Aritmtica en educacin primaria las fracciones Conceptos y

Aritmética en educación primaria: las fracciones. Conceptos y operaciones

Significados y contextos de las fracciones • relación entre una parte y un todo que actúa como unidad de referencia (a medio camino) – Identificación de la unidad – Realizar divisiones (el todo se conserva) – Tener idea de área. ejemplo: 5/8: dividir un todo en ocho partes y tomar cinco de ellas. • Como cociente ó división indicada: dividir una cantidad en un número de partes dadas. (dividir tres unidades entre cinco personas) división sin realizar ó división indicada. aparece en un contexto de reparto (le toca a cada uno un tercio) – Repartir 4 € entre 5 amigos. – Dividir tres unidades entre cuatro personas. (implica un proceso) • resultado de una medida (cuarto y mitad). Describe una cantidad o un valor de magnitud por medio de otro. La mitad de…

• un operador : es una transformación. (le corresponden los dos tercios del total). "algo que actúa sobre una situación (estado) y modifica". la fracción es una sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a la inversa. El operador lleva implícito un convenio; primero actúa la división y luego la multiplicación Ejemplo: Cuando despejamos en las ecuaciones. ejemplo: el conjunto formado por los 36 niños de una clase, el efecto de aplicación del operador 2/3 (dos tercios) se puede representar por el estado final '24 niños' también recibe el nombre de estado 'dos tercios' como la descripción de un estado de cosas. Calcular 3/5 de 20 euros. • Como razón ó proporción: entendida como relación parte a parte, o como proporción. m/n representa una relación entre dos cantidades. Cuando se comparan los tamaños de colecciones de objetos de naturaleza diferente, y no tiene sentido pensar en un conjunto global que los contenga. Por ejemplo cuando se dice que en una ciudad hay 2 automóviles por cada 5 habitantes. (porcentajes)

• Def: Dos fracciones a/b, c/d son equivalentes si se cumple “la igualdad de los productos cruzados”, o sea: a. d = b. c. • Y viceversa, si multiplicando ambos miembros por b. d y simplificamos se obtiene que a. d = b. c Esta relación es una relación de equivalencia: • Reflexiva: toda fracción es equivalente a sí misma; • Simétrica: si una fracción x es equivalente a otra fracción y es equivalente a x, entonces x e y son la misma fracción; • Transitiva: si una fracción x es equivalente a otra fracción y es equivalente a otrafracción z, entonces x y z son equivalentes • • • Dos fracciones equivalentes se refieren a una misma cantidad si se trata de una magnitud o a una misma razón si se trata de una comparación. Todas estas fracciones representan la misma clase de equivalencia, el mismo número racional, aunque expresan situaciones/contextos diferentes Def: una fracción p/q es irreducible si p y q son primos entre sí.

El conjunto de los números racionales (positivos). ¡OJO!: en la expresión anterior, p/q es un representante de la clase de equivalencia a la que pertenece. Otras expresiones ó representaciones de un número racional positivo: • Gráfica. • Decimal. Para fracciones impropias existe otra representación: • Número mixto: es un número racional expresado como suma de un número natural a y una fracción b/c. Se representa por (Omitiendo el símbolo de la suma)

Orden en las fracciones: • Dadas dos fracciones con el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador; • si las fracciones tienen igual numerador será menor la que tenga el mayor denominador; • si no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se reduce a común numerador o denominador y se aplica una de los casos anteriores. (fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador) Proposición: 1. si a, b, c, d son enteros y b y d son positivos, entonces, a/b < c/d, sí y sólo sí a. d < b. c 2. Se define el orden a/b < c/d cuando ad-bc<0

Propiedades de la ordenación en Q: • Tricotomía: Si r y s con números racionales, entonces una de las siguientes relaciones esverdadera: r < s, r > s, o r = s. • Transitividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s y s < t, entonces r < t. • Aditividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s, entonces r +t < s + t. • Mutiplicatividad: Para números racionales r, s y t: - Si r < s y t > 0, entonces, t. r < t. s: - Si r < s y t < 0, entonces, t. r > t. s

Aritmética con fracciones: • Suma y resta de fracciones: – Con igual denominador – Con distinto denominador. • Multiplicación de fracciones • División de fracciones – leer del libro de Godino, “Matemáticas para maestros”, desde la pág. 115 -119: – 4. 2. Producto y cociente de fracciones y números racionales positivos. – 5. TÉCNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FRACCIONES

• Identifica las fracciones que se han colocado en el círculo. • Escríbelas ordenadamente de izquierda a derecha empezando por 1. ¿Están bien colocadas? 1. indica a qué fracciones corresponden los puntos señalados sin números 2. Jugando por parejas: uno marca una línea que corresponde a una fracción y el otro debe decir de qué fracción se trata. A la inversa: uno dice una fracción y el otro tiene que señalar el punto que corresponde.

Introducción de fracciones en Educación Primaria Propuestas dadas en clase: • ERRORES DE LOS ALUMNOS • Leer libro: Didáctica para maestros. (Godino y Batanero) Página 225 a 228. 2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE Y páginas 234 -235 4. 2. Análisis de respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación

Número racional y su expresión decimal. • Llamaremos números decimales (a los racionales) para los cuales se puede encontrar una fracción representante. • Expresión racional de un número decimal – Exactos – Periódicos • Puros • Mixtos • Paso de expresión decimal a racional – Fracción generatriz. http: //www. youtube. com/watch? v=47 Re 17 c. Sv. Hg&feature=related

• Expresión decimal de un número racional. • ¿cuándo usarlos? • El orden en los racionales (y su expresión decimal. ) • Lectura y escritura de números en expresión decimal. –Ceros antes y después? ? ? –Obstáculos: • Operaciones con decimales: –Suma –Resta –Multiplicación –División. • Redondeo: –a la unidad –a la décima –A la centésima –A la milésima

Proposición: • Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales. Observaciones: 1. Todo número racional que no sea decimal exacto, requiere un número ilimitado de cifras en su expresión decimal, que se repetirán en períodos (puros o mixtos). 2. Los números decimales exactos, se pueden representar también con expresiones decimales periódicas: 3/4, expresión decimal finita 0’ 75, basta escribir una serie ilimitada de ceros después del 5, 0’ 7500000. . . También podemos comprobar que se pueden representar como 0’ 74999. . . 3. Los números naturales se pueden expresar con una notación decimal con infinitas cifras decimales; por ejemplo, 1=0’ 9999. . .

• La expresión decimal no es única para los números decimales exactos. Por ejemplo: 2’ 6 = 2’ 5999. . . Los cálculos con números decimales se operan de manera ventajosa si se usa las expresiones decimales finitas. • La expresión decimal de los racionales periódicos (no exactos) sí es única, pero las notaciones periódicas para los racionales periódicos (no exactos) son incómodas para operar con ellas o incluso imposibles de realizar. • En la práctica, no obstante, los números decimales se expresan de la forma más simple posible, es decir con un número finito de cifras decimales. 10. Encuentra dos fracciones positivas cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 7/16.

Propiedades de los números racionales en su expresión decimal: 1. El conjunto de los números racionales es denso en R. • Entre dos números racionales distintos, siempre se puede encontrar otro número racional distinto y, por tanto, existen una infinidad de tales números racionales intermedios. • ¿cuál es el siguiente a 6. 215? 2. Dado un número decimal periódico (no exacto), podemos encontrar un número decimal exacto que represente dicho racional con una cota de error tan pequeña como queramos. • Esta propiedad es la que permite sustituir los cálculos con números decimales no exactos (periódicos) por cálculos aproximados con números decimales exactos. Ejemplo: • El número decimal 0’ 181 se diferencia del número decimal periódico en menos de una milésima. Si esta aproximación no es suficiente, podemos elegir, el número decimal 0’ 181818 que se diferencia de en menos de una millonésima, etc.

• Lectura y escritura de números en expresión decimal. – Ceros antes y después? ? ? – Obstáculos: libro matemáticas para maestros (Godino y Batanero) pág. 134 y 135 “ 4. LA INTRODUCCIÓN DE LOS DECIMALES A PARTIR DE LA MEDIDA” • Operaciones con decimales: – Suma – Resta – Multiplicación – División. • Redondeo: – a la unidad – a la décima – A la centésima – A la milésima