Modelowanie i podstawy identyfikacji 20152016 Modele fenomenologiczne metodyka

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Modelowanie i podstawy identyfikacji - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 3+4 - 2015/2016 Modelowanie fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Modele dynamiczne Przykłady podejść do modelowania systemów różnych kategorii rozpoczniemy od: Modeli dynamicznych typu white – box, czyli modeli fenomenologicznych Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Przypadki, kiedy cele modelowania wymagają budowy modeli dynamicznych: chcemy badać w oparciu o model stany przejściowe (nieustalone) systemu; chcemy przeprowadzać w oparciu o model analizę stabilności, obserwowalności, sterowalności; chcemy generować sterowania systemem w oparciu o predykcję wyjść systemu (sterowanie predykcyjne) ……… Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Propozycja kroków budowy modelu dynamicznego § Krok I: Dokładne określenie systemu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia § Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji systemu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami systemu rzeczywistego § Krok III: Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Krok I Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Krok II Idealizowana reprezentacja Pod pojęciem idealizowanej reprezentacji rozumiemy utworzony w myśli system, który odpowiada rzeczywistemu pod względem jego istotnych cech wynikających z celów modelowania, ale jest prostszy (idealniejszy) i dlatego łatwiej poddający się analizie Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Lista często zakładanych przybliżeń: (a) pominięcie małych wpływów; (b) założenie, że modelowany system nie powoduje zmian w swoim otoczeniu; (c) zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione; (d) przyjmowanie zależności liniowych pomiędzy wielkościami opisującymi przyczyny i skutki; (e) założenie, że parametry elementów systemu nie zmieniają się w czasie; (f) pomijanie szumów i nieokreśloności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Skutki zakładania przybliżeń (a) pominięcie małych wpływów Pomijanie małych wpływów w modelu idealizowanym zmniejsza liczbę zmiennych modelu, a przez to liczbę i stopień skomplikowania relacji modelu matematycznego Przykład: Schemat elektryczny przedstawiony na rysunku § pominięto małą wartość indukcyjności i pojemności jaką wykazują rzeczywiste rezystory R 2 i R 3 § pominięto małą wartość rezystancji upływnościowej kondensatora C 5 §. . . Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka (b) założenie, że modelowany system nie powoduje zmian w swoim otoczeniu Przyjmowanie, że otoczenie jest niezależne od modelowanego systemu zmniejsza liczbę zmiennych modelu, a przez to liczbę i stopień skomplikowania relacji modelu matematycznego Przykład: 1) Wartość napięcia źródła napięciowego, wartość prądu źródła prądowego nie zależy odpowiednio od prądu płynącego przez źródło napięciowe, napięcia na źródle prądowym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka (c) zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione Zastąpienie parametrów rozłożonych parametrami skupionymi prowadzi do zastąpienia opisu równaniami różniczkowymi cząstkowymi, opisem równaniami różniczkowymi zwyczajnymi Przykłady: 1) Zastąpienie temperatury ciała temperaturą średnią; 2) Założenie jednolitego wymieszania w całej objętości mieszaniny; 3) Zastąpienie linii przesyłowej elektrycznej szeregowo połączonymi czwórnikami RLC; 4) Zastąpienie masy belki zginanej masą punktową; 5). . . Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka (d) przyjmowanie zależności liniowych między wielkościami opisującymi przyczyny i skutki Przyjmowanie zależności liniowych prowadzi do zastąpienia opisu równaniami różniczkowymi nieliniowymi, opisem równaniami różniczkowymi liniowymi Możliwość skorzystania z właściwości: Proporcjonalności Addytywności czyli superpozycji Przykłady: 1) Przyjęcie, że rezystancja nie zależy od płynącego przez rezystor prądu; 2) Przyjęcie, że zależność między wydłużeniem sprężyny a siłą rozciągającą jest proporcjonalna; 3). . . Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka (e) założenie, że parametry elementów systemu nie zmieniają się w czasie (są stałe w czasie) Przyjęcie założenia o stałości parametrów modelu prowadzi do zastąpienia opisu równaniami niestacjonarnymi (o zmiennych w czasie współczynnikach), opisem równaniami różniczkowymi stacjonarnymi (o stałych współczynnikach) Przykłady: 1) Przyjęcie, że współczynnik chropowatości rurociągu sieci wodociągowej nie zmienia się w ciągu tygodnia; 2) Przyjęcie, że upływność izolacji nie zmienia się w ciągu miesiąca; 3). . . Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka (f) pomijanie szumów i nieokreśloności Pomijanie szumów i nieokreśloności i przyjęcie, że wszystkie wielkości i parametry mają określone i dokładnie znane wartości, usuwa potrzebę podejścia do modelowania na gruncie stochastycznym Przykłady: 1) Przyjęcie, że współczynnik ma wartość średnią ze zbioru pewnych wartości; 2) Przyjęcie, że zakłócenia mają określony przebieg w czasie 3). . . Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Krok III Budowa modelu (struktury) w oparciu o: (a) Wykorzystanie praw zachowania lub innych podstawowych praw o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoff’a, Newtona, zachowania masy, itd. . ) (b) zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Od idealizowanej reprezentacji systemu do modelu matematycznego Wyprowadzenie równań modelu poprzedzamy: właściwym wyborem zmiennych, które będą opisywać chwilowy stan systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne: przepływu, naporu Zmienne przepływu są zmiennymi systemu, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – prędkość liniowa wyrażona np. w metrach/sekundę lub prędkość kątowa wyrażona np. w radianach/sekundę; 2) W systemach elektrycznych – natężenie prądu wyrażone np. w amperach (kulombach/sekundę); 3) W systemach płynowych – objętościowe natężenie przepływu wyrażone np. w metrach sześciennych/sekundę, lub masowe natężenie przepływu wyrażone w np. w kilogramach/sekundę; 4) W systemach cieplnych – natężenie przepływu ciepła wyrażone np. w joulach/sekundę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Zmienne naporu są zmiennymi systemu, które są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu systemu, wyrażają „napór” jakiemu poddany jest element Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – siła działająca na element wyrażona np. w niutonach; 2) W systemach elektrycznych – napięcie wyrażone np. w woltach; 3) W systemach płynowych – spadek ciśnienia wyrażony np. w pascalach 4) W systemach cieplnych – temperatura wyrażona np. w stopniach Celsjusza Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Centralne zagadnienie wyprowadzenia równań dynamiki Sformułowanie zależności (równań) wyrażających warunki równowagi , poprzez podanie bilansów wielkości właściwych dla rozważanego systemu, które muszą zachodzić dla całego systemu i jego podsystemów lub zależności (równań) wyrażających warunki spójności dynamiki, które muszą zachodzić pomiędzy elementami systemu ze względu na sposób w jaki elementy te łączą się ze sobą Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoff’a, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle, . . . ) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi naporu (II prawo Kirchhoff’a, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu, . . . ) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Po wyprowadzeniu równań wynikających z praw zachowania rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących wielkości związane z poszczególnymi elementami systemu Uwzględniamy również - przyjęte założenia - występujące w systemie tożsamości Systematyczny porządek: 1) wybór zmiennych; 2) zestawienie równań równowagi lub spójności; 3) uwzględnienie zależności wiążących, założeń, tożsamości a wynikowe równania zestawiamy w układ, w którym pozostawiamy jedynie wybrane przez nas zmienne niezależne i zależne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i spadku dla każdego poszczególnego elementu systemu (np. , . . . ) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - metodyka Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21