Lezione 4 Cenni di relativit speciale trasformazioni di

Lezione 4 • Cenni di relatività speciale: trasformazioni di Lorentz, invarianti di Lorentz, variabili di Mandelstam, relazioni fondamentali: massa, impulso, energia • Esercizi • Sistema di riferimento del c. m. e laboratorio

Relatività speciale (cenni) n n Perchè è necessaria la relatività speciale per descrivere le particelle elementari? Perchè le particelle sono soggette a reazioni in cui vengono create o distrutte, pertanto la loro energia di massa fa parte del bilancio energetico globale Perchè in genere le particelle quando vengono accelerate dagli acceleratori hanno velocità elevate (v ~ c). In tale situazione la meccanica classica non è più applicabile.

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz Einstein (1905): 1) le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento di Lorentz, cioè in moto relativo traslatorio uniforme; 2) la velocità della luce c è indipendente dal sistema di riferimento. Pertanto non solo le coordinate spaziali si modificano passando da un S. R. all’altro, ma anche quelle temporali: t’ ≠ t poichè c’ = c: un lampo di luce emesso allo stesso istante t 0=t 0’=0 dall’origine di S. R. e S. R. ’ (O≡O’ a t 0=t 0’=0), raggiungerà un punto P per i due osservatori a tempi diversi: c 2 t 2 = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 per S. R. c 2 t’ 2 = r’ 2 = x'2 + y’ 2 + z’ 2 per S. R. ’ La velocità della luce è la massima esistente in natura (pari a circa 300000 Km/s) Nessuna interazione è istantanea

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz Se il sistema di riferimento S. R. ’ si muove parallelamente all’asse z di S. R. con velocità v= bc, le coordinate rispetto a S. R. ’ di un punto dello spazio-tempo sono legate a quelle rispetto a S. R. dalle trasformazioni di Lorentz: Se differenziamo dx’, dy’ e dz’ e dt’ e ne facciamo i rapporti, che ci forniscono la velocità v 0’del punto P nel sistema S. R. ’: si ottengono le trasformate per le velocità, che nel caso particolare v 0=c, forniscono c’=c. N. B. Nel caso particolare v<<c si ha b~0 g~1 e si ritrovano le trasformate di Galileo (in particolare l’uguaglianza tra i tempi nei due sistemi di riferimento: t’=t)

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI Le coordinate spazio-temporali di un punto possono essere considerate come le quattro componenti di un quadri-vettore: x = ( ct, x, y, z ) x 0 = ct x 1 = x x 2 = y x 3 = z Il vettore x è chiamato “vettore controvariante” Il tensore metrico g n cosi definito: dove: g n g s = dns dn s= 1 se n = s 0 se n ≠ s consente di passare dal vettore controvariante al vettore “covariante” x : x = ( ct, -x, -y, -z) x = g n xn

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI (continua) Le coordinate spazio-temporali del punto in un nuovo sistema che si muove con velocità bc rispetto al precedente sono legate a quelle nel vecchio sistema dalle trasformazioni di Lorentz, che possono essere cosi riscritte, adoperando una notazione matriciale: x’ = L n xn

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI (continua) Per definizione, un insieme A di quattro quantità che, nel passaggio tra due S. R. di Lorentz, si trasformi come x viene chiamato quadri-vettore. Anche l’energia e l’impulso formano un quadrivettore: p = ( E/c, px, py, pz ) p’ = L n pn Ponendo c = 1, il quadrimpulso diventa: p = ( E, px, py, pz ) Se il sistema di riferimento S. R. è quello in cui la particella è a riposo, avremo: px = 0 py = 0 pz = 0 E=m (m=massa a riposo) In un sistema S. R. ’ in moto con velocità –b lungo z rispetto ad esso, la particella avrà il seguente quadrimpulso: px’ = 0 py’ = 0 pz’ = gb m E’ = g m

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI (continua) Anche le derivate temporale e spaziali possono formare un quadrivettore covariante: ∂ = ( 1/c ∂/ ∂t , ) (c=1) ∂ = ( ∂/ ∂t , ) e il corrispondente controvariante sarà il vettore: ∂ = ( ∂/ ∂t , - )

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz INVARIANTI DI LORENTZ Lo scalare di Lorentz è una quantità che rimane invariata per trasformazioni di Lorentz. Esso è ottenibile dal prodotto scalare tra due quadri-vettori: A = ( A 0, Ax, Ay, Az) B = ( B 0, Bx, By, Bz) A · B = A B = g n A Bn = = A 0 B 0 - Ax B x - Ay B y - Az B z = = A 0 B 0 - A B

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ Quadrato del quadrivettore spazio-tempo di un evento situato in x s 2=x x = g n x xn = (ct)2 – r 2 = 0 x=-ct ct x=ct FUTURO x O PASSATO Il cono luce delimitato dalle rette x=± ct rappresenta la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O (t=0, x=0) può andare nel futuro o dalla quale può essere provenuto dal passato.

Consideriamo due eventi nello spazio tempo x 1 e x 2 di cui facciamo il quadrato: s 122= c 2 (t 1 – t 2)2 – ( r 1 – r 2 )2 Se ( r 1 – r 2 )2 = c 2 (t 1 – t 2)2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga alla velocità della luce, cioè tra di essi vi può essere una relazione di causa-effetto. Se i due punti distano in modo tale che: ( r 1 – r 2 )2 > c 2 (t 1 – t 2)2 ciò significa che i due punti non potranno mai essere collegati da un segnale, perchè questo dovrebbe propagarsi a velocità superiore a quella della luce, cioè tra di essi non vi potrà mai essere una relazione di causa-effetto. Se i due punti distano in modo tale che: ( r 1 – r 2 )2 < c 2 (t 1 – t 2)2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga a velocità inferiore a quella della luce, cioè tra di essi vi potrà essere una relazione di causa -effetto. Essendo s 12 uno scalare e quindi un invariante, il segno di tale quantità sarà lo stesso in tutti i sistemi di riferimento e pertanto, se due eventi sono in relazione di causa-effetto in un sistema essi lo saranno anche in tutti gli altri.

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ (continua) Quadrato del quadri-impulso: p 2 = E 2 – p 2 Essendo questa quantità un’invariante di Lorentz, possiamo calcolarla nel sistema di riferimento in cui la particella è in quiete, nel quale valgono le seguenti relazioni: p=0 E=m Pertanto in qualunque sistema avremo: p 2 = E 2 – p 2 = m 2 Quadrato dell’operatore quadri-gradiente: ∂ = ( ∂/ ∂t , - ) = ∂ ∂ = ∂2/ ∂t 2 - 2 ) DALAMBERTIANO

Relatività speciale - Cinematica CONSERVAZIONE DEL QUADRIMPULSO TOTALE In un sistema di due (o più) particelle interagenti, le particelle prodotte nello stato finale devono avere un quadrimpulso totale uguale a quello iniziale. 3 1 4 2 =0 n conservazione dell’energia totale = 1, 2, 3 conservazione delle tre componenti dell’impulso

Relatività speciale - Cinematica SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL LABORATORIO È il sistema nel quale la particella bersaglio (2 ad es. ) è a riposo e la particella proiettile è in movimento (1 ad es. ): Supponiamo di avere solo due particelle uscenti (3 e 4). I loro quadrimpulsi: dovranno soddisfare alle relazioni:

Relatività speciale - Cinematica (continua) SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA È il sistema nel quale le particelle iniziali (e quindi anche finali) hanno impulso totale nullo. Pertanto le due particelle iniziali hanno tri-impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso: Le loro energie saranno invece diverse: Le due particelle uscenti 3 e 4 dovranno avere quadrimpulsi ed energie: che soddisfano alla seguente relazione:

Relatività speciale - Cinematica (continua) INVARIANTI CINEMATICI Per ovviare al problema dovuto al fatto che in ogni sistema di riferimento i quadrimpulsi e le relazioni cinematiche tra essi sono differenti, si possono introdurre delle quantità invarianti, che hanno lo stesso valore in ogni sistema. Prendiamo la reazione 1+2 3+4 p 1 1 3 p 2 2 4 p 4

Relatività speciale - Cinematica (continua) INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM Le seguenti quantità sono invarianti cinematici (uguali in ogni S. R. ): s = ( p 1 + p 2 )2 = ( p 3 + p 4 )2 t = ( p 1 - p 3 )2 = ( p 2 - p 4 )2 VARIABILI DI MANDELSTAM u = ( p 1 - p 4 )2 = ( p 2 - p 3 )2 p 3 p 1 p 2 s p 1 p 3 t p 4 p 2 p 4 p 3 p 1 p 2 u p 4

Relatività speciale - Cinematica (continua) INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM Nel sistema del CM avremo: s = ( p 1* + p 2*)2 = ENERGIA TOTALE NEL C. M. = (E 1* + E 2*)2 - ( p* - p*)2 = (E 1* + E 2*)2 s = ( p 3* + p 4*)2 = (E 3* + E 4*)2 Solo due di essi sono linearmente indipendenti in quanto essi sono legati dalla relazione: s+t+u = (p 1 + p 2)2 + (p 1 - p 3)2 + (p 1 + p 4)2 = = p 1 2 + p 2 2 + 2 p 1 p 2 + p 1 2 + p 3 2 - 2 p 1 p 3 + p 1 2 + p 4 2 - 2 p 1 p 4 = = (p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 + p 4 2) + 2 ( p 1 + p 2 ) - p 1 ( p 3 + p 4 )) = ma: p 1 + p 2 = p 3 + p 4 s + t + u = m 12+m 22+m 32+m 42

n. ATTENZIONE DEVI AGGIUNGERE UNA TRASPARENZA LEZIONE 4_NEW 1 settimana

Relatività speciale- La dilatazione dei tempi Come conseguenza delle trasformate di Lorentz si ha il fatto che gli intervalli di tempo cambiano da un sistema di riferimento all’altro. Questo è particolarmente evidente nel decadimento di una particella in volo. Se t la sua vita media quando essa è a riposo, quando si muove di velocità v decadrà rispetto all’osservatore del laboratorio con una vita media t’: t’ = g t Poichè g > 1, ciò significa che nel sistema in cui la particella si muove, essa verrà vista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioè al tempo di decadimento nel sistema in cui è a riposo). Consideriamo ad esempio il muone che ha t = 2. 2 ms. Se esso possiede un’energia di 50 Ge. V, la sua vita media misurata in laboratorio sarà: t’ = g t = t E/ (mc 2) = t × 50 Ge. V/(0. 106 Ge. V) = = 500 t = 1100 s =1. 1 ms

Due piccoli accorgimenti per fare dei calcoli: 1) ħc = hc/(2 p) = 1. 055 10 -34 J s × 3 × 10 8 m s-1 = ~ 3. × 10 -26 J m Come abbiamo visto prima: 1 e. V = 1. 602 × 10 -19 J => 1 J = 1 e. V / (1. 602 × 10 -19 ) = 0. 624 × 1019 e. V Dunque: ħc = 3. × 10 -26 J m = 3 × 10 -26 × 0. 624 × 1019 e. V m = = 1. 9 × 10 -7 e. V m = 1. 9 × 10 -7 × 10 -6 e. V × 10 15 fm = = 1. 9 × 10 2 Me. V fm ~ 200 Me. V fm N. B. 1 fm = 10 -15 m 2) a = e 2 / ħc = 1/137 (costante di struttura fine adimensionale) => e 2 = ħc a = 200 Me. V fm 1/137 = 1. 44 Me. V fm

Esempio: n Calcolare l’impulso di un pione avente un’energia cinetica di 200 Me. V T = E – m => E = T + m = 200 Me. V + 135 Me. V = 235 Me. V n Calcolare l’energia cinetica di un protone avente un impulso di 5 Me. V/c E = [p 2 + m 2]½ = [ 5 Me. V 2 + (938. 56 Me. V)2]½ = = [ 25. Me. V 2 + 88. × 104 Me. V 2 ]½ ~ 9. 39 × 102 Me. V T = E – m = 9. 39 × 102 Me. V - 938. 56 Me. V = = 0. 0133 Me. V = 1. 33 × 10 -2 Me. V N. B. Poichè (pc)<< mc 2 possiamo anche applicare la formula classica: T = p 2 / 2 m = (5 Me. V)2 / (2 × 938. 56 Me. V) = = 25. Me. V 2/(1. 877 × 103 Me. V) = 1. 33 × 10 -2 Me. V

n Calcolare l’impulso di un kaone avente energia cinetica 1 Ge. V m = 493. 6 Me. V/c 2 E = T + m = 1 Ge. V + 0. 493 Ge. V = 1. 493 Ge. V E = [p 2 + m 2 ]1/2 p 2 = E 2 - m 2 = (1. 493 Ge. V)2 – (0. 4936 Ge. V)2 = = 2. 229 Ge. V 2 - 0. 244 Ge. V 2 = 1. 985 Ge. V 2 p = (1. 985 Ge. V 2 ) = 1. 41 Ge. V/c