Formel fr standardavvikelse Ofta r det enklare att

Formel för standardavvikelse: Ofta är det enklare att räkna ut variansen istället Beräkningsformeln Eller om man utgår från en frekvenstabell så används 1

Vi räknar ut standaravvikelsen för datamaterialet med antal rum. 2

är stickprovs-variansen och s är stickprovs-standardavvikelsen Ex med antal rum Ungefär samma storleksordning Obs!!! Alla spridningsmått är positiva! 3

Rita lådagram Ex: Björnars ålder i antal månader. 83 obs Descriptive Statistics: Age Variable Mean St. Dev Variance Minimum Q 1 Median Q 3 Maximum Age 43, 43 34, 02 1157, 54 8, 00 19, 00 32, 00 58, 00 177, 00 Observationer är extrema om de är större än Q 3 + 1. 5 (Q 3 - Q 1) = 58+1, 5(58 -19) = 116, 5 Vi har fyra extrema värden eller mindre än Q 1 -1. 5 (Q 3 - Q 1) = 19 -1, 5(58 -19) = -39, 5 De 5 sista obs 115 117 124 140 177 4

Extrema värden 5

6

7

Sannolikheter Sannolikhet, Chans, Risk P(A) = Sannolikheten att händelsen A ska inträffa Ex: Vid kast av en symmetrisk 6 sidig tärning P(6: a) = Sannolikheten att få en 6: a vid ett kast P(6: a) = 8

P(Bussen kommer inom 10 min) P(en på måfå vald glödlampa håller mer än 10 tim) P(en på måfå vald man är längre än 180 cm) P(ny medicin har effekt) P(fler än 10% röstar på fp nästa val) Komplementet till en händelse A betecknas och är den motsatta händelsen. 9

För alla sannolikheter gäller De relativa frekvensernas stabilitet. Kasta en tärning och räkna antalet 6: or samt antalet kast. Kvoten mellan dessa närmar sig en sjättedel. Kap 2 behandlar sannolikheter med händelser. Vi hoppar över detta kap och försöker klara oss ändå. 10

Kap 3 Diskret slumpvariabel Det kan vara svårt och/eller otympligt att beräkna sannolikheter genom att endast uttrycka händelser. Vi tar nu istället hjälp av slumpvariabler. s. v. vilka ofta betecknas X, Y, Z osv Ex med kast av en symmetrisk tärning. P(6: a)= Låt nu istället X = antalet ögon vid kast av en symmetrisk tärning Slumpvariabeln X kan anta värdena 1, 2, 3, 4, 5, 6 11

Vi skriver nu P(6: a)=P(X=6)= Vi inser att P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= P(X=6)= i detta ex Vi kan skriva P(X=x)= för x=1, 2, 3, 4, 5, 6 Allmänt betecknas P(X=x)=p(x) och kallas sannolikhetsfördelningen till slumpvariabeln X 12

Vi kan rita p(x) mot x i ett stolpdiagram Det gäller 1) 2) Räkna öv 302 på tavlan 13

Kap 3, 2 Väntevärde och varians Vi har tidigare sett att en relativ frekvens närmar sig en sannolikhet f = antalet 6: or vid n kast närmar sig Vi har också tidigare sett att medelvärdet är ett mått på tyngdpunkten (läget) i ett datamaterial. Hur finner vi motsvarande ’medelvärde’ för en slumpvariabel? I ex med tärning så räknar vi inte bara antalet 6: or utan vi räknar antalet av alla utfall. Då kan medelvärdet räknas ut med hjälp av frekvenser enl Men om närmar sig p(x) då n växer så kan detta medelvärde skrivas 14

Så, medelvärdet för en slumpvariabel kallas väntevärde och definieras som Ex X=antal prickar på en symmetrisk tärning prickar __________________ Man kan ta väntevärdet av en funktion av X t ex 15

Vi har tidigare beräknat variansen i ett datamaterial stickprovsvariansen: Variansen för en slumpvariabel definieras som Standardavvikelsen för en slumpvariabel är 16

Det är enklare att beräkna variansen med formeln Ex med tärning Räkna övning 305 17

Kap 3, 3 Några ’bra att ha’ regler Låt a och b vara konstanter (siffror) och låt X och Y vara två slumpvariabler. Y beror på X via sambandet: Y= a+b. X Ex Y=4 -3 X a = 4 och b = -3 Då gäller Ex Om E[X]=5 och Var[X]=4 så fås 18

Att standardisera en slumpvariabel Låt Bilda Då gäller för Z att Vi har standardiserat X till Z. Z är en standardiserad slumpvariabel Visa på tavlan med ’bra att ha’ reglerna 19