Sistemas de Equaes Lineares 20 aula Em que

Sistemas de Equações Lineares 20ª aula

Em que situações devemos resolver um sistema de equações Resolver sistemas de equações é necessário em qualquer estudo onde se pesquise a interação de variáveis em determinado fenômeno ou experimento.

Exemplos Circuitos Elétricos: Descobrir as correntes. I 1 I 2 + I 3 = 0 4 I 1 + I 2 =8 I 2 + 4 I 3 = 16

Exemplos Balanceamento de equações químicas w. NH 3 + x O 2 y. N 2 + z. H 2 O w = 2 y 3 w = 2 z 2 x = z

Exemplos • Distribuição de temperatura numa placa “A temperatura em cada ponto interior P de uma placa metálica é aproximadamente a média aritmética das temperaturas nos pontos adjacentes a P. ” 4 t 1 – t 2 = 250 t 1 + 4 t 2 – t 3 = 50 t 2 + 4 t 3 = 200

O que é uma equação linear? Equação com certo número de variáveis onde cada termo não pode ter grau diferente de 1. Exemplo: 3 x + y – 6 z + w = 3 xy + 5 z = 7 Produto de duas variáveis de grau 1 tem grau 2. Equivale x-1, o grau não é 1

Sistemas de Equações Lineares • Conjunto de equações lineares. Exemplos: x+y–z=7 2 x – 4 y + z = 0 x+y=3 13 3 equações 3 incógnitas x + y – 3 z + w = 0 x – y + z + 2 w = 5 2 x – y – z – w = 3 x – 2 y + z = 8 3 x + y – z = 1 x+y+z=2 x – y – 3 z = 3 equações 4 4 incógnitas 3

Solução de Um sistema A maioria PENSA que SABE e que é FÁCIL resolver um sistema de equações lineares. Resolva o seguinte sistema o mais rápido que puder: x + 2 y + 3 z = 1 2 x + y + z = 2 3 x y + 2 z = 1 S=

Tipos de solução Uma solução. Exemplo: x+y–z=7 2 x – 4 y + z = 0 x+y=3 S={ }, ou seja, x = 8/3, y = 1/3 e z = 4.

Tipos de solução Infinitas soluções: Exemplo: x + y – 3 z + w = 0 x – y + z + 2 w = 5 2 x – y – z – w = 3 Possui infinitas soluções, pois neste caso o sistema possui mais incógnitas do que equações. Algumas quádruplas que verificam o sistema: (13, 15, 9, -1) e (1, -2, 0, 1).

Tipos de solução Nenhuma solução Exemplo: x+y–z=7 2 x – 4 y + z = 0 x+y–z=3 Absurdo! Não existe trio x, y e z que satisfaça essas equações ao mesmo tempo.

Classificação de um sistema em relação ao número de soluções: Determinado Sistema Possível e. . . SPD Indeterminado SPI Sistema Impossível SI Não existe solução. Existe uma única solução. Existe infinitas soluções.

Sistemas de duas equações e duas incógnitas e sua interpretação geométrica Sistemas 2 x 2 são fáceis de resolver, seja qual for o método. Exemplo: Resolva, em l. R: 2 x+ y = 3 x – 2 y = 4 S={(2, 1)}

Interpretação Geométrica Cada equação linear de duas variáveis é a equação de uma reta: y = 2 x + 3 (forma da função afim) coef. angular a = 2 coef. linear : b = 3 2 x+y=3 x – 2 y = 4 coef. angular coef. linear: b = 2

Interpretação Geométrica Gráficos: 2 x+y=3 2 x+ y = 3 x – 2 y = 4 x-2 y=4 S={(2, -1)} P A solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas representadas por essas equações.

Posição Relativa entre Retas Vimos um exemplo que as retas possuem um ponto de intersecção , associado ao conjunto solução do sistema: UMA ÙNICA SOLUÇÃO. Chamamos essa posição de: RETAS CONCORRENTES.

Posição Relativa entre Retas Exemplo: 6 x – 3 y = 1 2 x – y = 3 6 x-3 y=1 Sistema Impossível. Como são as retas associadas às equações? 2 x-y=3 Não possuindo intersecção , as retas são: PARALELAS.

Posição Relativa entre Retas Exemplo: 2 x + 2 y = 8 x+y=4 Infinitas soluções. São duas maneiras diferentes de apresentar a mesma equação. 2 x+2 y=8 x+y=4 Nessa situação dizemos que as retas são COINCIDENTES.

Exercícios Resolva os sistemas abaixo e determine a posição relativa entre as retas relacionadas: (a) r: 3 x + 4 y = - 7 e s: x + y = -1 (b) t: 5 x – 10 y = 7 e r: x – 2 y = 6 (c) v: 2 x + 4 y = 14 e u: x + 2 y = 7 (d) s: 2 x – 3 y = 11 e v : 6 x – 4 y = 3.