LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U D 7

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U. D. 7 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

CÁLCULO DE LÍMITES U. D. 7. 7 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

Límites con radicales • • • Al hallar el limite en un punto ya hemos visto que a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0]. Sin embargo en ocasiones no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. El método que procede en esos casos es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contenga los radicales, a semejanza de cuando tenemos que racionalizar denominadores. Y por último se factorizan los polinomios que se obtenga. Ejemplo 1 • lím • x 1 √x – 1 (√x – 1). (√x + 1) ‑‑‑‑‑‑‑----- = lim ----------- = lím x– 1 @ Angel Prieto Benito x 1 (x – 1). (√x +1) (x – 1) 1 ---------- = ---- x 1 (x – 1). (√x +1) Apuntes 1º Bachillerato CT 2 3

Límites por cambio de variable • • Al hallar el limite en un punto, a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0], pero no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. Procede realizar un cambio de variable: n Si en la función hay un radical del tipo √x , el cambio de variable será: x = tn n Si en la función hay un radical del tipo √(x – a) , el cambio de variable será: x – a = tn n m Si en la función hay un radical del tipo √x y √x , el cambio de variable será: x = t. MCM(n, m) • Y tras el cambio de variable se factorizan los polinomios que se obtenga. • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

Indeterminada [1 oo] • • 1 k = 1 siempre. oo = oo siempre. Sabemos que k Sabemos que 1 oo , no podemos saber • Pero si al calcular un límite nos encontramos con a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. • Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [ • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser 1 oo ] eλ , con lo cual sólo queda calcular λ • • λ = Lím • • ( base – 1 ). exponente x a Y el límite sería, si le hay : L = @ Angel Prieto Benito eλ Apuntes 1º Bachillerato CT 9

El número e • • • • Sea la sucesión n 1 1 + ---, donde n es un número natural n Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0, 5)2 = 2, 25 Para n = 3 , el término de la sucesión vale: (1+0, 3333)3 = 2, 37 Para n = 4 , el término de la sucesión vale: (1+0, 25)4 = 2, 4414 ………. Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0, 01)100 = 2, 7048 ……. . Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0, 001)1000 = 2, 7169 ……. . Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

El número e • Sea la sucesión • 1 • 1 + ---, donde n es un número natural • n • • Si hallamos su limite en el infinito: • • • 1 n oo λ 1 n L = lím ( 1 + --- ) = 1 = e , donde λ = lím (1 + ---- – 1). n = --- = 1 n oo n n λ Luego L = e @ Angel Prieto Benito 1 = e =e Apuntes 1º Bachillerato CT 11

El número e en las funciones @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 12

Ejemplos 1 -2 -3 @ Angel Prieto Benito (Siempre x oo y sólo si [1 oo]) Apuntes 1º Bachillerato CT 13

Ejemplos 4 -5 -6 @ Angel Prieto Benito (Siempre x oo y sólo si [1 oo]) Apuntes 1º Bachillerato CT 14

Otra forma de cálculo • Ejemplo 7: • 3 / (x-1) 3/0 • x+1 2 λ • lím ------‑‑ = ‑--- = [1 oo ] = Indeterminación = e • x 1 2 2 • • λ = lím (base – 1 ). Exp • • x+1 3 (x + 1 - 2). 3 (x-1). 3 • λ = lím ( ----- - 1 ). ‑‑‑‑ = lím -------- = 3/2 • x 1 2 x-1 2 ( x - 1) (x -1). 2 • • L=e 3/2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 15

• Ejemplo 8: • • (x 2 -1) /x [oo / oo] • x+1 oo • lím ------‑‑ = ----= … = [1 oo • x oo λ ] = Indet = e • λ = lím (base – 1 ). exp • • • x+1 (x 2 -1) x 2 - 1 oo λ = lím ( ---- - 1 ). ‑‑‑‑ = lím ------- = [------ ] = … = 1 x oo x x x 2 oo • • 1 L=e =e @ Angel Prieto Benito Hay que resolver las indet. [oo/oo]. Apuntes 1º Bachillerato CT 16