ordre le + élevé du plan complet le(s) facteur(s) supplémentaires à étudier.

Plans fractionnaires 23 -1 Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple Plan fractionnaire 23 -1 pour étudier 3 facteur (notion d’aliase ou de contraste). Un plan complet pour étudier trois facteurs (A, B, C) est un plan 23 nécessitant 8 expériences, mais nous désirons réaliser seulement 4 expériences. Pour cela nous utiliserons une matrice d'expériences d'un plan 22. Le facteur C sera placé dans la colonne de l’interaction AB Exp Imoy A B AB 1 +1 -1 -1 2 +1 +1 3 +1 4 +1 AB = C Exp A B C +1 1 -1 -1 +1 -1 -1 2 +1 -1 -1 -1 +1 -1 3 -1 +1 +1 +1 4 +1 +1 +1 Matrice du plan complet 22 Matrice du plan fractionnaire 23 -1 La matrice 23 -1 servira à calculer les effets de A, B et C + leurs interactions C = AB le facteur C est aliasé avec l’interaction AB. 62

Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 63 Plans fractionnaires 23 -1 Nous avons : C = AB et donc CC = I = ABC Soit : I = CAB d’où AI = ACAB = C(AA)B = CIB et donc A = CB BI = BCAB = CA(BB) = CAI et donc B = CA On a vu que C est aliasé avec l’interaction AB. On montre également que A est aliasé avec l’interaction CB et B avec CA. Les effets obtenus avec le plan fractionnaire ne sont pas des effets purs. L’égalité I = CAB fournit tous les aliases : c’est un générateur d’aliases Hypothèses d’interprétation retenues en général : • Les interactions d’ordre supérieur (3 ième ordre et +) sont négligeables. • si deux effets sont faibles, leur interaction est faible. • si deux effets sont forts, leur interaction peut également l’être. • si un alias est nul - soit les effets aliasés sont tous nuls (++) - soit les effets se compensent

Plans fractionnaires 23 -1 Plans d’Expériences Introduction Exp I A B C ABC CB CA AB 1 +1 -1 -1 +1 y 1 2 +1 +1 -1 -1 y 2 3 +1 -1 y 3 4 +1 +1 y 4 effets a 0 a 1 a 2 a 3 . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Yexp Statistique Plan fractionnaire 23 -1 Les lignes 1, 2, 3, 4 du plan fractionnaire correspondent aux lignes 5, 2, 3, 8 du plan complet. Exp I A B C AB AC BC ABC 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z 1 2 +1 +1 -1 -1 +1 +1 y 2 3 +1 -1 -1 +1 y 3 Plan Frac. 4 +1 +1 +1 -1 -1 +1 . Principe. Exemple z 4 5 +1 -1 -1 +1 y 1 6 +1 +1 -1 -1 z 6 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z 7 8 +1 +1 y 4 effets a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123 . Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple 64 Plan complet 23 Yexp

Plans fractionnaires 23 -1 Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple On sait que A est aliasé avec CB, calculons l’effet de CB : on remarque alors que a 1=a’ 1+a’ 23 a 1 obtenu avec le plan fractionnaire n’est pas un effet pur, d’où : Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple A = CB a 1 = a'1+a'23 B = CA a 2 = a'2 + a'13 C = AB a 3 = a'3 + a'12 65 Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z 1 2 +1 +1 -1 -1 +1 +1 y 2 3 +1 -1 -1 +1 y 3 4 +1 +1 +1 -1 -1 +1 z 4 5 +1 -1 -1 +1 y 1 6 +1 +1 -1 -1 z 6 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z 7 8 +1 +1 y 4 effets a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123

Plans fractionnaires 24 -1 Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 66 Utilisation de la matrice d’un plan 23 pour étudier l'influence de 4 facteurs sur la pureté d'un précipité ? ? Les variables retenues sont : Variables Niveau – 1 Niveau +1 A : quantité de base utilisé normale en excès B : vitesse d'addition de la base lente rapide C : température de la filtration à chaud à froid D : lavage du précipité normal prolongé Les trois premières variables (ABC) seront placées dans la trois premières colonnes de la matrice du plan 23. Moy A B C AB AC BC Y D La quatrième variable D, sera mise à la place d’une des interactions. Elle sera dite aliasée avec l'interaction d'ordre la plus élevé du plan 23, c'est à dire l'interaction ABC. L’aliase est D=ABC Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases

Plans fractionnaires 24 -1 Plans d’Expériences Introduction I = DABC est un générateur d’aliases . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 67 Moy A B C AB AC BC DAC DAB D DC DB AD Y Si, comme il est d'usage, on néglige les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux.

Plans fractionnaires 24 -1 Plans d’Expériences Introduction La matrice des effets et des réponses est la suivante : . Exemple Concepts Plan 2 k Moy . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple A B C AB AC BC DAC DAB D DC DB AD +1 -1 -1 +1 +1 +1 3, 1 +1 +1 -1 -1 +1 4, 1 +1 -1 2, 2 +1 +1 +1 -1 -1 1, 3 +1 -1 -1 +1 +1 -1 4, 0 +1 +1 -1 -1 4, 1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -0, 1 +1 +1 0, 6 a 0 a. A a. B a. C a. D aab-dc aac-db abc-ad 2, 41 0, 11 -1, 41 -0, 26 0, 31 -0, 16 0, 09 -0, 49 Y En négligeant les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux : A 0, 11 68 B -1, 41 C -0, 26 D 0, 31

Plans fractionnaires 24 -1 Plans d’Expériences Introduction Soit la valeur de l’écart type expérimental telle que : . Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple L’écart type de l’estimateur d’un coefficient est : Un coefficient sera significatif au risque a=5% ssi : Ici nous obtenons : > ttable(n-p+1, a) × si et donc, Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Moy 2, 41 A B C AB AC BC DAC DAB D DC DB AD 0, 11 -1, 41 -0, 26 0, 31 -0, 16 0, 09 -0, 49 Plan Frac. . Principe. Exemple Seuls les effets de la variable B et de l’aliase (BC, AD) sont significatifs. La question qui se pose est : Laquelle de ces 2 interactions est la plus plausible ? 69

Plans fractionnaires 24 -1 Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k Étude de l’interaction BC . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple B = -1 B = +1 C = -1 P = (3, 1 + 4, 1) / 2 = 3, 6 P = (2, 2 + 1, 3) / 2 = 1, 7 C = +1 P = (4 + 4, 1) / 2 = 4, 05 P = (0, 6 - 0, 1) / 2 = 0, 35 A = -1 A = +1 D = -1 P = (3, 1 - 0, 1) / 2 = 1, 5 P = (1, 3 + 4, 1) / 2 = 2, 7 D = +1 P = (2, 2 + 4) / 2 = 3, 1 P = (4, 1 + 0, 6) / 2 = 2, 35 Étude de l’interaction AD A=+1 B=-1 A=-1 1, 95 70 -1 1, 8 +1 B=+1 -1 +1

Exercice Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 71 Étude de la planéité de panneaux de structure fabriqués à l'aide d'un processus de moulage par injection. facteurs Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 A : température de fusion 260 °C 287. 78 °C B : température du moule 26. 67 °C 60°C C : temps de cuisson 150 s 200 s D : vitesse d'injection 1 s 2. 25 s N° des essais Planéité 1 1, 37 2 3 4 5 6 7 8 1, 4 1, 17 1, 27 1, 14 0, 76 0, 61 1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan fractionnaire 2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions 3. Déterminer le paramètres influents avec un risque de 5% et 4. Construire le modèle mathématique associé 5. Vérifier la linéarité du modèle

Exercice Plans d’Expériences Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k I A B C AB AC BC ABCD ACD ABD D DC BD AD Y 1 1 -1 -1 1 1, 37 2 1 1 -1 -1 1 1, 4 3 1 -1 1, 17 4 1 1 1 -1 -1 1, 27 5 1 -1 -1 1, 17 6 1 1 -1 -1 1, 14 Statistique 7 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 0, 76 . Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple 8 1 1 1 1 0, 61 1, 11125 -0, 00625 -0, 15875 -0, 19125 -0, 02375 -0, 00625 -0, 03875 -0, 07625 . Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Plan Frac. . Principe. Exemple 72

Plans d’Expériences FIN 73