INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Kdaj je tako

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Kdaj je tako dobljena funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna? Kaj je njen odvod, integral? ZVEZNOST Predpišimo natančnost ε: MATEMATIKA 2 1

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM ODVEDLJIVOST odvod integrala po parametru MATEMATIKA 2 2

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM INTEGRABILNOST Primerjajmo funkciji G 1=G 2 posebej: G 1(b)=G 2(b) zamenjava vrstnega reda integriranja MATEMATIKA 2 3

INTEGRAL MATEMATIKA 2 FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM 4

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x, y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolž neke gladke krivulje. MATEMATIKA 2 5

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Prostornino pod ploskvijo ocenimo s kvadri. Pravokotnik [a, b]x[c, d] razdelimo na mrežo manjših pravokotnikov. Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo. mij, Mij : natančna spodnja in zgornja meja f(x, y) na pravokotniku [xi-1, xi]×[yi-1, yi] Δyj Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1 spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D MATEMATIKA 2 zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D 6

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL spodnji integral funkcije f zgornji integral funkcije f Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f). Zvezne funkcije so integrabilne. Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je množica točk nezveznosti majhna, npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolž neke gladke krivulje. MATEMATIKA 2 7

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Dvojni integral je enak dvakratnemu. MATEMATIKA 2 8

INTEGRAL MATEMATIKA 2 DVOJNI INTEGRAL 9

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Polovico valja presekamo z ravnino. Določi prostornino dobljenega telesa 2. možnost: MATEMATIKA 2 10