FI07 Mechanika prunost a pevnost 28 3 2007

FI-07 Mechanika – pružnost a pevnost 28. 3. 2007 1

Hlavní body • Úvod do nauky o pružnosti a pevnosti • Charakter meziatomových sil. • Napětí a deformace. Hookův zákon. • Namáhání normálové • Příčná deformace • Namáhání ve smyku • Tenzory napětí a deformace. 28. 3. 2007 2

Úvod do pružnosti a pevnosti • Další přiblížení se realitě spočívá v tom, že nebudeme pokládat tělesa za dokonale tuhá: V souladu s realitou ale připustíme jejich deformace, naučíme se je popisovat a pochopíme, jakými se řídí zákony a jak je lze vysvětlit na mikroskopické úrovni. • Budeme se zabývat pevnými látkami, ale naše úvahy později rozšíříme i na kapaliny. 28. 3. 2007 3

Charakter meziatomových sil I • Makroskopické chování reálných látek je určeno silami, kterými na sebe působí jejich mikroskopické součásti. • U pevných látek to jsou zpravidla přímo atomy, které tvoří krystaly nebo amorfní látky. • U kapalin plynů se jedná spíše o molekuly • Existují ale molekulární i kapalné krystaly 28. 3. 2007 4

Charakter meziatomových sil II • Nejsilnější (a nejdůležitější v anorg. ch. ) druhy vazeb kovalentní a iontová, jsou založeny na sdílení valenčních elektronů vázanými atomy. • U kovalentních vazeb je sdílení téměř rovnoměrné. Vazby jsou směrové a saturují se. • U iontových strhává elektronegativnější atom elektrony k sobě a přitažlivost lze popsat jako elektrostatické působení. 28. 3. 2007 5

Charakter meziatomových sil III • Krystaly mají uspořádání na dlouhou (makroskopickou-srůsty dvojčat) vzdálenost a motiv elementární buňky se pravidelně opakuje. Valenční elektrony jsou sdíleny celým krystalem a za určitých podmínek mohou být nosiči elektrického náboje. • Amorfní látky jsou uspořádané jen lokálně. 28. 3. 2007 6

Charakter meziatomových sil IV • Aby se látky nezhroutily do sebe, musí existovat krátkodosahové odpudivé síly. • Interakce je výhodné popisovat pomocí potenciálu, například Lennard-Jonesova: (r)= {(r 0/r)12 -2(r 0/r)6} • V závislosti energie na vzdálenosti atomů existuje jedno nebo několik minim. To jsou pravděpodobné rovnovážné vzdálenosti. 28. 3. 2007 7

Pružnost I • Z předchozího je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá, ale jejich tvar odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. • Změnou působení vnějších sil vznikají uvnitř síly, které se snaží vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti. • Pro malé deformace se při návratu vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy. 28. 3. 2007 8

Napětí I • Ukazuje se, že pro deformační účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí: napětí • Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2 28. 3. 2007 9

Napětí II • Odezva látek může být komplikovaná, ale i ta nejjednodušší u látek izotropních a homogenních je rozdílná alespoň v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí na normálové a tečné: 28. 3. 2007 10

*Hookův zákon I • Mějme tyčku délky l a průřezu S o zanedbatelné vlastní hmotnosti, zatíženou silou Fn. Potom v každém průřezu tyčky bude stejné napětí n = Fn/S. • Přesný Hookův zákon: Nekonečně malá deformace je úměrná nekonečně malému napětí a původní délce: dl = k. l d n 28. 3. 2007 11

*Hookův zákon II • Pro konečné napětí Hookův zákon bohužel obecně neplatí. Konečné prodloužení musíme získat integrací: tedy : 28. 3. 2007 12

Hookův zákon III • U mnoha látek je k velmi malé (např. ocel k=5. 10 -12 m 2 N 2). Potom můžeme v rozvoji zanedbat členy od kvadratického výše a Hookův zákon platí i pro konečná napětí: l = l, -l = k. l n • Pro deformaci, vyjádřenou jako relativní prodloužení , platí : 28. 3. 2007 13

Hookův zákon IV • Napětí je tedy úměrné deformaci. • E se nazývá Youngův modul pružnosti (v podélném prodloužení) : a popisuje schopnost látky vzdorovat deformaci. • Naopak reciproké k znamená “poddajnost”, přesně: prodloužení na jednotku napětí. 28. 3. 2007 14

Příčné zkrácení I • Podélné prodloužení je vždy doprovázeno příčným zkrácením (a naopak). Popisujeme jej relativním příčným zkrácením , které je (za podobných podmínek jako výše, tj. malá k 1) též úměrné podélnému napětí: 28. 3. 2007 15

Příčné zkrácení II • Míra změny v příčném směru musí být charakterizována dalším materiálovým parametrem nebo m : • Poissonova konstanta: m = / • Poissonovo číslo (poměr): = 1/m = / 28. 3. 2007 16

Příčné zkrácení III • Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit : • V případě tlaku by bylo možné a správnější uvažovat záporné parametry nebo změnit znaménka ve vztazích, což je bohužel historicky zděděný postup. 28. 3. 2007 17

Tlaková deformace objemu I • Mějme krychli V=aaa, na kterou působí stejné napětí n ze všech směrů – hydrostatický tlak p. U změny rozměrů každé strany se uvažují podélné i příčné změny např. : a, = a(1 - +2 ). Tedy V, = V(1 - +2 )3. Po zanedbání kvadratických a vyšších členů: 28. 3. 2007 18

Tlaková deformace objemu II • Protože vlastně n = p, platí pro součinitel objemové stlačitelnosti : je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku. 28. 3. 2007 19

Tlaková deformace objemu III • Předchozí definice naznačuje, že objemová stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnosti K : • Z této definice lze ukázat, meze v nichž musí ležet Poissonovo číslo . 28. 3. 2007 20

*Tlaková deformace objemu IV • Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné, protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí : 0 < < 1/2. • Ve skutečnosti je obvykle 1/4 < < 1/2. • Pro = ½ by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale tuhé těleso. 28. 3. 2007 21

Deformace ve smyku I • Způsobí-li tečné napětí t = odchylku u ve výšce b od pevné podložky, lze definovat relativní deformaci ve smyku jako : • Pro malé deformace lze opět pozorovat platnost Hookova zákona : 28. 3. 2007 22

Deformace ve smyku II • V souladu s předchozími definicemi je • k 3. . . součinitelem smykového posunutí a má význam poddajnosti materiálu a • G. . . modul pružnosti ve smyku s významem odporu materiálu vůči deformaci ve smyku. 28. 3. 2007 23

Deformace izotropních látek • Celkově je tedy možné charakterizovat elastické chování izotropních látek pomocí tří parametrů: například modulů G a E a Poissonovy konstanty m. • Ukazuje se, že z těchto parametrů jsou ale jen dva nezávislé. Platí totiž vztahy : 28. 3. 2007 24

*Deformace neizotropních látek I • V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu a . • ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. • pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q. 28. 3. 2007 25

*Deformace neizotropních látek II • Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq • Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. • Každá symetrie znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. • Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. • Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich dva parametry E a G. 28. 3. 2007 26

Platnost Hookova zákona • Průběh namáhání látek se obvykle zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze: • úměrnosti. . . zde platí Hookův zákon • elasticity. . . návrat do původního tvaru • plasticity. . . zůstává trvalá deformace • kluzu. . . velká změna chování • pevnosti. . . porušení materiálu 28. 3. 2007 27

Tekutiny I • Důležitá část fyziky se zabývá mechanikou kapalin a plynů, které mají společné označení tekutiny. Z hlediska elastických vlastností je lze definovat následovně: • kapaliny. . . E velké, G malé • plyny. . . E malé, G malé 28. 3. 2007 28

Tekutiny II • Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující jemnější chování například viskozitu a stlačitelnost. • Ideální kapalina má E nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace. 28. 3. 2007 29