Aikasarjaanalyysin perusteet Janne Kunnas 5 10 2011 Tyn

Aikasarja-analyysin perusteet Janne Kunnas 5. 10. 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Sisältö • Taloudellisten aikasarjojen empiirinen analyysi – Tyypilliset ominaisuudet • Aikasarja-analyysin perusteet – – – Peruskäsitteet ARMA-mallit Tarkastelu aika-avaruudessa Aikasarjojen tilastollinen tarkastelu Ennustaminen Kotitehtävä

Tyypilliset ominaisuudet (1/3) • Pätevät päivittäiselle finanssidatalle – Osakkeet, indeksit, valuutat, raaka-aineet • Pätevät usein myös pidemmän aikavälin datalle – Viikoittaiset ja kuukausittaiset tuotot • Pätevät usein myös intra-daily datalle

Tyypilliset ominaisuudet (2/3) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Tuotot eivät ole iid vaan hieman autokorreloituneita Absoluuttiset tai neliölliset tuotot ovat selvästi autokorreloituneita Tappioiden ehdolliset odotusarvot ovat lähellä nollaa Volatiliteetti ei ole vakio Tappiojakauma on leptokurtinen tai paksuhäntäinen Äärimmäiset tuotot esiintyvät rykelminä

Tyypilliset ominaisuudet (3/3)

Monimuuttujien Tyypilliset ominaisuudet 1. 2. 3. 4. Monimuuttujien tuotot hieman ristikorreloituneita Absoluuttiset tuotot selvästi ristikorreloituneita Aikasarjojen korrelaatiot vaihtelevat ajassa Äärimmäiset tuotot ilmenevät usein monissa aikasarjoissa samaan aikaan

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Momentit • Keskiarvofunktio • Autokovarianssifunktio

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Kovarianssi-stationaarisuus • Aikasarja on kovarianssi-stationaarinen (heikosti stationaarinen), jos sen ensimmäiset kaksi momenttia ovat olemassa ja sille pätee

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Vahva stationaarisuus • Jos satunnaisvektoreilla on sama yhteisjakauma, niin aikasarja stationaarinen. ja on vahvasti

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Autokorrelaatiofunktio • Autokorrelaatiofunktio kovarianssi-stationääriselle prosessille määritellään seuraavasti missä ja

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Valkoinen kohina • Aikasarja on valkoista kohinaa jos se on kovarianssistationaarinen ja sen autokorrelaatiofunktio on ja sen odotusarvo on nolla sekä varianssi • Valkoista kohinaa merkitään • Kovarianssi-stationaariset ARCH ja GARCH prosessit ovat valkoista kohinaa.

Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä Vahva valkoinen kohina (strict white noise) • Aikasarja on vahvaa valkoista kohinaa jos sarja ja sen varianssi on • Vahvaa valkoista kohinaa merkitään on iid

ARMA-mallit • Aikasarja on nolla-keskiarvoinen ARMA(p, q) prosessi jos se on kovarianssi-stationaarinen ja se toteuttaa yhtälön missä • Käytännön sovelluksissa käytetään kausaalista ARMA-mallia missä painot toteuttavat yhtälön

ARMA-mallit • ARMA(1, 1) joka on voidaan esittää MA(∞) –muodossa (myös kausaalinen muoto) • Ja AR(∞)) -muodossa • ARMA-malli voidaan kirjoittaa myös muodossa

Tarkastelu aika-avaruudessa • Tarkastellaan aikasarjaa estimoimalla sen autokovarianssit ja autokorrelaatiot • Autokovarianssit saadaan yhtälöstä • Korrelaatiodiagrammia käytetään aikasarjan systemaattisten riippuvuuksien tutkimisessa

Aikasarjojen tilastollinen tarkastelu • Alustavan tarkastelun tarkoituksena on selvittää löytyykö datasta trendejä tai jaksollisuutta ja poistaa ne, jotta sitä voidaan käsitellä stationaarisena • Seuraavaksi tarkastellaan satunnaisprosessia aika-avaruudessa piirtämällä korrelaatiodiagrammit ja testaamalla onko prosessi valkoista kohinaa • Jos prosessi on valkoista kohinaa voidaan siirtyä yksinkertaisen jakauman parametrien sovittamiseen • Jos prosessi ei ole valkoista kohinaa, siirrytään dynaamisiin malleihin

Ennustaminen • ARMA-malli • Eksponentiaalinen tasoitus

Kotitehtävä • Todista, että MA(1) –prosessi on stationaarinen • Millä ehdolla AR(1) –prosessi on stationaarinen • Sovita osakedataan studentin t –jakauma, generoi saaduilla parametreilla yhtä pitkä vektori, plottaa molemmista logaritmiset tuotot sekä korrelaatiodiagrammit tappiolle ja absoluuttisille arvoille – Tulkitse