CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R 2 E

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI IN R 2 E R 3

Argomenti della lezione è Curve e loro lunghezza è Integrali curvilinei.

CURVE E LORO LUNGHEZZA

Abbiamo già accennato alla nozione di curva o arco di curva continua. Saremo ora un po’ più completi. Un’applicazione f: I Rm , dove I è un intervallo di R e m = 2 o 3, si dice una curva continua se f è continua. Diremo che la curva è regolare se la funzione f è derivabile su I e se la norma del vettore derivata non è nulla in alcun punto di I.

D’ora in avanti useremo la lettera per indicare una curva. Dunque, è una curva regolare se (t) è continua e | ’(t)| > 0 per ogni t I. (I) si dice il sostegno della curva. Dunque la nozione di curva o cammino è una nozione non solo geometrica, ma anche cinematica. Cioè teniamo conto della legge oraria con la quale si percorre un certo cammino.

Due curve o cammini possono avere lo stesso sostegno, ma essere diverse: 1(t) = (cos t, sen t)T, t I = [0, 2π] e 2(t) = (cos 2 t, sen 2 t)T, t I = [0, 2π] hanno lo stesso sostegno, la circonferenza di centro l’origine e raggio 1, ma la seconda è percorsa due volte (a velocità doppia) nello stesso tempo.

Una curva si dice chiusa se, detto I = [a, b], (a) = (b); è detta semplice se da t 1≠ t 2 segue (t 1) ≠ (t 2) a meno che t 1 e t 2 non siano a e b. La restrizione di una curva ad un sottointervallo J di I si dice un arco di curva. Due archi sono consecutivi se sono esprimibili come due archi di curva definiti su intervalli con un estremo in comune. 1 e 2 sono consecutivi se 1 è definito

su [a, c] e 2 su [c, b] (o si possono riparametrizzare in modo che ciò accada) e 1(c) = 2(c). 1(a) 1 1(c) = 2(c) 2 2(b)

Una curva è generalmente regolare se esiste una decomposizione di I in un numero finito di punti t 0 = a < t 1 <. . < tn = b tale che la restrizione a ogni sottointervallo [tk-1, tk] è regolare. Diremo che due curve 1(t) e 2(t) definite sugli intervalli I 1 e I 2 rispettivamente, sono equivalenti se esiste un’applicazione h: I 1 I 2 tale che: (1) h(I 1) = I 2 ; (2) h è di

classe C 1(I) e h’(t) > 0; 0 (3) 1= 2 h. Due curve equivalenti si dice che differiscono per la rappresentazione parametrica. Ogni intervallo ha due versi naturali d’orientazione e così ogni curva. Se : [a, b] Rm è una curva assegnata - : [-b, -a] Rm è la curva orientata in verso opposto. Fra i vari tipi di curve considereremo, in particolare, i segmenti di retta

congiungenti due punti x e y di Rm. (t) = (x 1 + (y 1 - x 1)t, x 2 + (y 2 - x 2)t)T, t I = [0, 1], se m = 2. Diciamo ora che cosa intendiamo per lunghezza di una curva. Data : [a, b] Rm , consideriamo la decomposizione = {t 0 = a < t 1 <. . < tn = b} di [a, b]. Consideriamo la poligonale P data dall’unione dei segmenti di retta congiungenti i

punti (t 0) = (a) e (t 1); (t 1) e (t 2); … ; (tn-1) e (tn) = (b). La lunghezza della poligonale P è data da n l (P) = å g (tk ) - g (t k -1 ) k =1 Nel caso m = 3, osserviamo che

3 | g (t k ) - g (t k -1 )| = å (xi (tk ) - xi (t k -1))2 i =1 Diremo lunghezza della curva l’ estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte alla curva stessa se tale estremo è finito. In tale caso la curva si dice rettificabile l (g ) = sup{l (P) : P dedotta da d }

La figura precedente rappresenta una curva di R 3 e una poligonale ad essa inscritta. Può accadere che sia l( )= +∞ anche per curve aventi sostegno limitato in R 3. 0 se t = 0, Se y(t) = t sen(1/t) se t≠ 0 Allora (t)=(t, y(t))T è un esempio in cui l( )= +∞.

Il seno del topologo

Si può dimostrare che se = 1 + 2 ossia se l’arco è ottenuto dall’unione degli archi consecutivi 1 e 2 , allora l( ) = l( 1) + l( 2). Inoltre la lunghezza non dipende dalla rappresentazione parametrica. Per trattare in modo preciso il problema della lunghezza delle curve e, in generale, l’integrale di funzioni a valori vettoriali, conviene ricordare che l’integrale di Riemann si può

presentare come limite di somme (essendo la nozione di limite intesa in modo opportuno). Precisamente, accanto alla somme integrali inferiori e superiori si possono considerare le somme che diremo di Riemann fa m(Ia ), la £ fa £ La å a Si può dimostrare che f: I R è Rintegrabile se e solo se , tale che se diam( ) < allora

| òI fdm - å fa m(Ia )|< e a Questo fatto si esprime dicendo che lim å fa m(Ia ) = òI fdm diam( ) a d ® 0 Vale un risultato più generale, che ci sarà utile nel calcolo della lunghezza degli archi di curva generalmente regolari

Supponiamo che, in corrispondenza ad ogni multi indice sia dato un numero in modo da essere uniformemente limitato: , tale che se diam( ) < allora | | < . Allora si ha lim å(fa + e a )m(Ia ) = òI fdm diam(d )® 0 a “Principio di Duhamel”

Teorema (Rettificazione delle curve regolari) Se : [a, b] Rm è regolare, allora b l (g ) = òa | g ¢(t)| dt

Infatti ogni singolo lato della poligonale misura 3 | g (t k ) - g (t k -1 )| = å (xi (tk ) - xi (t k -1))2 i =1 = 3 2 2 [ x ( )] (t t ) å i¢ t ik k -1 i =1 3 2 + [ x ( )] +eik)(tk - t k -1 ) = ( iå i¢ t k =1

Ciò vale per l’uniforme continuità di xk’(t) su [a, b], avendo tenuto conto del teorema di Lagrange su ogni intervallo [tk-1, tk]. Allora, per il principio di Duhamel: n 3 = = 2 ( ) lim ( x (t ) l g = diam( ) 0 å å i¢ ik + e ik )(t k -1) = d ® k 1 i 1 b = ò | g ¢(t) | dt a

Una formula analoga vale per le curve generalmente regolari Esempi 1) Lunghezza dell’arco di circonferenza: x = r cos t, y = r sen t ; s( ) = ∫√(x’ 2 + y’ 2) du = r , 0 0≤ ≤ 2π

2) Lunghezza dell’arco di elica cilindrica: x = r cos t, y = r sen t, z = p t; t s(t) = ò (x ¢ 2 (u) + y ¢ 2 (u) + z ¢ 2 (u) du = 0 t 2 2 (r p ) dt r p t ò + = + 0

Se la curva è data in forma cartesiana y = f(x), con f e f’ continue x s(x) = ∫√(1 + f’ 2(t))dt a La lunghezza d’arco è un parametro molto conveniente per la rappresentazione delle curve

Infatti ds = dt x ¢ 2 (t) + y ¢ 2 (t) + z ¢ 2 (t) e quindi, poiché dx dx dt dy dy dt dz dz dt = × , = × ds dt ds

x ¢ 2 (s) + y ¢ 2 (s) + z ¢ 2 (s) = 1 Cioè ’(s) è il versore tangente alla curva nel punto di coordinata lunghezza d’arco s.

INTEGRALI CURVILINEI.

Se : I = [a, b] Rm è una curva regolare, f: A Rm R è una funzione continua definita su un aperto A che contiene il sostegno della curva e w(t): I R è una funzione di classe C 1(I), definiremo b ò fdw = ò f (x(t), y(t), z(t))w ¢(t)dt g a

ò fdw g si dice l’integrale curvilineo esteso alla curva di f rispetto al peso w. In particolare b òg fds = òa f (x(t), y(t), z(t)) | g ¢(t) | dt b òg fdx = ò f (x(t), y(t), z(t))x ¢(t)dt a ed espressioni simili in dy e dz

Si definiranno anche òg (f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz) = ò f 1 dx + ò f 2 dy + ò f 3 dz g g g e b òg f , dg = òa f (g (t)), g ¢(t) dt dove f = (f 1, f 2, f 3)T

L’integrale di linea b òg f , dg = òa f (g (t)), g ¢(t) dt permette di calcolare il lavoro di una forza f, lungo un cammino Invece l’integrale b òg fds = òa f (x(t), y(t), z(t)) | g ¢(t) | dt

permette di calcolare l’area del cilindro delimitato dalla curva sul piano x y e dalla superficie z = f(x, y)

Si verifica facilmente che l’integrale curvilineo è lineare rispetto alla funzione f e al peso w; che cambia segno invertendo il verso del cammino e che è additivo su archi consecutivi Esempi 1) Si calcoli l’area del cilindro delimitato da f(x, y) = y 2 e dalla semicirconferenza x = cos t, y = sen t, π ≤ t ≤ 2π (π/2)

2) Si calcoli il lavoro b òg f , dg = òa f (g (t)), g ¢(t) dt dove f(x, y) = (x exp(y) +log x, arctg y + x 2/2 exp(y) )T per x > 0 e (t) = (2 + sen t, t)T per 0 ≤ t ≤ 2π (0)