Mata Kuliah Penelitian Operasional II ALGORITMA TRANSPORTASI Herman

Mata Kuliah Penelitian Operasional II ALGORITMA TRANSPORTASI Herman R. Suwarman, S. Si, MT

Kasus Transportasi Sun. Ray Kapal-kapal milik Sun. Ray Transport Company membawa gandum dari tiga gudang (silo) ke empat tempat penggilingan (Mill). Penawaran (dalam jumlah muatan) dan permintaan (yang juga dalam jumlah muatan ) bersama-sama dengan biaya transportasi/muatan pada rute yang berbeda dirangkum dalam model transportasi pada tabel 1. unit biaya transportasi, cij (ditunjukkan pada sudut barat laut setiap kotak)

Tabel 1 Model Transportasi untuk Kasus Sun. Ray Transport Company Mill 1 1 x 11 Silo 10 2 x 21 Demand x 12 x 22 5 x 32 x 13 x 23 15 x 33 x 14 x 24 15 x 34 15 20 25 16 Supply 11 9 14 4 20 7 4 3 2 12 3 x 31 2 18 15 10

Langkah-langkah Algoritma Transportasi Langkah 1 Tentukan solusi awal layak dasar (basis), dan lanjutkan ke langkah 2 Langkah 2 Gunakan kondisi optimalitas dari metode simpleks untuk menentukan variabel masuk dari diantara semua variabel non dasar. Jika kondisi optimalitas dipenuhi, stop. Jika belum dipenuhi, lanjutkan ke langkah 3 Langkah 3 Gunakan kondisi layak untk metode simpleks untuk menentukan variabel keluar dari diantara semua variabel dasar yang ada, temukan solusi dasar yang baru. Kembali ke langkah 2

Langkah 1 - Menentukan Solusi Awal 1. Northwest-corner methode 2. Least – cost method 3. Vogel approximation method

Langkah 1 -Northwest-Corner Method Metode ini mulai dari sel (rute) sudut barat laut dari tabel dalam hal ini adalah x 11 Langkah 1 Alokasikan sebanyak mungkin terhadap sel yang dipilih, dan sesuaikan dengan jumlah penawaran (supply) dan permintaan (demand) dengan mengurangi jumlah yang dialokasikan Langkah 2 Silang baris atau kolom dengan jumlah nol penawaran atau nol permintaan untuk mengindikasikan bahwa tidak ada penetapan lebih lanjut dalam baris atau kolom tersebut. Jika kedua baris atau kolom menghasilkan 0 secara bersamaan, silang salah satu saja, dan biarkan penawaran (permintaan) dalam keadaan tidak disilang

Langkah 1 -Northwest-Corner Method Langkah 3 jika tepat satu baris atau satu kolom yang tertinggal tidak disilang lagi, maka berhenti. Jika tidak, bergeraklah ke sel ke sebelah kanan yang telah disilang (bernilai 0) atau kebawah jika baris telah disilang (bernilai 0). Kembali lagi ke langkah 1

Langkah 1 -Northwest-Corner Method 1 1 2 10 5 Demand 5 15 15 9 20 25 5 14 Supply 11 15 4 7 5 4 20 12 3 2 10 2 3 16 15 18 10 15 10

Langkah 1 -Northwest-Corner Method Solusi basis awal akan diberikan oleh x 11 = 5 x 12 = 10 x 22 = 5 x 23 = 15 x 24 =5 x 34 = 10 Sehingga biaya untuk jadwal ini adalah Z = 5 x 10 + 10 x 2 + 5 x 7 + 15 x 9 + 5 x 20 + 10 x 18 = $ 520

Langkah 1 -Least-Cost Method � Least cost method (metode biaya terendah) merupakan metode menentukan solusi awal yang lebih baik yaitu dengan mengkonsentrasikan pada rute yang paling murah (biaya terendah). � Metode ini dimulai dengan menetapkan sel dengan biaya unit terkecil. Kemudian, baris atau kolom yang disilang dan jumlah dari penawaran (supply) dan permintaan (demand) disesuaikan secara berturut. � Jika kedua baris atau kolom terpenuhi secara bersamaan, hanya satu yang disilang, seperti halnya pada metode northwest-corner. � Kemudian carilah sel-sel yang belum disilang dengan biaya unit terendah dan ulangi proses hingga tepat satu kolom atau baris yang tidak disilang.

Langkah 1 -Least-Cost Method 1 1 2 3 10 15 5 15 15 0 15 Supply 11 9 14 4 20 7 4 3 2 12 5 Demand 2 20 25 10 16 18 5 15 15 10

Langkah 1 -Least-Cost Method � Sel (1, 2) mempunyai unit biaya terendah ($2). Jumlah yang bisa diantarkan melalui sel (1, 2) adalah x 12 = 15 muatan dimana hal ini terjadi untuk memenuhi baris 1 dan kolom 2 secara bersamaan. Kita dapat secara sembarang menyilang kolom 2 dan menetapkan penawaran (supply) pada baris 1 adalah 0. � Sel (3, 1) merupakan unit biaya terkecil yang belum disilang berikutnya ($4). Tetapkan x 31 = 5, silanglah kolom 1, karena memenuhi jumlah permintaan, dan tetapkan baris 3 sebesar 10 -5 = 5 muatan � Lanjutkan dengan pola yang sama, kita dapat menetapkan 15 muatan terhadap sel (2, 3), 0 muatan pada sel (1, 4), 5 muatan pada sel (3, 4), dan 10 muatan pada sel (2, 4). (silahkan verifikasi!)

Langkah 1 -Least-Cost Method Solusi basis awal ditemukan adalah sbb: x 12 = 15 x 14 = 0 x 23 = 15 x 24 =10 x 31 =5 Sehingga biaya u/ jadwal ini sbb: x 34 =5 Z = 15 x 2 + 0 x 11 + 15 x 9 +10 x 20 + 5 x 4 + 5 x 18 = $475

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) VAM merupakan metode Leastcost method yang telah diperbaiki secara umum menghasilkan solusi awal yang lebih baik.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Langkah 1 untuk setiap baris (kolom), tentukan ukuran penalti dengan mengurangi elemen unit biaya terkecil pada baris (kolom) dari unit biaya terkecil berikutnya dalam baris (kolom) yang sama Langkah 2 Identifikasi baris atau kolom dengan nilai penalti yang terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin terhadap variaebl dengan unit biaya terendah dalam baris atau kolom yang terpilih. Sesuaikan penawaran dan permintaan, dan silanglah baris dan kolom yang sudah terpenuhi. Jika baris dan kolom terpenuhi secara bersamaan, hanya satu saja yang disilang, dan baris (kolom) yang tertinggal ditetapkan memiliki penawaran (permintaan) bernilai nol.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Langkah 3 a) Jika tepat satu kolom atau baris dengan nilai penawaran atau permintaan adalah nol berada pada status belum tersilang, maka langkah berhenti b) Jika satu baris (kolom) dengan nilai penawaran (permintaan ) positif tetap ada pada sel-sel yang belum tersilang, tentukan variabel dasar dalam baris (kolom) dengan metode Least-cost. Kemudian berhenti c) Jika semua baris dan kolom yang belum disilang mempunyai nilai permintaan dan penawaran adalah nol, tentukan nilai varabel dasar dengan menggunakan metode Least-cost. Kemudian berhenti d) sebaliknya, kembali ke langkah 1.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 1 1 2 3 2 12 3 10 2 4 20 7 Demand 5 15 Penalti kolom 10 -4=6 7 -2=5 20 16 15 Supply Penalty Baris 11 9 14 4 18 15 16 -9=7 18 -11=7 15 10 -2 =8 25 9 -7 =2 10 14 -4 =10

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 1 1 2 3 3 10 2 2 12 4 5 20 7 Demand 5 15 Penalti kolom 10 -4=6 7 -2=5 20 16 15 Supply Penalty Baris 11 9 14 4 18 15 16 -9=7 18 -11=7 15 10 -2 =8 25 9 -7 =2 10 14 -4 =10

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Karena baris 3 mempunyai nilai penalti yang paling besar (=10) dan sel (3, 1) mempunyai biaya unit terkecil pada baris tersebut, maka nilai 5 ditetapkan pada x 31. kolom 1 sekarang sudah dipenuhi dan harus disilang.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 1 1 2 3 3 10 2 2 15 12 4 5 20 7 Demand 5 15 Penalti kolom - 7 -2=5 20 16 15 Supply Penalty Baris 11 9 14 4 18 15 16 -9=7 18 -11=7 15 11 -2 =9 25 9 -7 =2 10 16 -14=2

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Karena baris 1 mempunyai nilai penalti yang paling besar (=9), dengan demikian kita dapat menetapkan sel (1, 2) yang mempunyai biaya unit terendah ($2). Kemudian kita dapatkan x 12= 15 dan secara bersamaan memenuhi baris 1 dan kolom 2. secara sembarang kita tetapkan kolom 2 untuk disilang dan menyesuaikan penawaran (supply) pada baris 1 adalah 0.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 1 1 2 3 10 2 2 15 12 15 Demand 5 15 Penalti kolom - - 20 16 15 Supply Penalty Baris 11 9 14 4 20 7 4 5 3 18 15 16 -9=7 18 -11=7 15 20 -11= 9 25 20 -9= 11 10 18 -16=2

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 1 1 2 3 Demand 10 2 2 15 12 5 15 0 15 Supply 11 9 14 4 20 7 4 5 3 20 10 16 18 5 15 15 15 25 10

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Solusi basis awal ditemukan adalah sbb: x 12 = 15 x 14 = 0 x 23 = 15 x 24 =10 Sehingga biaya u/ jadwal ini sbb: x 31 =5 Z = 15 x 2 + 0 x 11 + 15 x 9 +10 x 34 =5 x 20 + 5 x 4 + 5 x 18 = $475 (hasil yang sama dengan Least-Cost Method)

Langkah-langkah Algoritma Transportasi Langkah 1 Tentukan solusi awal layak dasar (basis), dan lanjutkan ke langkah 2 Langkah 2 Gunakan kondisi optimalitas dari metode simpleks untuk menentukan variabel masuk dari diantara semua variabel non dasar. Jika kondisi optimalitas dipenuhi, stop. Jika belum dipenuhi, lanjutkan ke langkah 3 Langkah 3 Gunakan kondisi layak untk metode simpleks untuk menentukan variabel keluar dari diantara semua variabel dasar yang ada, temukan solusi dasar yang baru. Kembali ke langkah 2

Algoritma Transportasi Mill 1 1 10 x 11 Silo 2 3 3 2 x 12 x 21 Demand 2 20 x 13 7 x 22 4 4 11 x 14 9 x 23 14 Supply 20 x 24 16 18 x 31 x 32 x 33 x 34 5 15 15 25 10

Langkah 1 -Northwest-Corner Method 1 1 2 3 10 2 20 5 2 12 3 Demand 10 5 4 5 7 15 14 15 4 Supply 11 15 9 20 25 5 16 18 10 15 15 10 Z=$520

Solusi Awal layak Z=5 x 10+10 x 2+5 x 7+15 x 9+5 x 20+1 x 18 Z= $520

Langkah 2 - method of multipliers Prinsip: Menggunakan kondisi optimalitas untuk menentukan variabel masuk dari variabel non dasar sehingga dapat memperbaiki solusi. Jika keadaan optimal tercapai maka iterasi berhenti. Jika belum maka, lanjutkan ke langkah 3. Untuk menetapkan variabel non dasar yang masuk ke variabel dasar dilakukan komputasi terhadap koefisien variabel non dasar menggunakan method of multipliers.

Langkah 2 - method of multipliers dalam metode ini kita menggunakan ui dan vj dengan baris i dan kolom j pada tabel transportasi, untuk setiap variabel xij: setelah menetapkan secara sembarang u 1 = 0 maka nilai ui dan vj pada setiap variabel dasar akan diketahui. Kita akan menggunakan nilai ui dan vj untuk mengevaluasi variabel non dasar dengan mengkomputasi persamaan berikut ini. Hasil evaluasi dari metode ini adalah variabel non dasar yang masuk ke variabel dasar

Langkah 2 - method of multipliers Variabel dasar Persamaan (u, v) Solusi

Langkah 2 - method of multipliers u 1 = 0 u 2 = 5 u 3 = 3 v 1 = 10 v 2 = 2 v 3 = 4 v 4 = 15

Langkah 2 - method of multipliers Variabel non dasar Persamaan (u, v)

Langkah 2 - method of multipliers x 31 masuk variabel dasar Mill V 1=10 v 2=2 v 3=4 v 4=15 Supply 10 2 20 11 u 1=0 15 5 10 -16 4 12 7 9 20 u 2=5 25 35 15 5 4 14 16 18 u 3=3 10 9 -9 -910 Demand 5 15 15 15

Langkah 3 – metode Loop � x 31 merupakan variabel yang masuk variabel dasar pada langkah 2. Tujuan dari langkah 3 ini adalah menentukan variabel yang keluar dari variabel dasar. � Tetapkan x 31 = θ, nilai maksimum dari θ ditentukan oleh dua kondisi: 1. Batas supply dan demand harus tetap terpenuhi 2. Pengiriman melalui semua rute harus non negatif � Loop tertutup tersebut memuat segment horizontal dan vertikal yang terhubung saja (tidak diizinkan segmen diagonal)

Langkah 3 – metode Loop v 1=10 u 1=0 u 2=5 u 3=3 Demand 5 -θ v 3=4 v 4=15 2 20 11 10+θ -16 4 7 20 3 5 -θ 15 5+θ 4 14 16 18 θ 9 -9 -9 10 -θ 10 v 2=2 12 5 15 9 15 15 Supply 15 25 10

x 11=5 -θ≥ 0 x 22=5 -θ≥ 0 x 34=5 -θ≥ 0 x 11 keluar basis Solusi baru Z = 15 x 2+0 x 7+15 x 9+10 x 20+5 x 4+5 x 18 Z= 475

Kondisi belum optimal x 14 masuk basis v 1=1 u 1=0 u 2=5 u 3=3 Demand v 2=2 v 3=4 v 4=15 Supply 10 2 20 11 -9 15 -16 4 12 7 9 20 -6 0 15 10 4 14 16 18 5 -9 -9 5 5 15 15 25 10 Z= 475

Langkah 3 - Loop v 1=1 u 1=0 u 2=5 u 3=3 Demand 10 -9 15 -θ 12 v 2=2 -6 0+θ v 3=4 v 4=11 Supply 2 20 -16 7 15 9 11 θ 20 10 -θ 4 16 18 5 5 5 15 -9 15 15 25 10

Kondisi layak x 24=10 -θ≥ 0 x 14 -15 -θ≥ 0 x 24 keluar basis Z= 5 x 2 + 10 x 11+7 x 10+15 x 9+5 x 4 Z=$435

Kondisi Optimal v 1=-3 u 1=0 u 2=5 u 3=7 Demand v 2=2 v 3=4 v 4=11 Supply 10 2 20 11 -13 5 -16 10 12 7 9 20 -10 10 15 -4 4 14 16 18 5 -5 -5 5 5 15 15 25 10 Z=$435

Kondisi optimal Z = 5 x 2 +10 x 7 +15 x 9 +10 x 11+5 x 18=$435 Dari silo ke Mill 1 1 2 2 3 3 Jumlah beban 2 5 4 10 2 10 3 15 1 5 4 5 Biaya optimal = $ 435

Masalah Transportasi Penjelasan Metode Simpleks untuk Metode Pengali Herman R. Suwarman, S. Si, MT.

Bentuk Dual Model LP Transportasi

Bentuk Dual Model LP Transportasi

Bentuk Dual Model LP Transportasi Pada variabel basis

Daftar Pustaka Taha A. H. , Operations Resesarch, An Introduction, 7 th Edition, Prentice Hall, 2003