Ottica geometrica 3 13 gennaio 2014 Diottro convesso

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Ottica geometrica 3 13 gennaio 2014 Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo,

Ottica geometrica 3 13 gennaio 2014 Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo, ingrandimento Diottro piano

Diottro convesso • Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione diverso, separati da una

Diottro convesso • Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione diverso, separati da una superficie, costituiscono un diottro • Noi studieremo i diottri con superficie sferica o piana • Supponiamo che il mezzo di sinistra abbia indice n 1 e il mezzo di destra n 2 e che n 1 < n 2 i P • Come per gli specchi abbiamo le relazioni geometriche N a V H t ’ C Q 2

Diottro convesso • Ora la relazione tra i e t è data dalla legge

Diottro convesso • Ora la relazione tra i e t è data dalla legge di Snell • Ricordiamo le relazioni tra angoli e segmenti (y = NH) i N P a V H t ’ C Q 3

Diottro convesso • In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno e la tangente

Diottro convesso • In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno e la tangente di un angolo con l’angolo stesso e VH~0 • La legge di Snell diviene allora • Moltiplicando per n 1 e sottraendo membro a membro si ottiene i P • ovvero N a V H per n 2 e t ’ C Q 4

Diottro convesso • Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo l’eq. del diottro

Diottro convesso • Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo l’eq. del diottro • Poiché non vi compare la posizione di N (cioè y) il diottro è uno strumento stigmatico (nell’AG) i N P a V H t ’ C Q 5

Convenzione dei segni • Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle

Convenzione dei segni • Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle distanze che permette di usare l’equazione trovata in tutti i casi (diottro convesso, concavo; oggetto in diverse posizioni) – La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza) e va a destra (spazio di trasmissione) – o è positiva se l’oggetto è nello spazio di incidenza, negativa se giace nello spazio di trasmissione – i è positiva se l’immagine è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza – R è positiva se il centro di curvatura è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza 6

Fuoco posteriore • Facendo tendere il punto oggetto P all’infinito, l’immagine Q tende ad

Fuoco posteriore • Facendo tendere il punto oggetto P all’infinito, l’immagine Q tende ad un punto detto fuoco posteriore • La posizione del fuoco posteriore (i = f 2) è i t V C F 2 7

Fuoco anteriore • Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore, l’immagine Q

Fuoco anteriore • Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore, l’immagine Q tende all’infinito • La posizione del fuoco anteriore (o = f 1) è i F 1 t V C 8

Eq. del diottro convesso • Con la definizione delle due distanze focali si può

Eq. del diottro convesso • Con la definizione delle due distanze focali si può scrivere l’eq. del diottro nella forma • Le distanze focali sono sempre diverse e stanno nel rapporto 9

Diottro concavo • Ora le relazioni geometriche sono • Da cui • E grazie

Diottro concavo • Ora le relazioni geometriche sono • Da cui • E grazie alle convenzioni dei segni diventa N ’ P Q C i t a H V 10

Immagine di punti fuori asse • Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi •

Immagine di punti fuori asse • Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi • Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo con la retta PC P Q’ P’ V C Q 11

Immagine di punti fuori asse • Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP

Immagine di punti fuori asse • Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con l’asse (P’C=PC, Q’C=QC) • La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P’ e Q’ • Quindi il diottro trasforma una superficie sferica oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’ P’ V C Q 12

Immagine di punti fuori asse • Grazie all’approssimazione parassiale, le porzioni di superfici sferiche

Immagine di punti fuori asse • Grazie all’approssimazione parassiale, le porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane • I diottri trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari all’asse in superfici immagine piane perpendicolari all’asse P Q’ P’ V C Q 13

Tracciamento dell’immagine • Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare all’asse in un segmento

Tracciamento dell’immagine • Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare all’asse in un segmento immagine perpendicolare all’asse, basta quindi considerare i due punti estremi dell’oggetto per conoscere l’estensione dell’immagine • Essendo il diottro stigmatico, bastano due raggi per determinare un punto immagine • I raggi principali emessi dall’oggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel fuoco posteriore – Il raggio passante per il fuoco anteriore che viene rifratto parallelamente all’asse – Il raggio passante per il centro di curvatura che viene rifratto senza deviazione 14

Ingrandimento • Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangoli PP’V e QQ’V abbiamo

Ingrandimento • Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangoli PP’V e QQ’V abbiamo • Dividendo membro a membro • E usando la convenzione dei segni P i P’ C V t Q’ Q 15

Diottro piano • In questo caso R è infinito, per conseguenza • Il segno

Diottro piano • In questo caso R è infinito, per conseguenza • Il segno negativo significa che l’immagine non sta nello spazio di trasmissione, ma in quello d’incidenza (è virtuale) • Poiché n 1 < n 2 l’immagine è più distante dalla superficie del diottro di quanto lo sia l’oggetto; se il mezzo con n maggiore fosse a sinistra avverrebbe l’inverso, l’immagine sarebbe più vicina alla superficie Q P 16

Diottro piano • L’ingrandimento è dato da • Cioè l’immagine è dritta e delle

Diottro piano • L’ingrandimento è dato da • Cioè l’immagine è dritta e delle stesse dimensioni dell’oggetto Q P Q’ P’ 17

Esercizio: diottro+specchio • Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n

Esercizio: diottro+specchio • Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n 1, n 2 accoppiato ad uno specchio piano posto a distanza s dalla superficie del diottro • Trovare l’immagine del punto oggetto P VD P n 1=1 VS n 2=n s

Prima immagine del diottro (Q 1) • Distanza oggetto PVD=o=o 1 • Distanza immagine

Prima immagine del diottro (Q 1) • Distanza oggetto PVD=o=o 1 • Distanza immagine Q 1 VD=i 1 • Equazione del diottro • Da cui Q 1 VD P n 1=1 VS n 2=n s

Immagine dello specchio(Q 2) • Distanza oggetto Q 1 VS=o 2=-i 1+s • Distanza

Immagine dello specchio(Q 2) • Distanza oggetto Q 1 VS=o 2=-i 1+s • Distanza immagine Q 2 VS=i 2 • Equazione dello specchio • Da cui Q 1 VD P n 1=1 VS n 2=n s Q 2

Seconda immagine del diottro (Q 3) • Distanza oggetto Q 2 VD=o 3=-i 2+s

Seconda immagine del diottro (Q 3) • Distanza oggetto Q 2 VD=o 3=-i 2+s • Distanza immagine Q 3 VD=i 3=i • Equazione del diottro • Da cui Q 1 VD P • Effettuando le sostituzioni n 1=1 VS n 2=n s Q 3 Q 2