Sistemas de equaes lineares de 1 a ordem

Sistemas de equações lineares de 1 a ordem Sistemas de equações diferenciais simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma das quais sendo uma função de uma única variável dependente. A variável independente será denotada por t e as dependentes por x 1 , x 2 , . . Serão vistos os sistemas de duas ou mais equações diferenciais que sempre podem ser escritas como equações de primeira ordem. Para transformar uma equação arbitrária de ordem n y(n) = F(t, y, y’, y”, . . . , y(n-1)) em um sistema de equações de primeira ordem, definimos as variáveis x 1 , x 2 , . . . , xn por x 1 = y, x 2 = y’, . . . , xn = y(n-1).

Para transformar uma equação arbitrária de ordem n y(n) = F (t, y’, y”, . . . , y(n-1)) em um sistema de equações de primeira ordem, definimos as variáveis x 1, x 2, . . . , xn por x 1 = y, x 2 = y’, . . . , xn = y(n-1). Segue imediatamente que , x’ 1 = x 2, x’ 2 = x 3, . . . , x’n-1 = xn, ou seja x’n = F (t, x 1, x 2, , . . . , xn). O caso mais geral, temos: x’ 1 = F 1 (t, x 1, x 2, , . . . , xn) x’ 2 = F 2 (t, x 1, x 2, , . . . , xn). . . . . x’n = F 1 (t, x 1, x 2, , . . . , xn).

Dizemos que este sistema tem uma solução em I : < t < Se existe um conjunto de n equações x 1 = 1(t), x 2 = 2(t), . . . , xn = n(t) diferenciáveis em todo I e que satisfazem o sistema dado e podendo ainda constar as condições iniciais da forma x 1(t 0) = x 10, x 2(t 0) = x 20 , . . . , xn(t 0) = xn 0, onde to é um valor especificado de t em I e x 10, x 20 , . . . , xn 0 são números dados. Se as funções F 1, F 2, . . . , Fn são lineares das variáveis dependentes x 1, x 2 , . . . , xn, então o sistema é dito linear; caso contrário, é não-linear. Assim, o sistema mais geral de n equações lineares tem a forma

x 1’ = p 11(t)x 1 + p 12(t)x 2 +. . . + p 1 n(t)xn + g 1(t) x 2’ = p 21(t)x 1 + p 22(t)x 2 +. . . + p 2 n(t)xn + g 2(t). . . . . xn’ = pn 1(t)x 1 + pn 2(t)x 2 +. . . + pnn(t)xn + gn(t) Se todas as g 1, g 2, . . . , gn forem identicamente nulas em I, então o sistema é dito homogêneo; caso contrário, ele é nãohomogêneo. Teorema: Se as funções p 11, p 12, . . . pnn, g 1, g 2, . . . , gn são contínuas em um intervalo aberto I : < t < , então existe uma única solução x 1 = 1(t), x 2 = 2(t), . . . , xn = n(t), do sistema acima que também satisfaz as condições iniciais onde t 0 é qualquer ponto em I e x 10, x 20 , . . . , xn 0 são números arbitrários. Além disso, a solução existe em todo o intervalo I.

Exemplo: Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem u” + 0, 5 u’ + 2 u = 0. Solução: x 1 = u, x 2 = u’. Logo obtemos x 2’ + 0, 5 x 2 + 2 x 1 = 0 x 1’ = x 2’ = -2 x 1 – 0, 5 x 2 x 1’ = x 2 e como u” = x 2’, ou seja

Sistemas de equações diferenciais ordinárias Considere o método de variação de parâmetro x’ = P(t)x + g(t) seja (t) uma matriz fundamental para o sistema x’ = P(t)x. Como solução geral do sistema é (t)c temos x = (t) u(t) onde u(t) é uma função vetorial em lugar de c. Assim, ’(t) u(t) + (t) u’(t) = P(t) u(t) + g(t) Como (t) é uma matriz fundamental, ’(t) = P(t) Logo resulta em (t) u’(t) = g(t) donde (t) u’(t) = -1(t )g(t) Assim podemos selecionar como u(t) qualquer vetor na classe de vetores que satisfaz esta equação.

Portanto, u(t) = -1(s)g(s)ds + c Logo, x = (t)c + (t) -1(s)g(s)ds que é a solução do sistema inicial. Exemplo: Determine a solução do sistema A solução geral deste sistema homogêneo é e a matriz fundamental x = (t)u(t), onde u(t) satisfaz (t)u’(t) = g(t), ou

Obtendo u 1’ = e 2 t – (3/2)te 3 t e u 2’ = 1 + (3/2)tet Logo u 1(t) = (1/2) e 2 t – (1/2)te 3 t + (1/6) e 3 t + c 1 u 2(t) = t + (3/2)tet - (3/2) et + c 2 e x = (t)u(t)

Autovalores e autovetores: Sejam os sistemas Ax = y (1) e Ax = x (2), fator de proporcionalidade, onde y = x. Assim podemos escrever (A - I)x = 0. Esta equação possui soluções não nulas se e somente se for escolhido de modo que det(A - I) = 0. Os valores de são chamados autovalores de A e as soluções não nulas das equações (1) e (2) obtidas usando um tal valor de são chamadas autovetores. Exemplo: Determine todos os autovalores e autovetores de

Solução: Como (A - I)x = 0, temos Ou seja, (5 - ) (1 - ) + 3 = 0 e consequentemente 1 = 2 e 2 = 4 são os autovalores procurados. Determinando os autovetores. Para 1 = 2

Se x 1 = c, como x 2 = 3 x 1, temos Onde x(1) é um autovetor de A. Similarmente, para 2 = 4, temos Logo, x(2) um autovetor de A. x 2 = 3 c. Logo

Teoria básica de sistemas de equações lineares Considere o sistemas na forma: x 1’ = p 11(t)x 1 + p 12(t)x 2 +. . . + p 1 n(t)xn + g 1(t) x 2’ = p 21(t)x 1 + p 22(t)x 2 +. . . + p 2 n(t)xn + g 2(t). . . . . xn’ = pn 1(t)x 1 + pn 2(t)x 2 +. . . + pnn(t)xn + gn(t) Ou seja, x’ = P(t)x + g(t) As homogêneas x’ = P(t)x, g(t) = 0. (3)

Tal que xij(k) = xij(k) denota a a i-ésima componente da jésima solução x(j)(t). Teorema: Se as funções vetoriais x(1) e x(2) são soluções do sistema x’ = P(t)x, g(t) = 0, então a combinação linear c 1 x(1) + c 2 x(2) também é solução quaisquer que sejam as constantes c 1 e c 2. . Como consequencia deste teorema temos que, se x(1) , x(2) , . . . , x(k) são soluções de x’ = P(t)x então x = c 1 x(1)(t) + c 2 x(2)(t) +. . . + ckx(k) também é solução quaisquer sejam as constantes c 1, c 2 , . . . , ck

Sistemas lineares homogêneo com coeficientes constantes Consideremos o sistema na forma x’ = Ax, A é uma matriz 1 xn (1). Se n =1, o sistema fica dx / dt = ax cuja solução é x = ceat. Para determinar a solução de x’ = Ax, procedemos como para equação da segunda ordem, isto é, procuramos soluções da forma x = ert onde r é um vetor constante e deve ser determinado. Assim, temos r ert = A ert ou A = r. Logo, (A – r. I) = 0, onde I é a matriz identidade nxn. Isto significa dizer que para resolver o sistema de equações diferenciais (1) precisamos resolver os sistema algébrico (A – r. I) = 0 que consiste em encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.

Exemplo: Considere o sistema temos Logo, para r 1 = 3, temos - 2 1 + 2 = 0 2 = 2 1 donde

Para r 2 = -1, temos 2 1 + 2 = 0 2 = - 2 1 donde Então x = c 1 x(1)(t) + c 2 x(t) Ou c 1 e c 2 constantes.