Cap IV Ottica geometrica e sistemi ottici 1

Cap. IV Ottica geometrica e sistemi ottici 1. Approssimazioni e postulati 2. Sorgenti e immagini 3. Specchi 4. Il diottro 5. Lenti spesse e sottili 6. Sistemi e strumenti ottici

1. APPROSSIMAZIONI E POSTULATI OTTICA: scienza della luce (visibile) L’intervallo del visibile LUNGHEZZA D’ONDA l (m) 10 -5 RADIOFREQUENZE MICROONDE INFRAROSSO RADIO 10 -10 VISIBILE 100 10 -15 RAGGI X RAGGI GAMMA UV TV 105 1010 1015 1020 1025 FREQUENZA n (Hz) UV IR 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) 0. 3

approssimazioni e postulati l. VIS = 400 ¸ 700 nm a confronto col mondo macroscopico, si può quindi considerare: l® 0 questa approssimazione giustifica una serie di postulati: • Non si considera l’aspetto ondulatorio: la luce si propaga in linea retta lungo i raggi, diretti come k z y x

approssimazioni e postulati l® 0 2) ogni sorgente puntiforme emette infinite onde piane S ovvero infiniti raggi in tutte le direzioni

approssimazioni e postulati l® 0 3) ogni sorgente estesa è fatta di infinite sorgenti puntiformi Sorgente estesa

approssimazioni e postulati l® 0 4) formazione della visione: vediamo perché i raggi formano immagini sulla retina immagine sulla retina: sorgente luminosa S S’ ma anche: S riflessione speculare specchio S’ immagine virtuale

2. SORGENTI E IMMAGINI definizioni fascio omocentrico (coniugato) emergente fascio omocentrico incidente S sistema ottico oggetto S’ immagine punti coniugati

definizioni reale virtuale oggetto centro dei raggi incidenti centro del prolungamento dei raggi incidenti immagine centro dei raggi emergenti centro del prolungamento dei raggi emergenti

sorgenti e immagini immagine virtuale S oggetto reale S S’ immagine reale S’ oggetto reale S immagine specchio virtuale S’

sorgenti e immagini immagine reale S’ S’ oggetto virtuale immagine virtuale S’ S oggetto virtuale

definizioni si noti la differenza: punto oggetto punto immagine sistema ottico S S’ sistema stigmatico sistema ottico S punto oggetto sistema astigmatico immagine aberrazione

3. SPECCHI SFERICI specchi sferici concavi

SPECCHI SFERICI specchio sferico concavo superficie sferica C º centro R º raggio O º vertice h º apertura lineare R qq f’ S’ C a asse ottico S P f a a’ s tutti i raggi uscenti da S passano per S’ ? s’ h O

specchio sferico concavo - dimostrazione P q q R f’ S’ C a f=a-è S f a a’ O Cerchiamo la relazione fra a e a’: dalla legge dei seni a SPC: e a CPS’: (specchi concavi)

specchio sferico concavo - dimostrazione dipende da a! P’ P (specchi concavi) R ma: se: S C a P’’ da’ O f , a << 1 raggi parassiali approssimazione parassiale

specchio sferico convesso q q S f P O f’ S’ s R’’ a C a’’ a approssimazione parassiale (specchi convessi)

specchi sferici S convenzioni I I raggi provengono sempre da sinistra II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra dello specchio) s < 0 se i raggi convergono (S a destra dello specchio) III s’ > 0 se i raggi convergono (S’ a sinistra dello specchio) s’ < 0 se i raggi divergono (S’ a destra dello specchio) IV R > 0 se: C a sinistra dello specchio (oggetto reale ® immagine reale) R < 0 se: C a destra dello specchio (oggetto reale ® immagine virtuale) S’ s > 0 e s’ > 0 R>0 S S’ s > 0 e s’ < 0 S’ S S’ s < 0 e s’ < 0 R<0

riassumendo: specchi sferici R R’’ S’ C S a a’ O S s’ s O s’’ s C S’ a’’ a con le convenzioni introdotte: equazione degli specchi

esempio 1 specchio sferico concavo R = 20 cm trovare s’ per: a) s = 30 cm s c) s b) = 15 cm = 5 cm

esempio 2 specchio sferico convesso R = 20 cm trovare s’ per: a) s = 30 cm s c) s b) = 15 cm = 5 cm R O S 1 S 2 S 3 S’ 3 S 2’ S’ 1

specchi sferici 3. 1 Fuoco e distanza focale se, nella: prendiamo si ha: distanza focale dello specchio R R C F O C O F

fuoco e distanza focale si noti che, per la reversibilità: R R C F O esempio: concentratori solari C F esempio: riflettori per fari O

fuoco e distanza focale in realtà, per la aberrazione sferica, fuori dalla approssimazione parassiale: C il fuoco è su un segmento O

fuoco e distanza focale L’aberrazione sferica è assente in specchi a profilo parabolico: C il fuoco è punto O

3. 2 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini si fa il tracciamento dei raggi (ray tracing) di due dei quattro raggi principali: immagine reale y C F y’ O ad esempio, avendo solo il fuoco: ingrandimento laterale y C F y’ O

costruzioni delle immagini analogamente per gli specchi convessi: P immagine virtuale y y’ O F C ingrandimento laterale

costruzioni delle immagini comunque, in entrambi i casi: P y y F C y’ y’ O O s’ F C s s s’ dalle relazioni sui triangoli simili: concavo/convesso y’ >0 y’ <0

costruzioni delle immagini esempi: lo specchio concavo s>R C F f<s<R C F s<f C F l’immagine è: applicazioni reale rimpicciolita, rovesciata obiettivo telescopio reale ingrandita, rovesciata obiettivo proiettore virtuale ingrandita specchio per radersi, truccarsi

costruzioni delle immagini esempi: lo specchio concavo F oggetto reale specchio concavo

costruzioni delle immagini Si noti: le immagini reali possono essere viste direttamente dall’occhio C F F C oppure visualizzate (“proiettate”) su uno schermo

costruzioni delle immagini virtuali possono essere viste solo dall’occhio C F o da uno strumento ottico (macchina fotografica, cannocchiale, ecc. )

costruzioni delle immagini esempi: lo specchio convesso l’immagine è: s>0 F C s<0 F C applicazioni virtuale rimpicciolita specchietti retrovisori reale ingrandita oculare cannocchiale

Riepilogo: le espressioni da ricordare leggi della riflessione, convenzioni sui segni, approssimazione parassiale equazione degli specchi ingrandimento tracciamento delle immagini aberrazione sferica, astigmatismo

Esercizio numerico 4. 1 Uno specchio sferico concavo R = 80 cm, un volto umano a 20 cm dal vertice. Calcolare: a) il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.

Esercizio numerico 4. 2 Uno specchio retrovisore sferico convesso R = 40 cm, un’auto a 10 m. Calcolare: a) il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.

Esercizio numerico 4. 3 Uno specchio in un parco dei divertimenti mostra l’immagine dritta di una persona che gli sta di fronte a distanza di 1. 3 m. Se l’immagine è alta tre volte la statura della persona, qual è il raggio di curvatura dello specchio?

Esercizio numerico 4. 4 Volendo fotografarsi mentre ci si guarda in uno specchio piano a 1. 5 m di distanza, per quale distanza occorre mettere a fuoco?

Esercizio numerico 4. 5) Ipotizzando gli specchi ustori di Archimede con un raggio R = 200 m e un’apertura lineare di 2 h = 10 m, si calcoli l’intensità della radiazione solare riflessa nell’immagine del sole prodotta dallo specchio stesso. Si assuma che l’intensità della radiazione solare al suolo sia circa pari a Is @ 1000 W/m 2 (costante solare), per il raggio solare Rs @ 0. 696 × 106 km, e per la distanza Terra-Sole d = 149. 6 × 106 km

4. RIFRAZIONE DA SUPERFICIE SFERICA: IL DIOTTRO n 1 asse ottico S P n 2 R S’ O C superficie sferica convenzioni che vanno modificate rispetto agli specchi (in colore) I I raggi provengono sempre da sinistra II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra del diottro) s < 0 se i raggi convergono (S a destra del diottro) III s’ > 0 se S’ a destra del vertice O s’ < 0 se S’ a sinistra del vertice O IV R > 0 se la superficie è convessa rispetto ai raggi incidenti R < 0 se la superficie è concava rispetto ai raggi incidenti

il diottro - dimostrazione Cerchiamo la relazione fra a e a’: n 1 qi l S f n 2 P O R qr a s s’ a dalla legge dei seni a SPC e S’PC : e utilizzando la legge di Snell: l’ S’ C a’

il diottro - dimostrazione n 1 qi l S f O a e da Pitagora: R D s se a << 1 : n 2 P qr a s’ l’ S’ C a’

il diottro n 1 qi l S f n 2 P O R D s qr a s’ l’ S’ C a’ a punto che, inserite nella: tenendo conto che: danno: equazione (R > 0) del diottro

il diottro anche nel diottro concavo: n 1 P a S S’ a a’ R n 2 O C s s’ ancora: equazione (R < 0) del diottro

il diottro si consideri il caso: n 2 n 1 F in conclusione: con fuoco primario n 1 n 2 F’ con fuoco secondario

4. 1 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini Tracciamento dei raggi con due dei tre raggi principali: superficie convessa n 1 n 2 P F’ O F s da cui si ricava: C s’ immagine reale

il diottro superficie concava Tracciamento dei raggi con due raggi principali: n 1 P n 2 O C F’ s’ s immagine virtuale da cui si ricava: F

4. 2 Un diottro particolarmente semplice: il piano si consideri il caso: n 1 S P n 1 n 2 S’ P f S s s s’ n 1 > n 2 Þ s > s’ s’ n 1 < n 2 Þ s < s’

Riepilogo: le espressioni del diottro leggi della rifrazione, convenzioni sui segni, approssimazione parassiale equazione del diottro ingrandimento

esempio 1 Il diottro piano acqua n = 1. 33 Dh la moneta “avvicinata” la matita “spezzata”

esempio 1 Il diottro piano

Esercizio numerico 4. 6 Una moneta giace sul fondo di una vasca piena di acqua profonda h = 1 m. A che profondità sembra essere se guardata dall’alto.

Esercizio numerico 4. 7 Un diottro è costituito da una superficie sferica convessa con R = 12 cm, fatta con vetro flint con indice di rifrazione n = 1. 58, in aria. Un oggetto è posto sull’asse ottico a distanza s dal vertice. Calcolare s’ , m e il carattere dell’immagine per s uguale a : a) 90 cm; b) 32 cm; c) 20. 7 cm; d) 15 cm.

Esempio numerico 4. 8 Uno piccolo pesce rosso si trova in una boccia sferica piena di acqua di raggio R = 12 cm. Trascurando le dimensioni del pesce e l’effetto della sottile parete di vetro della boccia, calcolare di quanto ingrandita ci apparirà la sua immagine: a) quando si trova a 7 cm dal vetro anteriore; b) al centro della boccia; c) a 7 cm dal vetro posteriore dal vertice.

5. LE LENTI rifrazione e formazione dell’immagine da diottri successivi n 2 n 1 n 3 S 1 S 2’= S 3’ D 1 D 2 D 3 n 1 S 1’= S 2

le lenti combinazioni di più diottri: le lenti semplici composte (esempio)

le lenti tipi di lenti pianoconvesse pianoconcave biconvesse biconcave menisco (concavaconvessa) (convessaconcava)

le lenti la teoria t º spessore della lente n 1 S’ 1 = S 2 n 2 S 1 V 1 -s’ 1 S’ 2 V 2 n 1 -s’ 1 s 1 definiamo: s 2 s’ 2 t per il primo diottro (aria/materiale):

le lenti - dimostrazione n 1 S’ 1 = S 2 n 2 S 1 V 2 n 1 -s’ 1 s 2 s’ 2 t per il secondo diottro con: S’ 2

le lenti se la lente è sottile: S F’ O F quindi: possiamo sommare le due equazioni: S’ s s’ ottenendo: equazione del costruttore di lenti

lenti sottili equazione del costruttore di lenti ponendo rispettivamente: s, s’� ¨� ‡ troviamo che: f = f’: punti focali equidistanti da O F’ F F F’

lenti sottili Si può quindi scrivere: < > 0 equazione delle lenti lente positiva/negativa potenza diottrica F’ F lente positiva F lente negativa

lenti sottili < > 0 equazione delle lenti potenza diottrica per il tracciamento: F’ O y S F F S S’ y’ S’ lente positiva s F lente negativa s’ ingrandimento laterale:

lenti sottili S potenza diottrica ingrandimento laterale: F O F S’ s s’ piani focali

attenzione al segno di R! pianoconvesse biconvesse f>0 convergenti f<0 divergenti concaveconvesse (menisco) (positive) (negative) pianoconcave biconcaveconvessa (menisco)

lenti sottili per il tracciamento si usano due dei tre raggi principali: F O S S’ F s s’ lente positiva o convergente

lenti sottili per il tracciamento si usano due dei tre raggi principali: y’ y S S’ F F s s’ lente negativa o divergente

costruzioni delle immagini lenti sottili convergenti (positive) I) y S oggetto reale, immagine reale F y’ F S’ y obiettivo di macchina fotografica | m| << 1 F F pellicola y F F obiettivo di proiettore | m| >> 1

costruzioni delle immagini lenti sottili convergenti (positive) le immagini reali possono essere viste direttamente dall’occhio S F y F S’ S F y F oppure visualizzate (“proiettate”) su uno schermo

costruzioni delle immagini lenti sottili convergenti (positive) II) y’ y oggetto reale, immagine virtuale F F lente di ingrandimento, oculari microscopio, telescopio III) y F y’ F oggetto virtuale, immagine reale

costruzioni delle immagini lenti sottili divergenti (negative) I) y F F oggetto reale, immagine virtuale F oggetto virtuale, immagine reale y’ II) F y y’ III) F y’ F y oggetto virtuale, immagine virtuale oculare cannocchiale

Aberrazioni delle lenti si noti che: fuori dall’appross. parassiale si ha l’aberrazione sferica: il fuoco è su un segmento

Aberrazioni delle lenti si noti che: anche nella approssimazione parassiale la dispersione provoca la: F F’ aberrazione cromatica

lenti sottili aberrazione cromatica F F’ parzialmente correggibile con lenti composte

Riepilogo: le lenti sottili equazione del costruttore di lenti equazione delle lenti ingrandimento laterale

Esercizio numerico 4. 9 La ricetta di una lente correttiva prescrive +1. 50 diottrie. Il fabbricante mola la lente da un pezzo di vetro con n = 1. 56 e la superficie frontale convessa preformata avente raggio di curvatura R 1 = 20 cm. Quale deve essere il raggio di curvatura dell’altra superficie?

R 3) Sia data una lente sottile biconcava di vetro crown (indice di rifrazione n 1 = 1. 57) in aria con i raggi di curvatura delle superfici pari a R 1 = 8 cm e R 2 = 10 cm. Si traccino i raggi e si calcoli caratteristiche, posizione e ingrandimento dell’immagine della freccia oggetto posta a una distanza d = 12 cm dalla lente. R 1 R 2 F immagine virtuale, dritta e rimpicciolita

Esercizio numerico 4. 10 Una diapositiva di formato 24 mm ´ 36 mm deve essere proiettata su uno schermo di 1. 20 m per 1. 80 m posto ad una distanza di 5. 00 m dal proiettore. Determinare: (a) che tipo di lente (singola) occorre usare e con quale lunghezza focale per coprire esattamente lo schermo con l’immagine; ( b) quale sarà la distanza lente-diapositiva; (c) se il proiettore produce un il flusso luminoso di 1000 lumen, che illuminamento (o illuminanza) si avrà sullo schermo?

6. SISTEMI E STRUMENTI OTTICI 6. 1 L’occhio umano Umor acqueo Umor vitreo oggetto esteso Disegno schematico dell’occhio umano Funzionamento: lente convergente caso I) y S F’ y’ F S’ oggetto reale, immagine reale

L’occhio umano: sensori e sensibilità Umor vitreo 120. 000 di bastoncelli (visione notturna acromatica) 7. 000 di coni (visione diurna cromatica) Curve di sensibilità 3 tipi di coni teoria del tri-stimolo per la percezione del colore

l’occhio umano il processo di accomodamento: oggetto all’infinito oggetto a distanza finita

l’occhio umano i più comuni difetti della visione: il bulbo oculare è “allungato” il potere di accomodamento è limitato

l’occhio umano nel processo di visione distinta naturale: y f 0 y’ d definiamo: grandezza angolare (apparente) 15 cm £ d £ ¥ ma la visione è più distinta per d = d 0 @ 25 cm

6. 2 a Il microscopio semplice (lente di ingrandimento) y’ f’ y F d’ si confronti con la situazione di visione distinta naturale: y f 0 definiamo ingrandimento angolare:

6. 2 b Il microscopio composto oculare s y s’ O F 1 ’ F 2 y’=y 0 F 1 y 0 ’ f’ F 2 ’ obiettivo d’ - mob Moc tipic. mob » 50 ¸ 200, Moc » 5 ¸ 10 M » 200´ ¸ 2000´

6. 3 Il telescopio a rifrazione telescopio galileiano (cannocchiale) 1609 oculare F 1’º F 2 f’ obiettivo in realtà all’infinito MGalileo = 33

telescopio a rifrazione telescopio astronomico (kepleriano) 1611 oculare F 1’ obiettivo F 2

6. 4 Il telescopio a riflessione telescopio newtoniano 1672 F 1 specchio piano oculare non c’è aberrazione cromatica obiettivo (specchio concavo) MNewton @ 40

6. 5 La macchina fotografica @f Is D obiettivo sostituendo nella: pellicola e quindi l’intensità sulla pellicola: Ip è inversamente proporzionale a: “f - number”

Riepilogo: le espressioni degli strumenti ottici ingrandimento angolare lente semplice ingrandimento microscopio ingrandimento telescopio M = - mob Moc

Le 10 leggi dell’ottica geometrica legge di Snell angolo di Brewster incidenza normale equazione degli specchi equazione del diottro equazione della lente ingrandimento laterale della lente ingrandimento angolare della lente ingrandimento microscopio ingrandimento telescopio M = - mob Moc

Esercizio numerico 4. 11 Una candela accesa è posta a 30 cm davanti a una lente convergente con lunghezza focale f 1=15 cm, che è a sua volta davanti a un’altra lente avente f 2=10 cm e distante 50 cm. a) Tracciare il diagramma dei raggi; b) calcolare la posizione e le dimensioni dell’immagine finale.

Esercizio numerico 4. 12 Un fisico che si è perso in montagna cerca di costruire un telescopio usando le lenti dei suoi occhiali da lettura. Esse hanno potenza diottrica di +2. 0 e +4. 5. a) Qual è il massimo ingrandimento che può ottenere con il suo telescopio? b) Quale lente dovrebbe usare come oculare?

Esercizio numerico Un oggetto è posto a distanza s = 6 cm a sinistra di una lente sottile convergente di focale f 1 = 12 cm. Una lente sottile divergente di focale f 2 = -24 cm è a distanza d = 9 cm dalla prima lente. Trovare con il calcolo e con il tracciamento dei raggi la posizione e la natura dell’immagine prodotta dal sistema delle due lenti.