Ottica geometrica 4 10 gennaio 2014 Lenti sottili

Ottica geometrica 4 10 gennaio 2014 Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento Sistemi di lenti, doppietti addossati Trattamento degli oggetti virtuali Telescopio di Galileo e di Keplero Microscopio

Lenti sottili • Una lente può essere considerata l’insieme di due diottri • L’azione totale della lente è data dalla rifrazione successiva dei due diottri • Le lenti più semplici sono quelle sottili, cioè con spessore trascurabile rispetto alle altre lunghezze in gioco • Solitamente le lenti sono immerse in aria • Siano R 1 e R 2 i raggi di curvatura delle superfici della lente e n l’indice di rifrazione del materiale relativo all’aria 2

Lenti sottili • Sia P l’oggetto, a distanza o = o 1 dalla prima superficie (S 1) • La distanza i 1 dell’immagine formata dalla rifrazione di S 1 è data dalla formula del diottro S 1 Q 1 S 2 P Q o = o 1 i = i 2 i 1 o 2 s 3

Lenti sottili • L’immagine formata da S 1 (virtuale nel nostro caso) diventa l’oggetto per S 2 • Poiché davanti alla superficie le distanze degli oggetti sono positive e quelle delle immagini negative, vale la relazione S 1 Q 1 S 2 P Q o = o 1 i = i 2 i 1 o 2 s 4

Lenti sottili • La distanza dell’oggetto da S 2, trascurato lo spessore s della lente, è uguale, in valore assoluto, a quella dell’immagine da S 1 • La rifrazione di S 2 si trova applicando l’eq. del diottro con n 1 = n e n 2 = 1, i 2 = i S 1 Q 1 S 2 P Q o = o 1 i 1 - o 2 i = i 2 5

Distanza focale Eq. delle lenti sottili • Sommando membro a membro con l’eq. del primo diottro otteniamo • Poiche’ la distanza focale è la distanza dell’immagine (f=i) quando la distanza dell’oggetto è infinita (o= ), otteniamo • detta formula dei fabbricanti di lenti • e l’eq. delle lenti sottili assume la forma 6

Lente convergente • Consideriamo una lente biconvessa con indice n > namb cioè maggiore di quello dell’ambiente circostante • I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro maggiore al centro della lente che nella parte esterna • Poiché la velocità della luce è minore nel vetro che nell’aria, la parte centrale di ciascun fronte d’onda è in ritardo rispetto alla parte esterna • Questo produce un’onda sferica che converge nel fuoco F’, e i raggi, perpendicolari ai fronti, passano per F’ F’ • Simbolo della lente convergente 7

Lente divergente • Consideriamo una lente biconcava con indice n > namb • I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro minore al centro della lente che nella parte esterna • La parte centrale di ciascun fronte d’onda è in anticipo rispetto alla parte esterna • Questo produce un’onda sferica che diverge e i prolungamenti dei raggi, perp. ai fronti, passano per F’ F’ • Simbolo della lente divergente 8

Distanza focale • La distanza focale di una lente è data dalla formula • Per una lente convergente biconvessa, le convenzioni del diottro stabiliscono che R 1 è positivo e R 2 è negativo, ne segue che la distanza focale risulta positiva • Le lenti convergenti sono anche dette positive • Per una lente divergente biconcava, al contrario, R 1 è negativo e R 2 è positivo, la distanza focale risulta negativa • Le lenti divergenti sono anche dette negative 9

Fuochi • Se sistemiamo l’oggetto in modo che il fascio emergente dalla lente sia costituito da raggi paralleli (ovvero l’immagine vada all’infinito), individuiamo il primo fuoco F della lente F • Viceversa, il punto in cui un fascio parallelo (quello emesso da un oggetto posto all’infinito) viene fatto convergere dalla lente è detto secondo fuoco F’ F’ 10

Fuochi • Per lenti divergenti occorre considerare non i raggi, ma i loro prolungamenti • primo fuoco F: fascio emergente parallelo F • secondo fuoco F’: fascio incidente parallelo F’ 11

Distanza focale • In una lente ci sono due fuochi, ma una sola distanza focale • Infatti, ribaltando la lente, le superfici S 1, S 2 si scambiano e anche i due raggi si scambiano R’ 1 > 0 R 2 < 0 R’ 2 < 0 • E inserendo nella formula della distanza focale otteniamo lo stesso valore 12

Tracciamento dell’immagine • I raggi principali emessi dall’oggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel secondo fuoco – Il raggio passante per il primo fuoco che viene rifratto parallelamente all’asse – Il raggio passante per il centro della lente che viene rifratto senza deviazione (le facce della lente sono parallele per questo raggio e quindi esso emerge nella stessa direzione, ma lievemente spostato. Poiché la lente è sottile, tale spostamento è trascurabile) 13

Ingrandimento • Usiamo il raggio incidente nel centro della lente: dai triangolo PP’C e QQ’C abbiamo • e tenendo conto della convenzione dei segni P P’ Q’ C Q 14

Potenza di una lente • La potenza, o potere diottrico, di una lente è l’inverso della distanza focale • L’unità di misura della potenza è la diottria D corrispondente all’inverso del metro • Come conseguenza del segno di f, la potenza è – positiva per lenti convergenti – negativa per lenti divergenti 15

Sistemi di lenti • Se si hanno più lenti, si può trovare l’immagine del sistema procedendo una lente per volta • L’immagine di una lente, reale o virtuale che sia, sarà l’oggetto della lente consecutiva • P. e. nel caso di due lenti si usa la distanza immagine della prima lente, assieme alla distanza d tra le lenti, per determinare la distanza oggetto della seconda lente 16

Lenti sottili addossate • Si dicono addossate lenti la cui distanza è nulla • Si può dimostrare (nel caso di due lenti) che vale la seguente relazione tra le distanze focali delle lenti e la distanza focale equivalente del sistema • Ovvero, in termini di potenza 17

Lenti sottili addossate • Sia dato un sistema di due lenti addossate di fuochi rispettivi f 1 e f 2, troviamo l’immagine Q di un punto oggetto P P • A tal fine troviamo dapprima l’immagine Q 1 dovuta alla lente L 1 P 1=P L 1 Q 1 18

Oggetti virtuali • I raggi principali per la prima lente, che ci hanno permesso di costruire l’immagine della prima lente, non lo sono necessariamente per la seconda • Per trovare i raggi principali per la seconda lente si puo` procedere come segue • Ricordiamo che l’immagine della prima lente diviene l’oggetto della seconda lente 19

Oggetti virtuali • Tracciamo allora all’indietro, cioe` da DX a SX i raggi uscenti dall’oggetto, principali per la seconda lente, fino a oltrepassare la lente, e come se questa non agisse L 2 P 2=Q 1 • Invertiamo ora il verso dei raggi e costruiamo i raggi rifratti dalla lente • Otterremo cosi’ l’immagine della seconda lente L 2 Q 2=Q 20

Lenti sottili addossate • E quindi l’immagine dovuta alla lente L 2 Q 2=Q P 2=Q 1 L 2 • Sommando membro a membro le due eqq. , otteniamo P Q • Poiché il primo membro è l’inverso della distanza focale equivalente del doppietto, otteniamo la tesi 21

Strumenti ottici composti • Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i telescopi • Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto lontani • Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo b sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo a sotto cui e` visto senza strumento 22

Telescopio • Nella versione piu` semplice un telescopio e` formato da due lenti • Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc) • L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb) 23

Telescopio di Galileo • E` formato da due lenti convergenti • Diciamo l la lunghezza del telescopio, definita come somma delle distanze focali delle lenti • e y’ la dimensione dell’immagine dell’oggetto all’infinito oculare l a b y’ obiettivo • L’ingrandimento visuale risulta • Storicamente V~30 X 24

Telescopio di Keplero • L’obiettivo e` una lente convergente, l’oculare e` ora una lente divergente • La lunghezza l del telescopio, e` con il vantaggio di compattezza rispetto al Td. G oculare l a y’ obiettivo b • L’ingrandimento visuale risulta 25

Telescopio di Newton • Nel 1671 Newton propose un telescopio riflettore, fino ad allora i telescopi erano stati di tipo rifrattore • In questo modo si elimina l’aberrazione cromatica dell’obiettivo Specchio deflettore Specchio obiettivo Lente oculare 26

Strumenti ottici composti • Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i microscopi • Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto piccoli • Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo b sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo a sotto cui e` visto senza strumento alla distanza prossima di visione nitida (d=25 cm) 27

Microscopio • Nella versione piu` semplice un microscopio e` formato da due lenti convergenti • Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc) • L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb molto piccola) 28

Microscopio • Diciamo l la lunghezza del microscopio, definita come distanza tra il 2° fuoco della prima lente e il 1° fuoco della seconda lente • Siano y e y’ le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine y l y’ b obiettivo oculare 29

Microscopio • La distanza dell’oggetto dev’essere di poco maggiore della distanza focale dell’obiettivo, di modo che l’immagine sia reale e molto ingrandita • Si sposta l’obiettivo mantenendo fermi sia l’oggetto che l’oculare, fintanto che l’immagine dell’obiettivo cada nel 1° fuoco dell’oculare y l b y’ obiettivo oculare • L’ingrandimento visuale risulta 30