Modelowanie i podstawy identyfikacji 20152016 Modele fenomenologiczne dyskretyzacja

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Modelowanie i podstawy identyfikacji - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 7+8 - 2015/2016 Modele fenomenologiczne – dyskretyzacja modeli ciągłych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Modele dyskretne – dyskretna aproksymacja modeli ciągłych lub Odpowiedniki dyskretne modeli ciągłych Jakie warunki musi spełnić dany model dyskretny, aby można go było nazwać odpowiednikiem modelu ciągłego? Weźmy system ciągły dany modelem w czasie ciągłym Mc na jego wejście podajemy wymuszenie – o wartościach u(t) na wyjściu rejestrujemy odpowiedź – o wartościach y(t) próbkując u(t) otrzymamy sekwencję wartości {u(k. Ts)}, k= 1, 2, 3 …. . próbkując y(t) otrzymamy sekwencję wartości {y(k. Ts)}, k= 1, 2, 3 …. . Weźmy system dyskretny dany modelem w czasie dyskretnym Md na jego wejście podajemy wymuszenie - sekwencję wartości {u(k. T s)}, k= 1, 2, 3 …. . na wyjściu rejestrujemy odpowiedź - sekwencję wartości {y d(k. Ts)}, k= 1, 2, 3 …. . Model Md nazwiemy odpowiednikiem modelu Mc jeżeli yd(k. Ts) = y(k. Ts) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Nie istnieje uniwersalny odpowiednik dyskretny układu ciągłego – spełniający podany warunek dla wszystkich wymuszeń u(t) i wszystkich kroków próbkowania T s Istnieje kilka sposobów znajdowania modeli dyskretnych odpowiedników modeli ciągłych metody oparte na aproksymacji równań różniczkowych - metoda oparta na aproksymacji różniczkowania (pochodnych) - metoda oparta na aproksymacji całkowania metoda niezmienniczości skokowej (nazwy: Step Response Equiwalence, Step Responce Matching, Step-Invariant Approximation) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Modele dyskretne – dwa źródła: modelowany system jest z natury dyskretny modelowany system jest z natury ciągły, ale sterowanie tym systemem realizowane jest przez sterownik komputerowy Układ sterowania cyfrowego (przykładowa struktura) Zatrzask i przetwornik A/D Komputer cyfrowy Przetwornik D/A Ekstrapolator Element wykonawczy Obiekt sterowany Zegar Czujnik i przekształtnik próbkowanie – impulsator kwantyzacja - kwantyzator Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. ekstrapolacja – ekstrapolator Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Metody projektowania systemów sterowania: metody projektowania systemów sterowania ciągłego (analogowego) metody projektowania systemów sterowania dyskretnego (cyfrowego) Jeżeli chcemy zastosować w sterowaniu obiektu ciągłego sterownik dyskretny (cyfrowy) – projekt sterownika: zaprojektować sterownik ciągły dla ciągłego dyskretyzować zaprojektowany sterownik obiektu (modelu) i następnie dyskretyzować ciągły obiekt (model) i zaprojektować sterownik dyskretny dla dyskretnego obiektu Drugie podejście – bardziej popularne Jeżeli chcemy zastosować w projektowaniu sterowania komputerowego obiektu ciągłego metody sterowania dyskretnego – potrzebna dyskretyzacja modelu obiektu ciągłego, a dokładnie dyskretna aproksymacja tego modelu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Połączenie: system czasu ciągłego do systemu czasu dyskretnego Istota działania przetwornika analogowo – cyfrowego (A/C) Przetwornik A/C Sygnał czasu dyskretnego Sygnał czasu ciągłego Impulsator - sygnał próbkowany i kwantowany Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Połączenie: system czasu dyskretnego do systemu czasu ciągłego Istota działania przetwornika cyfrowo – analogowego (A/C) Przetwornik C/A Sygnał czasu dyskretnego Ekstrapolator zerowego rzędu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Sygnał czasu ciągłego (kwantowany) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja I. Modele przestrzeni stanu - dyskretyzacja metodą niezmienniczości skokowej Weźmy model stanu Rozwiązanie równania stanu Rozwiązanie: Składowa swobodna (odpowiedź zerowego wejścia) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona (odpowiedź zerowego warunku początkowego) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Zdefiniujemy – eksponent macierzy kwadratowej Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać (pokażemy na SD): Składowa wymuszona – rozwiązanie równania niejednorodnego - przy zerowym warunku początkowym Rozwiązanie równania niejednorodnego ma postać (pokażemy na SD): Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Weźmy równanie wyjścia: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Dyskretyzacja z rozwiązania (bez utraty ogólności wyniku dla t 0 = 0) Odpowiedź stanu systemu ciągłego lub Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania Przemnażając przez Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. wyrażenie na Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Odejmując wynik od wyrażenia na Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja : Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Przyjmując, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania Zmieniając zmienną całkowania Stałe (wartość, dla danego systemu, różna dla różnych T s) Definiujemy macierze Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Możemy napisać równanie stanu lub w postaci uproszczonej Równanie wyjścia, jako równanie algebraiczne „nie zmienia się” ; zatem równanie wyjścia przy czym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Podsumowanie Mając model systemu ciągłego: Model systemu równoważnego dyskretnego: przy czym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja II. Modele przestrzeni stanu - aproksymacja pochodnych w równaniu różniczkowym ilorazami różnicowymi Weźmy ponownie model stanu Aproksymacja prawostronna: przy czym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Stąd dla równania stanu Stałe (wartość, dla danego systemu, różna dla różnych T s) Definiujemy macierze Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Możemy napisać równanie stanu lub w postaci uproszczonej Równanie wyjścia, jako równanie algebraiczne „nie zmienia się” ; zatem równanie wyjścia przy czym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Podsumowanie Mając model systemu ciągłego: Model systemu równoważnego dyskretnego: przy czym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Weźmy model wejście wyjście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja III. Modele wejście - wyjście – aproksymacja pochodnych w równaniu różniczkowym ilorazami różnicowymi Stosowane podejścia do aproksymacji Aproksymacja lewostronna: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Aproksymacja prawostronna: Aproksymacja symetryczna: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Przykład 6 Dyskretyzacja modelu z przykładu 2 x 1 k 12 k 1 m 2 m 1 B 1 f(t) B 12 B 2 Model wejście - wyjście Warunki początkowe: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Równania stanu Warunki początkowe: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Model wejście - wyjście Aproksymacja ilorazem lewostronnym I równanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja II równanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Warunki początkowe: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Po uporządkowaniu: I równanie: II równanie: podobnie …… Warunki początkowe: II równanie: podobnie …… Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Model stanu Aproksymacja modelem różnicowym Zastosowanie aproksymacji prawostronnej I równanie stanu: Po uporządkowaniu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja II równanie stanu: Po uporządkowaniu: III równanie stanu: Po uporządkowaniu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja IV równanie stanu: Po uporządkowaniu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Równanie wyjścia: Aproksymacja: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Możemy też zapisać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Oznaczając: Możemy zapisać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe (jednowymiarowe) Modele wejście - wyjście: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach ntego rzędu system dyskretny – równania różnicowe n-tego rzędu liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Modele stanu: system ciągły – n równań różniczkowych zwyczajnych liniowych o stałych współczynnikach 1 -ego rzędu – równanie stanu, i q równań algebraicznych – równanie wyjścia system dyskretny – n równań różnicowych 1 -ego rzędu liniowych o stałych współczynnikach - równanie stanu, i q równań algebraicznych – równanie wyjścia System ciągły; model stanu System dyskretny; model stanu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38