FOURIEROVI REDOVI POLINOMI I INTEGRALI Vedrana Grozdani UVOD

FOURIEROVI REDOVI, POLINOMI I INTEGRALI Vedrana Grozdanić

UVOD • Fourierov red je jedan od najvažnijih alata za rješavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi • Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 -1830), francuski fizičar i matematičar, uveo je u analizu Fourierov red i Fourierov integral - prikaz funkcije u terminima trigonometrijskih funkcija • Fourierov red je svaki izraz oblika:

FOURIEROVI REDOVI, OSNOVNI REZULTATI Fourierov polinom je izraz sljedećeg oblika: koji se može pisati i kao: Konstante a 0, ak i bk, k = 1, . . . , n reda Fn(x). Tada su: zovu se koeficijentima

Primjer 1: Slikoviti prikaz razvoja funkcije f(x)=x u Fourierov red

Primjer 2: Slikoviti prikaz razvoja funkcije u Fourierov red

Definirali smo Fourierove redove za funkcije koje su - 2 p periodične, kako bi napravili slično za funkcije koje su L-periodične? ? ? Neka je f funkcija koja je definirana i integrabilna na intervalu [-L, L] tada je Fourierov red od f(t): Gdje je

Primjer 3: Slikoviti prikaz razvoja funkcije u Fourierov red

FOURIEROVI REDOVI PO SINUSIMA I KOSINUSIMA Neka su f(x), f 1(x) i f 2(x) definirane na sljedeći način: Neka je f(x) funkcija definirana i integrabilna na intervalu i neka je: Tada je f 1 neparna a f 2 parna Fourierov red funkcije f 1(x) se naziva Fourierovim redom po sinusima funkcije f(x): Fourierov red funkcije f 2(x) se naziva Fourierovim redom po kosinusima funkcije f(x):

Primjer 4: Fourierov red po kosinusima funkcije f(x) = x za

Primjer 5: Fourierov red po sinusima funkcije f(x) = 1 za

Primjer 6: Fourierov red po sinusima funkcije za

KONVERGENCIJA FOURIEROVOG REDA Ako je funkcija f neprekidna, onda njezin Fouriereov red konvergira u svakoj točki iz vrijednosti funkcije u toj točki: Ako funkcija ima prekid prve vrste na i to k tada za svaki niz Fourierovih parcijalnih suma konvergira u aritmetičku sredinu Oznake su: i kada n teži .

GIBBSOV FENOMEN • Osnovni teorem konvergencije Fourierovih redova kaže da red konvergira u f(x) osim u točki x 0 = 0, kao točki prekida f(x) • Gibbs se zainteresirao za ponašanje niza suma baš u okolici te točke • Kada se x približi 0, graf parcijalnih suma prezentira "skok" • "skokovi" u blizini nule ponašaju se kao valovi visine 0, 18

Slikoviti prikaz Gibbsovog fenomena

• uvodimo novi koncept - s aproksimacija Neka je f(x) funkcija koja je glatka na čitavom Intervalu i f. N(x) njena Fourierova parcijalna suma Uvodimo: gdje je: Sume su vrlo dobro aproksimirale funkciju f(x) Na grafu više ne možemo uočiti Gibbsov fenomen

Primjena s - aproksimacije

PRIMJENA FOURIEROVIH REDOVA ZA RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI Osvrnut ćemo se na jednadžbe sljedećeg oblika: y(n) + an-1 y(n-1) +. . . . + a 1 y' + a 0 y = f(x), Kompleksni oblik Fourierovog reda 2 p periodičnih funkcija: gdje je Veza sa realnim Fourierovim koeficijentima: za

Primjer: Treba naći periodična rješenja diferencijalne jednadžbe: y' + 2 y = f(x), gdje je f(x) 2 p -periodična funkcija. Rješenje: Neka je y bilo koje 2 p -periodično rješenje diferencijalne jednadžbe. Pretpostavimo: Tada iz diferencijalne jednadžbe dobivamo: slijedi:

HVALA NA PAŽNJI !!!!!!!!!!!!!!!!! ?