Matemticas 1 Bachillerato 9 Funciones lmites yy continuidad

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad ESQUEMA

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Funciones reales: Definición Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto D R, en el conjunto R. f(x) = x 2 R Dominio 2 • 2 2, 3 • 2 5 • 5 Recorrido f(2) = 4 f(2, 3) = 5, 29 f(5) = 25 Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones: • Todo elemento de D ha de tener imagen. • Esta imagen ha de ser única. • 4 • 5, 29 • 25 R

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Funciones definidas por fórmula Superficie del rectángulo inscrito en la circunferencia S=x. y x 2 2 R 90º + y 2 = (2 R)2 x 2 R y } x D = (0, 2 R)

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Funciones definidas por su gráfica Un cardiograma normal de un joven de 20 años

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Funciones definidas por tablas 46 T = 4 t + 20 30 2. 5 Interpolación T(2. 5) = 4. 2. 5 + 20 = 30ºC 6. 5 Extrapolación T(6. 5) = 4. 6. 5 + 20 = 46

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Funciones reales: Dominio y recorrido Y f(D) = [0, 2 ] X D = [-2, 2]

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Función compuesta La función h 1(x) = sen 2 x es la composición de dos funciones: • g(x) = 2 x = t • f(t) = sen t g f R R R x x 2 x = t sen t = sen 2 x h 1(x) = f(g(x)) = f(2 x) = sen 2 x Entrada x g(x) = 2 x Salida 2 x Entrada t= 2 x h 2(x) = f(g(x)) f(t) = sen t Salida sen t = sen 2 x

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato La composición de funciones no es conmutativa Función h 2(x) = g(f(x)) • f(x) = sen x = t • g(t) = 2 t g R f R x x sen x = t R g(t) = 2 sen t = 2 sen x h 2(x) = g(f(x)) = g(sen x) = 2 sen x Entrada x Salida sen x f(x) = sen x Entrada t= sen x h 2(x) = g(f(x)) f(t) = 2 t Salida 2 t = 2 sen x

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Asíntotas verticales X=0

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Asíntotas horizontales

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Asíntotas oblicuas y = mx + n f(x) – (mx + n) m = tg a • La pendiente de la asíntota oblicua y las pendientes de las tangentes a la curva tienden a coincidir para x + • [f(x) – (mx + n)] 0 para x +

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato f(p) Continuidad. Puntos de discontinuidad • (p, f(p)) p p p Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Discontinuidad evitable } x=2 discontinuidad evitable

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Discontinuidad inevitable: Salto finito x=1 salto finito

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Continuidad en un punto Gráfica de la función Y x + 1 si x 0 x - 1 si x >0 1 -1 1 X -1 -1 1 f(x) no es continua en el punto xo = 0 IMAGEN FINAL

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Discontinuidad inevitable: Salto infinito x=1 salto infinito

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Límites de funciones en un punto En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a “a”, ¿a quién se acerca f(x)?

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Significado del límite infinito de una función para x a

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Límites de funciones en el infinito En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)? En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)?

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Significado geométrico del límite finito de una función, para x +

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Cálculo de límites (I) No hay indeterminación 1

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Cálculo de límites (II) 1 2

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Cálculo de límites (III) 2 1 – 1

Matemáticas 1. º Bachillerato Sucesión aritmética 9. Funciones, límites yy continuidad Sucesiones de números reales Término general: f(n) = a +(n-1). d Sucesión geométrica Término general: f(n) = a. rn

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Límites de sucesiones En la medida en que n toma valores cada vez mayores, ¿a quién se acerca an?

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = 1/n a 1 a 2 a 3 a 20 a 50 a 96 IMAGEN FINAL

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = 2 n/(n + 1) a 20 a 50 a 96 a 3 a 2 a 1 IMAGEN FINAL

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = n 2 + 1 a 50 a 5 a 90 a 20 IMAGEN FINAL

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = -n 2 + 1 a 5 a 20 a 50 a 90 IMAGEN FINAL

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = (-1)n. n 2 Esta sucesión no tiene límite a 10 a 44 a 1 a 23 IMAGEN FINAL

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad El número e

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad 1. º Bachillerato Representación de los términos de la sucesión an = (1+1/n)n a 20 a 3 a 2 a 1 a 50 a 96

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Límites de funciones trigonométricas

Matemáticas 1. º Bachillerato 9. Funciones, límites yy continuidad Funciones: límites y continuidad 1 • La función no está definida en 0. • Pero está definida en las proximidades del punto 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 - 10 -5 5 10 - 0. 2 IMAGEN FINAL