Inynieria Chemiczna i Procesowa Procesy Mechaniczne Przepyw pynw

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Procesy Mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych c. d. Płyny rzeczywiste Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Omówimy przepływ płynu oraz siły jakie działają na płyn podczas przepływu. Aby opisać przepływ płynu musimy scharakteryzować jego własności tj. prędkość, w czasie i przestrzeni. Musimy wybrać układ odniesienia: Nieruchomy układ odniesienia Podejście Eulera Układ odniesienia poruszający się wraz z płynem Podejście Lagrangea Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Znajomość prędkości płynu w funkcji położenia i czasu Pozwala na wyznaczenie gradientów prędkości naprężeń i sił pojawiających się w płynie podczas przepływu. W czasie t cząstka płynu jest w pozycji określonej wektorem r (x 1, y 1, z 1) W czasie t + dt cząstka przesuwa się w położenie r + dr (x 2, y 2, z 2) Prędkość elementu płynu jest wyrażona miarą zmiany położenia w czasie. Prędkość Jest wektorem ma wartość i kierunek: Wektory jednostkowe Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa W ujęciu Eulera każdemu punktowi przestrzeni można przypisać wartość prędkości Jeżeli dx, dy, dz 0 to otrzymamy prędkość W punkcie: Kiedy znana jest prędkość w każdym punkcie układu to można wyznaczyć wartość prędkości średniej: strumień i strumień masowy: wektor normalny do powierzchni Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Znając wektor prędkości płynu możemy wyznaczyć wektor przyspieszenia a. Przyśpieszenie jest miarą zmiany prędkości: różniczka zupełna: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Gdy znana jest wartość prędkości to istnieje kilka metod jej prezentacji linie prądu – fluid stream lines linie do której w każdym punkcie wektor prędkości jest prostopadły. Dla przepływu ustalonego element płynu porusza się wzdłuż linii prądu. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przykład. Dla przepływu dwuwymiarowego opisanego równaniami. Wyznaczyć równanie linii prądu. podstawiamy rówania do równania na linie prądu całkujemy równanie Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa linie prądu dla różnych wartości stałej C Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa 1) Lepkość Przepływowi płynu rzeczywistego towarzyszą straty energii. Występują one również podczas przepływu przewodami o zupełnie gładkich ścianach. Straty te występują nie tylko z powodu tarcia o ścianki przewodu ale na skutek tarcia wewnętrznego płynu zwanego lepkością. Zjawisko to polega na tym iż dla podtrzymania gradientu prędkości niezbędne jest przyłożenie siły ścinającej Fx do powierzchni S Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Doświadczenie wykazuje że naprężenie styczne: Jest tym większe im większy jest gradient prędkości. Zależność tą przedstawia równanie lepkości Newtona Współczynnik proporcjonalności μ nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości (lepkość dynamiczna). Dla większości płynów współczynnik lepkości μ nie zależy od wielkości naprężenia stycznego płyny Newtonowskie Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wszystkie płyny nie spełniające zależności Newtona to płyny nie newtonowskie. Do grupy tej należą różnego rodzaju układy dyspersyjne np. . Zawiesiny, pasty, roztwory koloidalne itp. Zajmuje się nimi reologia tj. nauka o odkształceniach i przepływie materiałów. Jednostkę lepkości dynamicznej w układzie SI jest [kg / m *s] [ Pa * s ] Istnieje jednostka zwana puazem – operuje się jednostkami 100 mniejszymi czyli centipuazem (c. P). Lepkość wody w 20 C jest niemal równa 1 c. P. Dzieląc Wartość lepkości wyrażoną w c. P przez 1000 otrzymamy lepkość wyrażoną w [Pa s] Stosunek lepkości dynamicznej do gęstości płynu ρ, jest określany mianem lepkości kinematycznej: Miano w SI [m 2/s] – stosuje się też 1 stoks = 1 cm 2/s Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa 2) Różniczkowy bilans pędu. Równanie ruchu. Równanie Naviera - Stokesa Równanie ruchu płynu wynika z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyraża różniczkowy bilans sił i pędu dla wybranej objętości kontrolnej w płynie. Na element różniczkowy o krawędziach dx, dy, dz działają 3 siły: ciężkości, parcia i tarcia wewnętrznego. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozpatrzmy siły działające na kierunku osi x: Siła ciężkości: Siła parcia: Na ściankę działa parcie Na przeciwległą ściankę działa parcie Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wypadkowa tych obu parć wynosi: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Siły tarcia wewnętrznego: Siła działająca na ściankę: i na ściankę przeciwległą: ( gdyby prędkość ux zależała tylko od wartości y płaski ruch cieczy) Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wypadkowa tych sił: Stosownie do równania lepkości Uwzględniając to i różniczkując: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ruch cieczy nie jest „płaski”, prędkość ux może zmieniać się w każdym z kierunków współrzędnych. Stąd sumując wszystkie siły pochodzące od tarcia wewnętrznego (dla kierunku x) otrzymamy: Stąd suma wszystkich sił dla kierunku x : Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Zgodnie z drugim prawem Newtona, suma tych sił jest równa iloczynowi masy elementu i jego przyspieszenia w kierunku osi x. Przy określaniu przyśpieszania należy uwzględnić fakt iż ux jest funkcją położenia i czasu: Stąd różniczka prędkości: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Stąd przyśpieszenie: Uwzględniając masę elementu otrzymamy iloczyn masy i przyspieszenia: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa przyśpieszenie elementy płynu masa elementu płynu Ostatecznie: Gdzie ν to lepkość kinematyczna. Analogiczne równania można zapisać dla osi y i z Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Lub stosując pojęcie pochodnej wędrownej: RÓWNANIE NAVIERA - STOKESA Równanie to opisuje w pełni przepływ lepkiego płynu Newtonowskiego. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Dla płynów doskonałych, tj. nie lepkich, które cechuje brak naprężeń stycznych równanie ruchu sprowadza się do : Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów doskonałych otrzymane przez Eulera w 1755 r. Całkowanie równania Eulera dla ruchu ustalonego prowadzi do równania: Bernoulliego. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przepływ izotermiczny płynu nieściśliwego opisany jest czterema równaniami: Równaniem ciągłości Wektorowym równaniem ruchu dla trzech składowych. Celem rozwiązania jest wyznaczenie wartości ciśnienia i trzech składowych prędkości w dowolnym punkcie obszaru przepływu. Ilość niewidomych jest równa ilości równań różniczkowych a więc istnieje możliwość analitycznego rozwiązania problemu. W praktyce możliwe jest tylko dla prostych układów geometrycznych. Dla układów bardziej skomplikowanych stosuje się metody numeryczne CFD (Computational Fluid Dynamics) W celu znalezienia rozwiązania wykorzystujemy warunki brzegowe sformułowane na podstawie fizycznego opisu zjawiska. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przykładowe wyniki obliczeń CFD: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozpatrzmy je dla przepływu cieczy w kanale: (*) Płyn nie może penetrować w głąb ciała stałego: Warstwa płynu bezpośrednio przylegająca do ścianki jest względem niej nieruchoma w wyniku działania sił adhezji. (*) Zachowana symetria i ciągłość Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przykład 1. Zastosowanie równania ruchu do rozwiązania zagadnień przepływowych Spływ warstwy cieczy po nachylonej płaskiej powierzchni: Wykorzystamy równanie N-S. Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Użyjemy współrzędnych prostokątnych Jest to ruch płaski uwarstwiony i ustalony więc: Równanie dla składowej x: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Składowa x przyśpieszenia ziemskiego g : Teraz z równania ciągłości: Które dla rozpatrywanego przypadku upraszcza się do: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Równanie ruchu dla tego przypadku sprowadza się do: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Dostaliśmy równanie różniczkowe : Warunki brzegowe: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozwiązujemy równanie przez scałkowanie, pierwszy raz: Wykorzystujemy pierwszy warunek brzegowy do wyznaczenia C 1: Następnie całkujemy równanie ponownie i korzystamy z drugiego warunku brzegowego: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Prędkość maksymalna dla y=0 : Wprowadźmy definicję prędkości średniej jako średnia całkowa: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Natężenie objętościowe przepływu na jednostkę szerokości warstwy można obliczyć: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przykład 2. Ustalony laminarny przepływ płynu nieściśliwego rura o przekroju kołowym o promieniu R pod wpływem gradientu ciśnienia DP/L Najlepiej operować układem współrzędnych cylindrycznych Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Równanie N-S w układzie cylindrycznym: Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wiemy że przepływ jest ustalony a więc wszystkie pochodne czasowe się zerują Płyn jest nieściśliwy a więc gęstość jest stała. Pomijamy efekty wlotowe ( rura jest dużo dłuższa niż jej średnica) przepływ jest jedno kierunkowy: Równanie ciągłości w układzie cylindrycznym: a więc prędkość na kierunku z nie zależy od z a tylko od r Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Składowa Vr Składowa Vq Składowa Vz Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa całkujemy czyli : całkujemy dla r=R Vz = 0 Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Inżynieria Chemiczna i Procesowa przepływ o profilu parabolicznym z maksimum dla r=0 prawo Hagena - Poiseuille’a Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych