SINIRSIZ BELRSZ NTEGRAL Bir fonksiyonun trevinin nasl alndn

SINIRSIZ (BELİRSİZ) İNTEGRAL Bir fonksiyonun türevinin nasıl alındığını biliyoruz. Bu bölümde türevi alınmış bir fonksiyonun ilkelinin (önceki halinin) nasıl bulunacağını inceleyeceğiz. Yapacağımız bu işleme İNTEGRAL ALMA veya fonksiyonun ilkelini bulma işlemi denir. Bu işlem türev alma işleminin tersidir.

TANIM: Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x). dx oln F(x) ifadesine f(x) in belirsiz (sınırsız) integrali denir. ∫ f(x) d(x) = F(x) şeklinde gösterilir. y=x 2 ise y 1 =2 x y=x 2+10 ise y 1 = 2 x y=x 2 -64 ise y 1 = 2 x Bu türevleri tersinden düşünelim. Y 1=dy/dx=2 x ise dy = 2 x. dx Her iki tarafın integralini alalım. ∫ dy = ∫ 2 x. dx ise y = x 2+c

Yukarıda üç ayrı fonksiyonun türevi alındığında tek bir fonksiyon elde edildiğini (sabitin türevi sıfır olduğundan) biliyoruz. Bu türevi alınmış fonksiyonlar integralleri alındığında aynı fonksiyonu elde edebilmek için C sabitinin olduğunu düşünmek zorundayız. Tamamen keyfi bir değer olan bu C sabitine integral sabiti denir.

Demek ki ∫ f(x) d(x) integralin hesaplanması türevi f(x) olan fonksiyonun bulunmasıdır. O halde belirsiz integrallerde mutlaka bir integral sabitinin var olduğunu unutmamalıyız. ÖRNEK: F’(x) = 2 x ve f(2) = 5 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.

ÇÖZÜM: f’(x) = dy/dx = 2 x dy = 2 x, dx ∫ dy = ∫ 2 x. dx y = x 2+c y = f(x) = x 2+c ise f(2) = 22+c = 5 c = 1 O halde f(x) x 2 +1 denir.

x y=2 x+2 y=2 x+1 y=2 x-1 y=2 x-2 ------

Tanımda Türev ile integral işlemleri birbirlerinin tersidir demiştik. Bunu biraz açıklayalım. y = f(x) ‘in türevi f’(x) = dy /dx = df /dx = d/dx f(x) dir. f(x) = ∫ f’(x)dx = ∫ d/dx f(x). Dx = ∫ d f(x) = ∫ dy dir. Buna göre ; ∫ dy = y+c ∫ dz = z+c ∫ d f(x) = f(x) + c ∫ dθ = θ + c

BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ ∫ f(x) dx = F(x) +c belirsiz integralin tanımından aşağıdaki özellikler vardır. 1. d ∫ f(x). dx = f(x). dx d ∫ f(x) dx = d F(x)+c] = d/dx [F(x)+c)]. dx = F’(x). dx = f(x). dx 2. D/dx [∫ f(x)dx)] = ∫ [d/dx f(x)] dx = f(x) d/dx (f) türevi ile ∫ işlemi birbirinin tersi olduğundan dolayı etkisiz elemanı oluştururlar; dolayısıyla f(x) fonksiyonuna hiçbir etkide bulunmaz.

3. ∫ d. F(x) = F(x)+c ∫ d F(x) = ∫ F’ (x) = ∫ f(x) dx = F(x)+c 4. Sabit bir çarpan integral dışına çıkabilir. ∫ a f(x)dx = a ∫ f(x)dx dir. 5. İntegral operatörü dağılma özelliğine sahiptir. ∫ [F(x)+g(x)-h(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx - ∫ h(x)dx

ÖRNEK 1 : f(x) = ∫ d(x 2 – 2) ise f(3) ün değeri nedir? ÇÖZÜM : tanıma göre f(x) = x 2 – 2 f’ (x) = 2 x f’ (3) = 2. 3=6

İNTEGRAL ALMA KURALLARI İntegral alma işlemi yapılırken integral operatörü altında bulunan fonksiyon acaba hangi ilkel fonksiyonun türevidir düşüncesinden hareket edilerek yapılmalıdır.

1. ∫ xn dx = xn+1/n+1 + c, n z+ Ör: ∫ x 4 dx = x 5 / 5 + c 2. ∫ f’ (x) / f(x) dx = 1 n |x| + c Ör: ∫ 2 x – 3 / x 2 – 3 x + 7 dx = 1 n |x 2 – 3 x+7|+c 1. ∫ amx+n dx = amx+n /m. 1 na + C a, m, n R+ ∫ ex dx = ex + c Ör: ∫ 52 x+3 dx = 52 x+3 / 2. 1 n 5 + C ∫ (3 x – x 3) dx = 3 x /1 n 3 – x 4 / 4 + c

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ U x’e bağlı bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki formüllerin bilinmesi gerekir. 4. ∫ sinx dx = -cosx + c 5. ∫ cosx dx = sinx + c 6. ∫ dx / cos 2 x = ∫ (1+tan 2 x)dx = ∫ secx dx = tanx + c 7. ∫ dx / sin 2 x = ∫ (1+cotan 2 x)dx = ∫ cosecx dx = -cotanx + c 8. ∫ dx / 1 -x 2 n = arcsinx + c 1 = -arccosx + c 2 9. ∫ dx / 1+x 2 = arctanx + c 1 = -arccotanx + c 2

ALIŞTIRMALAR 1. ∫ sin 2 x dx = -1/2 cos 2 x + c 2. ∫ sin(3 x+4)dx = -cos(3 x+4). 1/3 + c 3. ∫ cos 3 x dx = 1/3 sin 3 x + c

BASİT DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMLERİ Göstermiş olduğumuz integral alma kuralına benzemeyen fonksiyonları değişken değiştirerek bu formüllere benzetilip daha sonra integrallerini alacağız. ÖRNEKLER: 1. ∫ (x 3 -2 x)5 (3 x 2 -2)dx ∫ u 5. du = u 6/6 + c = 1/6 (x 3 -2 x)6 + c [u = x 3 -2 x dersek du =(3 x 2 -2) dx dir]

2. ∫ ex²-2 x+1. (x-1)dx = 1/2 ∫ eu du = ½ eu+c = ½ ex²-2 x+1+c [u=x 2 -2 x+1 dersek du = 2(x-1). dx dir. ] 3. ∫ esinx. cosx dx = ∫ eu du = eu + c = esinx +c [u=sinx dersek du = cosx dx]

PARÇAL (KISMİ) İNTEGRAL ∫ f(x). G(x) dx biçiminde iki fonksiyonun çarpımının integrali bazen güç olabilir. Böyle fonksiyonların daha kolayca integrallenebilmesini sağlamak amacıyla parçal (kısmi) integralleme aşağıdaki gibi yapılır. ∫ u dv = u. v - ∫ v du u = f(x) , du = g(x) dx dir.

v Kısmi integralde u ve dv nin seçiminde kesin bir kural olmamakla birlikte türevi alındığında azalan fonksiyonlara, logaritmik ve ters trigonometrik fonksiyonlara u denir. v ex , sinx, . . . gibi fonksiyonlara dv denilir. Kısmi integrasyon formülü aşağıdaki çarpım durumundaki fonksiyonların integrasyonunda kolaylık sağlar.

i. ∫ p(x). fax dx, ii. ∫ p(x). sinax dx, ∫ p(x). Cosax dx iii. ∫ eax. sinbx dx , ∫ eax. cosbx dx iv. ∫ p(x). lnax dx Ör: I 1 = ∫ x. ex dx = ? u=x dv = ex dx du=dx v =ex Buna göre I 1 = ∫ x. ex dx = x. ex - ∫ ex. dx = x. ex – ex + c = ex (x-1)+c

KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ 1. ∫ k/ax+b dx hali Bu tür kesirlerde paydanın türevi pay kısmında varsa logaritmalı formülden yararlanılır. Ör: ∫ 7/2 x – 5 dx = 7/2 ∫ 2/2 x-5 dx = 7/2 ln |2 x-5| + c

2. F(x) = P(x) / Q(x) Rasyonel ifadesinde payın derecesi paydanın derecesinden büyük veya eşitse paydaya bölünür. f(x) = P(x) / Q(x) = T (x) + R(x) / Q(x) şeklinde yazılır ve sonra ayrı integralleri alınır. Ör: ∫ 3 x 2 + 2 x +3 / x 2 + 1 dx = ? 3 x 2 + 2 x + 3 / x 2 + 1 = 3 ∫ 3 x 2 + 2 x + 3 / x 2 + 1 dx = ∫ (3 +2 x / x 2 + 1 ) dx = 3 x + ln (x 2 + 1) + c

3. ∫ dx / ax 2 + bx + c hali A. Eğer ax 2 + bx + c polinomu çarpanlarına ayrılıyorsa ifade basit kesirlerine ayrılarak integre edilir. Basit kesirlerine ayrılmıyorsa arctanx formülüne benzetilerek çözülür. v 1/x 2 -4 = A/x-2 + B/x+2 v 2 x+1/x 3+27 = A/x+3 + Bx+C/x 2 -3 x+9 v x 3+3/x(x+1)2 (x 2+1) = A/x +B/x+1+C/(x+1)2+Dx+E/x 2+1 Rasyonel ifadeler yukarda görüldüğü gibi basit kesirlerine ayrılır ve integral parçalanarak kolaylaştırılır.

Ör: ∫ 3 x-1 / x 2 -1. dx = ? 3 x-1 / (x-1) (x+1) = A/x-1 + B/x+1 3 x-1 / (x-1) (x+1) = A(x+1) + B(x-1) / (x-1) (x+1) 3 x-1 (A+B)x + A-B iki polinom eşitliğinden; A+B = 3 1+B = 3 A-B = -1 B=2 -----2 A = 2 ise A = 1 ∫ 3 x-1 / x 2 -1 dx = ∫ 1 / x-1 dx +2 ∫ 1 / x+1 dx = ln |x-1| + 2 ln |x+1| + c = ln |(x-1). (x+1)2| + c

B. ∫ dx / ax 2 + bx + c halinde ax 2+bx+c ifadesi çarpanlarına ayrılmıyorsa (Δ 0) ∫ dt / A 2+t 2 = 1/A arctan t/A+c veya ∫ dx / 1+x 2 = arctanx + c formülünden yararlanılarak çözüm yapılır. Ör: ∫ dx / x 2+9 = ∫ dx / 9[1+(x/3)2] = 1/9. 1 / 1/3 arctan x/3+c = 1/3 arctan x/3 + c