LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U D 7

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U. D. 7 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

FUNCIONES TROCEADAS U. D. 7. 1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

FUNCIONES TROCEADAS • FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS O TROCEADAS • Son aquellas que presentan, a lo largo de su dominio, diferentes expresiones analíticas o gráficas, cada una de las cuales está expresada o representada en un intervalo. f(x) Función cuadrática k Función constante lineal radical a b c d e X p @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

FUNCIONES TROCEADAS • FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS O TROCEADAS • Son aquellas que presentan, a lo largo de su dominio, diferentes expresiones analíticas o gráficas, cada una de las cuales está expresada o representada en un intervalo. • k , si a ≤ x < b • • • x–b , si b ≤ x ≤ c (x – c)2 – p , si c < x < d √(x – e) , si e ≤ x • • f(x) = Entre x=d y x=e no hay ninguna expresión porque dicho intervalo está gráficamente vacío, no forma parte del dominio, incluidos d y e. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

5 • Ejemplo 1 • Tenemos troceada la función en dos partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función cuadrática y una función lineal. -2 0 2 3 5 • Nota • El signo = para x=3 sólo aparece en una expresión, no en las dos. Donde proceda. En este caso es indiferente. La función se expresaría así: x 2 – 4 si x<3 -x+8 si x ≥ 3 f(x) = @ Angel Prieto Benito • • Apuntes 1º Bachillerato CT 5

• Ejemplo 2 • • Sea la función: 1/ x si f(x) = x– 6 si • Dibujarla • x<4 x ≥ 4 Nota -3– 2 – 1 • El signo = para x=4 gráficamente estaría sobre la función lineal y=x – 6 , y no sobre la función de proporcionalidad inversa y = 1/x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 0 1 2 3 4 5 6 – 2 6

• Ejemplo 3 • Representa gráficamente la función: f(x) = |x – 3| • y • La función valor absoluto se expresaría así: • • • f(x) = • Nota • El signo = para x=3 sólo aparece en una expresión, no en las dos. – x + 3 , si x < 3 x– 3 @ Angel Prieto Benito , si x ≥ 3 - 2 -1 0 1 2 3 Apuntes 1º Bachillerato CT 4 5 7

• Ejemplo 4 • • Sea la función: –x+3 f(x) = 6 – x 2 si x<0 si x ≥ 0 6 3 • Dibujarla • Nota -3– 2 – 1 • 0 1 2 3 4 5 6 El signo = para x=0 gráficamente estaría sobre la función cuadrática, no sobre la lineal. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

• Ejemplo 5 • Tenemos troceada la función en cuatro partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función lineal. • • 5 Se expresaría así: 0 si 0 ≤ x < 5 0 x– 5 -2 x+25 @ Angel Prieto Benito 15 20 25 si 5 ≤ x < 15 f(x) = 5 5 si 15 ≤ x < 20 si 20 ≤ x < 25 • Ejemplo Práctico correspondiente: • Una atracción de feria, una noria, donde el eje de abscisas son los tiempos y el eje de ordenadas es la velocidad que alcanza. Apuntes 1º Bachillerato CT 9

• • • Ejemplo 6 Tenemos troceada la función en tres partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función lineal. Ejemplo Práctico correspondiente: 50 0 Una máquina está funcionando de manera que su temperatura aumenta linealmente con el tiempo. Al alcanzar los 100ºC se para, permaneciendo en reposo 5 mn. Tras ese periodo de descanso vuelve a funcionar. @ Angel Prieto Benito 100 10 15 25 La función se expresaría así: f(x) = 10. x si 0 ≤ x ≤ 10 0 si 10 < x ≤ 15 10. x - 150 si 15 ≤ x ≤ 25 Apuntes 1º Bachillerato CT 10

• Ejemplo 7 • Tenemos troceada la función en tres partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función cuadrática, una f. constante y una f. lineal. • Ejemplo Práctico correspondiente: • Al variar la temperatura ambiente entre -5ºC y 20ºC observamos la variación que sufre el índice de crecimiento de un determinado compuesto biológico. 2 1 • • • Crecimiento actual i = ---------------Crecimiento anterior • A iguales periodos de tiempo @ Angel Prieto Benito 3 -5 0 5 10 20 La función se expresaría así: f(x) = Apuntes 1º Bachillerato CT (3/25). x 2 si -5 ≤ x < 5 3 si 0 ≤ x ≤ 10 - 0, 3. x + 6 si 10 < x ≤ 20 11

• Ejemplo 8 de función definida a trozos • • Lo que cobra Correos por el envío postal de un paquete depende, fundamentalmente del peso en gramos. Si, por ejemplo, por un paquete de 399, 99 g nos cobran 4 €, por otro de 400 g nos llevarían 6 €. Por muy pequeño que sea el incremento de peso, el incremento de precio puede ser muy notable si nos movemos cerca de puntos que presentan una discontinuidad. P = f (p) en € 10 6 4 2 1 p 0 100 @ Angel Prieto Benito 200 400 Apuntes 1º Bachillerato CT 700 peso en g 12

FUNCIONES TROCEADAS • • • EJEMPLO 1 Representa gráficamente la función: x+2 , si x < – 1 Sea f(x) = – 2. x 2 + 4 , si x > – 1 • • A la izquierda de x = - 1 es una función lineal Tabla: x = – 2 y = 0 , , x = – 1 y = 1 Se dibujaría en el intervalo de definición (– oo , – 1). • • A la derecha de x = - 1 es una función cuadrática: Parábola convexa. Vértice: Vx = – b/2. a = – 0 /2. (-2) = 0 Vy = - 2. 0 + 4 = 4 Tabla: x = – 1 y = - 2. 1 + 4 = 2 , , x = 1 y = 2 Se dibujaría en el intervalo de definición (– 1 , +oo). @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 13

4 … EJEMPLO 1 x– 2 , si x < – 1 f(x) = – 2. x 2 + 4 , si x > – 1 1 2 3 • • -1 0 1 -2 -1 -2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 14

• • EJEMPLO 2 Representa gráficamente la función: • • A la izquierda de x=3 es una función cuadrática. Parábola cóncava. Vértice: Vx = – b/2. a = – (-4) /2. 1 = 2 Vy = (2)2 – 4. (2) + 3 = – 1 Tabla: x = 1 y = 0 , , x = 3 y = 0 • • • A la derecha de x =3 la función es exponencial. Con exponente negativo (luego decreciente). Traslación vertical hacia arriba. La asíntota horizontal es: lim [x oo] f(x)= (1/oo)+1 = 0 + 1= 1 Tabla: x = 3 y = 1, 125 , , x = 4 y = 1, 0625 , , x = 8 y = 1, 03125 Sea f(x) = x 2 – 4 x + 3 , si 2 –x + 1 @ Angel Prieto Benito x ≤ 3 , si x > 3 Apuntes 1º Bachillerato CT 15

4 x 2 – 4 x + 3 , si x ≤ 3 Sea f(x) = 2 –x + 1 , si x > 3 1 2 • • • … EJEMPLO 2 3 • 0 1 2 3 4 -2 -1 -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 16

• • • EJEMPLO 3 Representa gráficamente la función: 2. x – 2 , si x < 1 Sea f(x) = x 2 – x , si 1 ≤ x < 2 2 --- + 1 , si x > 2 x • • • En el intervalo (1 , 2) es una función cuadrática: Parábola cóncava. Vértice: Vx = – b/2. a = – (-1) /2. 1 = 1/2 Vy = (1/2)2 – ½ = – 0, 25 Tabla: x = 1 y = 0 , , x = 2 y = 4 – 2 = 2 • • • A la derecha de x = 2 la función es una hipérbola. La asíntota vertical es x=0, queda fuera del intervalo. Traslación vertical hacia arriba. La asíntota horizontal es: lim [x oo] f(x)= (2/oo)+1 = 0 + 1= 1 Tabla: x = 2 y = 2 , , x = 4 y = 1, 5 , , x = 8 y = 1, 25 A la izquierda de x=1 es una función lineal Tabla: x = 0 y = – 2 , , x = 1 y = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 17

4 3 … EJEMPLO 3 2. x – 2 Sea f(x) = x 2 – x 2 --- + 1 x 1 2 , si x < 1 , si 1 ≤ x < 2 , si x > 2 1 2 • • • 0 3 4 -2 -1 -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 18