ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIVEIS QUANTITATIVAS No item

ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS No item anterior vimos uma forma de organizar e representar uma massa de dados. No entanto, muitas vezes deseja-se resumir ainda mais os dados, apresentando um ou mais valores da série toda. Estas medidas podem ser divididas em: medidas de posição e de dispersão.

MEDIDAS DE POSIÇÃO • • MÉDIA MEDIANA MODA QUARTIS, DESCIS, PERCENTIS. MEDIDAS DE DISPERSÃO • VARI NCIA • DESVIO PADRÃO • COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados A média aritmética, conceito familiar ao leitor, é a soma das observações dividida pelo número delas. A média aritmética é representada através de dois símbolos: para população e Y para a amostra. É importante esta distinção pois a média da população ( ) possui valor fixo, não sujeito à variação, enquanto que a média da amostra (Y) é uma variável dependente de quantas diferentes amostras foram retiradas da população. Cada amostragem tende a ter diferentes valores de média. A média tem a mesma unidade dos dados avaliados. Medidas como a média, mediana e moda são denominadas parâmetros quando estas caracterizam populações e estatísticas no caso de amostras.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usa-se a média aritmética dos valores ponderados pelas respectivas freqüências absolutas. Onde: Χi é o centro da classe n número total de dados

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA GERAL Sejam 1, 2, 3, as médias aritméticas de k séries de dados e n 1, n 2, n 3 os números de termos das k series, respectivamente. A média aritmética da série será:

MÉDIA GEOMÉTRICA Usada principalmente para variáveis que crescem em progressão geométrica como por exemplo, o número de bactérias em um colônia. Sejam x 1, x 2, x 3, valores de Xi, associados às freqüências absolutas F 1, F 2, F 3, respectivamente. A Média Geométrica (Mg) é definida por:

MÉDIA HARMÔNICA Sejam x 1, x 2, x 3, valores de Xi, associados às freqüências absolutas F 1, F 2, F 3, respectivamente. A média harmônica (Mh) será: Mh =

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIANA Uma alternativa como medida de tendência central é a mediana. A mediana é a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estas estão ordenadas segundo suas grandezas (crescente ou decrescente). Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa) correspondente à vertical que divide o histograma em duas partes de áreas iguais. É mais usada quando os dados apresentam distribuição assimétrica

MEDIANA A mediana é denominada resistente de posição de uma distribuição. Para ilustrar esta resistência, observemos os dados a seguir: 5, 7, 8, 10, 12, 15 Dos quais obtemos média 9, 5 e mediana 9, 0. Suponha, agora, que modifiquemos o valor 15, que passa a ser 150. Obtemos, então, média 32 enquanto a mediana não se altera.

Mediana para variáveis discretas Assim, se as cinco observações de uma variável discreta forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondente à terceira observação. Quando o número de observações é par, usa-se como mediana a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se as observações de uma variável são 3, 4, 7, 8, 8 e 9, a mediana é: Md= 7, 5

Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados impar Xi 1 2 3 4 Fi 1 3 5 2 11 Fac 1 4 9 11 - N=11, logo: a mediana será o valor 11+1/2 = 6 elemento. Contêm o sexto elemento Valor 3

Mediana variável discreta • Exemplo somatório de dados par Xi 82 85 87 89 90 Fi 5 10 15 8 4 42 Fac 5 15 30 38 42 - N=42, logo: a mediana será o valor entre 42/2 e (42/2)+1 = valor médio entre as ocorrências 21 e 22 Contem os elementos 21 e 22 Valor médio é 87

Mediana variável contínua • 1 passo – calcula-se a ordem n/2 (independe se n é par ou impar); • 2 passo- Pela freqüência acumulada identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md); • 3 passo – utiliza-se a fórmula Mediana = Onde: - limite inferior da classe da mediana; n - tamanho da amostra; - soma das freqüências; h – amplitude da classe da mediana; - freqüência da classe mediana

Mediana variável contínua Classe 35 -45 45 -55 55 -65 65 -75 75 -85 85 -95 Fi 5 12 18 14 6 3 58 Fac 5 17 35 49 55 58 - Passo 1 – 58/2 = 29 Passo 2 – Identifica-se a classe da Mediana ( 55 -65) Passo 3 – aplicação da formula Mediana = Classe do 29 elemento

QUARTIS, DESCIS E PERCENTIS Quartis, descis e percentis são uma extensão do conceito de mediana. • QUARTIS: são os valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais. Estes valores, representados por Q 1, Q 2 e Q 3 denominam-se primeiro, segundo e terceiro quartis, respectivamente, sendo o valor Q 2 igual a mediana. • DESCIS: são os valores que dividem os dados em dez partes iguais e são representados por D 1, D 2, . . . . D 9. O quinto decil equivale à mediana. • PERCENTIS: são os valores que dividem os dados em 100 partes iguais e são representados por P 1, P 2, . . . P 99. O qüinquagésimo percentil corresponde à mediana.

EXEMPLO DE UM HISTOGRAMA COM QUARTIS

MODA A Moda é definida como a realização mais freqüente do conjunto de valores observados, isto é, o valor mais comum. A moda pode não existir, e mesmo que exista, pode não ser única (bimodal, trimodal, multimodal), de acordo com os exemplos a seguir: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18 moda 9 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 Não tem moda 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal)

Cálculo da moda para dados agrupados • Passo 1: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência) • Passo 2: Aplica-se a fórmula Moda = Onde: - Limite inferior da classe modal; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior; h – amplitude da classe

Cálculo da moda (dados agrupados) Classes 0 -1 Fi 3 1 -2 10 2 -3 3 -4 4 -5 17 8 5 43 Passo 1: identificação da classe modal. No caso, trata-se da classe (2 -3). Passo 2: aplicação da formula. Moda =

EXERCÍCIOS De acordo com os dados da tabela, pede-se: 33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 Média Mediana Moda