Inteligencja Obliczeniowa Zbiory rozmyte modelowanie wiedzy Wykad 17

Inteligencja Obliczeniowa Zbiory rozmyte, modelowanie wiedzy. Wykład 17 Włodzisław Duch, Google: Duch Uniwersytet Mikołaja Kopernika

Co było • Samoorganizacja • Sieci Kohonena • Wizualizacja - MDS

Co będzie • • Zbiory rozmyte, operacje na zbiorach Liczby i operatory rozmyte Wnioskowanie rozmyte Uczenie się reguł rozmytych Rozmywanie danych wejściowych Rozmyta klasteryzacja Zastosowania

Podstawowe pojęcia • Problemy złożone trudno jest analizować precyzyjnie • Wiedza eksperta w złożonych przypadkach daje się opisać w rozmyty sposób, np. Jeśli wiatr jest bardzo silny i stół jest bardzo lekki i stół jest przymocowany słabo to stół odfrunie w siną dal. Logika/systemy rozmyte obejmują: Matematykę zbiorów i logiki rozmytej Rozmytą reprezentację i przetwarzanie wiedzy do klasyfikacji, regresji i klasteryzacji. Uczenie funkcji przynależności i reguł logicznych z danych. Metody sterownia rozmytego.

Rodzaje niepewności • Niepewność stochastyczna: Np. rzut kostką, wypadek, ryzyko ubezpieczenia - rachunek prawdop. • Niepewność pomiarowa Około 3 cm; 20 punktów - statystyka. • Niepewność informacyjna: Wiarygodny kredytobiorca, spełniający warunki - data mining. • Niepewność lingwistyczna Np. mały, szybki, niska cena - logika rozmyta

Zbiory klasyczne młody = { x M | wiek(x) 20 } Funkcja charakterystyczna młody(x) 1 0 młody(x) = A=“młody” x [lata] { 1 : wiek(x) 20 0 : wiek(x) > 20

Zbiory rozmyte X - uniwersum, zbiór uniwersalny, przestrzeń; x X A - zmienna lingwistyczna, koncepcja, zbiór rozmyty. Funkcja przynależności określa stopień, w jakim x należy do A. Zmienne lingwistyczne: sumy zbiorów rozmytych, koncepcje, predykaty logiczne o ciągłych wartościach. Stopień przynależności to nie prawdopodobieństwo - łysy w 80% to nie łysy 1 na 5 razy. Prawdopodobieństwo jest unormowane do jedynki, funkcja przynależności nie. Rozmyte pojęcia są subiektywne i zależne od kontekstu.

Przykłady Klasyczne i rozmyte pojęcie „młody człowiek” 1 0 A=“młody” =0. 8 x=20 x [lata] 1 A=“młody” 0 x=23 „Temperatura wrzenia” ma wartość około 100 stopni (ciśnienie, skład chemiczny). x [lata]

Definicje Support (baza) zbioru rozmytego A: supp(A) = { x X : A(x) > 0 } Core (jądro) zbioru rozmytego A: core(A) = { x X : A(x) =1 } a-cut (a-cięcie) zbioru rozmytego A: Aa = { x X : A(x) > a } Wysokość = max x A(x) 1 Zbiór rozmyty normalny: sup x X A(x) = 1 a=0. 6

Terminologia MF 1. 5 a 0 Core Crossover points a - cut Support X

Typy Funkcji Przynależności Trapezoid: <a, b, c, d> (x) 1 0 Gaus/Bell: N(m, s) (x) 1 a b c d x 0 s c x

Funkcje Przynależności Singleton: (a, 1) i (b, 0. 5) Trójkątna: <a, b, c> (x) 1 0 (x) 1 a b c x 0 a b x

Zmienne lingwistyczne W=20 => Wiek=młody. Zmienna lingwistyczna = wartość lingwistyczna. Zmienna lingwistyczna: : temperatura termy (zbiory rozmyte) : { zimno, ciepło, gorąco} (x) 1 0 zimno ciepło 20 gorąco 40 x [C]

Liczby rozmyte Zwykle wypukłe, unimodalne (jedno maksimum). FP często się nakrywają. Liczby: jądro = punkt, x (x)=1 Monotonicznie maleją po obu stronach jądra. Typowy wybór: trójkątne funkcje (a, b, c) lub singletony.

Suma i iloczyn zbiorów A, B - zbiory rozmyte. Suma A B to zbiór o funkcji przynależności: max można zastąpić dowolną S-normą S(a, b) która dla obu argumentów jest niemalejąca, przemienna, łączna i S(a, 0)=a, S(a, 1)=1. Iloczyn A B to zbiór o funkcji przynależności: min można zastąpić dowolną T-normą T(a, b) która dla obu argumentów jest nierosnąca, przemienna, łączna i T(a, 0)=0, T(a, 1)=a.

Przykłady Suma Iloczyn A B(x)=max{ A(x), B(x)} 1 A(x) B(x) 0 1 x A B(x)=min{1, A(x)+ B(x)} 1 0 A(x) A B(x)=min{ A(x), B(x)} B(x) 0 x A B(x)= A(x) B(x) 1 x A(x) 0 A(x) B(x) x

T-normy i S-normy Typowe normy (konormy - T względem S): T(a, b): AND(a, b), MIN(a, b), a • b, MAX(0, a+b-1). . S(a, b): OR(a, b), MAX(a, b), a+b-a • b, MIN(1, a+b). . S(a, b) = 1–T(1 -a, 1 -b) T(a, b) = 1–S(1 -a, 1 -b) max(a, b) = 1–min(1 -a, 1 -b) a • b = 1 -(1 -a)-(1 -b) + (1 -a) • (1 -b) max(0, a+b-1) = 1 -min(1, 1 -a+1 -b) Prawa De Morgana

Przykłady MIN(a, b), a • b MAX(a, b), a+b

Normy (S 1) Drastic sum: (S 2) Hamacher sum: (S 3) Dubois-Prade class: (S 4) Yagera:

Dopełnienie i podzbiór Dopełnienie A’ zbioru A to zbiór o funkcji przynależności: Zbiór rozmytych zbiorów, 2 -elementowy: zbiory klasyczne są w rogach; w środku jest zbiór najbardziej rozmyty:

Operacje na liczbach rozmytych Dodawanie: A+B(x) = max{ A(y), B(z) | x = y+z} (x) 1 A(y) B(z) A+B(x) 0 x Iloczyn: A B(x) = min{ A(y), B(z) | x = y z} (x) 1 0 A(y) B(z) A B(x) x

Operacje na zm. lingwistycznych Koncentracja: Con(A) = A 2 Spłaszczenie: Dil(A) = A 0. 5 Intensyfikacja kontrastu:

Rozmyte funkcje Mamy zbiór rozmyty A i funkcję f : Jak wygląda f(A)? yy Dla dowolnej funkcji f: f(A)(y) = max{ A(x) | y=f(x)} f(A) (y) f(A)(y) ff A(x ) (x) A max x x

Funkcja Jeśli y=f(x), i x=a to y=b. Dla punktów - krzywa dla interwałów - pasmo. y y b b y = f(x) a x

Iloczyn Kartezjański Jeśli zbiór A z uniwersum X 1 i FP A i zbiór B względem uniwersum X 2 i FP B to A x B jest iloczynem kartezjańskim A i B w uniwersum X 1 x X 2 iff (x 1, x 2) X 1 x X 2 : Ax. B (x 1, x 2) = T( A (x 1), B (x 2))

Rozmyte relacje • Relacje klasyczne R X Y def: • Relacje rozmyte R X Y def: R(x, y) = 1 iff (x, y) R { 0 iff (x, y) R R(x, y) [0, 1] R(x, y) opisuje stopień powiązania x i y Inna interpretacja: stopień prawdziwości zdania x R y

Rozszerzenie/projekcje • Dodanie nowego wymiaru (cylindryczne rozszerzenie).

Przykłady rozmytych relacji Bliskie: X Y; X zależy od Y; X podobne do Y. . . X = { deszczowo, pochmurnie, słonecznie } Y = { opalanie, wrotki, kamping, lektura } X/Y deszczowo pochmurnie słonecznie opalanie wrotki kamping lektura 0. 0 0. 2 0. 0 1. 0 0. 8 0. 3 1. 0 0. 2 0. 7 0. 0 Stopień? Tu bardziej prawdopodobieństwo lub korelacje.

Reguły rozmyte Wiedzę potoczną można często zapisać w naturalny sposób za pomocą reguł rozmytych. Jeśli zm. lingw-1 = term-1 i zm. lingw-2 = term-2 to zm. lingw-3 = term-3 Jeśli Temperatura = zimno i cena ogrzewania = niska to grzanie = mocno Co oznacza reguła rozmyta: Jeśli x jest A to y jest B ?