ESTATSTICA Aula 5 ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIVEIS

ESTATÍSTICA Aula 5

ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Nas aulas anteriores vimos formas de organizar e representar uma massa de dados. No entanto, muitas vezes desejase resumir ainda mais os dados, apresentando um ou mais valores da série toda. Estas medidas podem ser divididas em: medidas de posição e de dispersão.

Classificação MEDIDAS DE POSIÇÃO • MÉDIA • MEDIANA • MODA MEDIDAS DE DISPERSÃO • VARI NCIA • DESVIO PADRÃO • COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Medidas de Posição • MÉDIA • MODA • MEDIANA

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados A média aritmética, conceito familiar ao leitor, é a soma das observações dividida pelo número delas. Cada amostragem tende a ter diferentes valores de média. A média tem a mesma unidade dos dados avaliados. Medidas como a média, mediana e moda são denominadas parâmetros quando estas caracterizam populações e estatísticas no caso de amostras.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usase a média aritmética dos valores ponderados pelas respectivas freqüências absolutas. Onde: Χi é o centro da classe (Ponto médio) n número total de dados

Medidas de Posição MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X 1, X 2, . . , Xn é definido por: _ X = X 1 + X 2 +. . . . + Xn / n EXEMPLO : {1, 1, 3, 4, 4} X = 1 + 1+ 3 + 4 = 13 = 2, 6

MODA A Moda é definida como a realização mais frequente do conjunto de valores observados, isto é, o valor mais comum. A moda pode não existir, e mesmo que exista, pode não ser única (bimodal, trimodal, multimodal), de acordo com os exemplos a seguir: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18 moda 9 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 Não tem moda 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal)

Cálculo da moda para dados agrupados • Passo 1: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência) • Passo 2: Aplica-se a fórmula Moda = Onde: - Limite inferior da classe modal; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior; h – amplitude da classe

Cálculo da moda (dados agrupados) Classes 0 -1 Fi 3 1 -2 10 2 -3 3 -4 4 -5 17 8 5 43 Passo 1: identificação da classe modal. No caso, trata-se da classe (2 -3). Passo 2: aplicação da formula. Moda =

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIANA Uma alternativa como medida de tendência central é a mediana. A mediana é a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estas estão ordenadas segundo suas grandezas (crescente ou decrescente). Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa) correspondente à vertical que divide o histograma em duas partes de áreas iguais. É mais usada quando os dados apresentam distribuição assimétrica

MEDIANA A mediana é denominada resistente de posição de uma distribuição. Para ilustrar esta resistência, observemos os dados a seguir: 5, 7, 8, 10, 12, 15 Dos quais obtemos média 9, 5 e mediana 9, 0. Suponha, agora, que modifiquemos o valor 15, que passa a ser 150. Obtemos, então, média 32 enquanto a mediana não se altera.

Mediana para variáveis discretas Assim, se as cinco observações de uma variável discreta forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondente à terceira observação. Quando o número de observações é par, usa-se como mediana a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se as observações de uma variável são 3, 4, 7, 8, 8 e 9, a mediana é: Md= 7, 5

Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados impar Xi Fi Fac 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 2 11 11 - N=11, logo: a mediana será o valor 11+1/2 = 6 elemento. Contêm o sexto elemento Valor 3

Mediana variável discreta • Exemplo somatório de dados par Xi Fi Fac 82 5 5 85 10 15 87 15 30 89 8 38 90 4 42 42 - N=42, logo: a mediana será o valor entre 42/2 e (42/2)+1 = valor médio entre as ocorrências 21 e 22 Contem os elementos 21 e 22 Valor médio é 87

Exercícios Determine a média, moda e mediana dos dados abaixo: X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Y = 2, 3, 4, 5, 6 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9

Exercícios 1) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita com 15 consumidores que atribuíram as seguintes notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 65, 68, 70, 75, 80 , 82 , 85, 90, 95, 98, 100. Calcular : a) Média Aritmética Simples b) Moda c) Mediana

EXERCÍCIOS De acordo com os dados da tabela, pede-se: 33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 Média Mediana Moda

Exercícios 1) Segue abaixo os dados agrupados de uma sondagem da qualidade de um software. Calcular média , moda e mediana.