Sistemas de Equaes Lineares e Matrizes Introduo Um

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Introdução • Um dos problemas mais importante na matemática – resolver um sistema de equações lineares • Informações organizadas em linhas e colunas • Tabelas • Dados numéricos – observações em laboratórios

Introdução • Mais de 75% de todos os problemas matemáticos aplicados envolvem a resolução de um sistema de equações lineares • Áreas de aplicações: – Administração, economia, sociologia, ecologia, demografia, genética, eletrônica, engenharia e física.

Exemplo •

Equação Linear •

Equação Linear •

Exemplos – equação linear •

Exemplos – equação não-linear •

Solução •

Conjunto solução •

Conjunto solução •

Exercícios •

Sistemas lineares •

Exemplo •

Sistema linear •

Exemplo •

Classificação de um sistema linear Sistema linear Consistente: Quando admite solução Determinado: Admite uma única solução Inconsistente: Quando não admite solução Indeterminado: Admite infinitas soluções

Geometricamente Nenhuma solução Uma solução Infinitas soluções

Exemplo Numa lanchonete os pastéis têm preço único e os refrigerantes também. Nesse lugar, paguei R$5, 80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante, e meu amigo pagou R$3, 60 por 3 pastéis e 2 copos de refrigerante. Qual o preço do pastel e do refrigerante?

Exemplo • O preço do pastel é de R$0, 80 e o preço do refrigerante é de R$0, 60 – Sistema linear consistente e admite uma única solução.

Exemplo •

Exemplo •

Sistemas equivalentes • Dois sistemas de equações envolvendo as mesmas variáveis são ditos equivalentes se têm o mesmo conjunto solução

Exemplos •

Definição O termo matriz, é utilizado para denotar uma coleção retangular de números.

Matriz aumentada •

Exemplo •

Exercícios • Livro: ANTON H. RORRES, C. , Álgebra linear com aplicações. 8 a Edição. Bookman • página: 30 • Exercícios: 4 e 5

Observação • Quando construímos a matriz aumentada, as incógnitas devem estar escritas na mesma ordem em cada equação e as constantes que não multiplicam incógnitas devem estar à direita.

Operações elementares sobre linhas • O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado por um sistema novo que tem o mesmo conjunto solução mas que é mais simples de resolver. • Forma triangular

Operações elementares sobre linhas 1. Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula. 2. Trocar duas linhas entre si. 3. Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.

Processo •

Exemplo •

Exemplo •

Exemplo •

Operações elementares sobre linhas • Esse método falha se, em qualquer etapa do processo de redução, todas as escolhas possíveis para o elemento pivô em uma da coluna são nulas.

Forma escada •

Exemplos •

Método de Gauss • Procedimento sistemático para resolver sistemas de equações lineares • Procedimento baseado na ideia de reduzir a matriz aumentada de um sistema a outra matriz aumentada que seja suficientemente simples a ponto de permitir visualizar a solução • O processo de usar as operações para deixar uma matriz em forma de escada é chamado de método de Gauss

Exemplo •

Exemplo •

Exemplo •

Sistema compatível/incompatível •

Observações •

Sistemas com mais equações do que incógnitas •

Interpretação geométrica

Sistemas com menos equações do que incógnitas •

Sistemas com menos equações do que incógnitas •

Exemplos •

Sistema homogêneos •

Sistema homogêneos •

Sistema homogêneos • Como um sistema linear de homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas possibilidades para suas soluções: – O sistema tem somente a solução trivial – O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial

Sistema homogêneos • Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas que equações tem infinitas soluções.

Exemplo •

Exercícios • Livro: ANTON H. RORRES, C. , Álgebra linear com aplicações. 8 a Edição. Bookman • páginas: 37, 38 e 39 • Exercícios: 1 - 14