Kokonaisriski Janne Kunnas 19 10 2011 Tyn saa

Kokonaisriski Janne Kunnas 19. 10. 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Sisältö • • Riskimitan koherenttius Value-at-Risk Tappiojakaumaan perustuvat koherentit riskimitat Mean-Va. R portfolion optimointi

Riskimitan koherenttius (1/2) • Riskimittaa pidetään koherenttina jos se toteuttaa aksioomat – – Siirtoinvariantti Subadditiivinen Positiivisesti homogeeninen Monotooninen

Riskimitan koherenttius (2/2) • Merkitään tappioilla todennäköisyysavaruuden sen osajoukkoa kaikkia satunnaismuuttujia ja • Riskimitta kertoo kuinka paljon pääomaa tulee lisätä portfolioon, jotta tietty pääomavaatimus täyttyy

Siirtoinvarianttius • Riskimitta on siirtoinvariantti jos kaikilla • Jos positioon lisätään summa l, joka johtaa tappioon L, niin silloin pääomavaatimus muuttuu samalla määrällä l

Subadditiivisuus • Portfolion hajauttaminen vähentää riskiä • Jos riskimitta ei ole subadditiivinen (esim. Va. R) niin sijoittajan pääomavaatimus kasvaa kun portfolion hajautusta lisätään

Positiivinen homogeenisuus • Portfolion kasvattaminen n-kertaiseksi, lisää pääomavaatimuksen n-kertaiseksi • Subadditiivisuudesta seuraa

Monotoonisuus • Suurempi tappio johtaa suurempaan pääomavaatimukseen • Oletetaan, että • Subadditiivisuudesta seuraa

Huomioita aksioomista • Subadditiivisuudesta ja positiivisesta homogeenisuudesta seuraa, että riskimitta on konveksi joukossa • Jos halutaan ottaa huomioon riskin keskittyminen tai likviditeetti ongelmat, voidaan subadditiivisuus ja positiivinen homogeenisuus korvata rajoituksella • Rajoite säilyttää joukon konveksisuuden

Value-at-Risk riskimittana • Va. R toteuttaa aksioomat – Siirtoinvariantti – Positiivisesti homogeeninen – Monotooninen • Mutta se ei ole subadditiivinen

Va. R esimerkki (1/5) • Verrataan portfolioden A ja B kokonaisriskejä käyttäen Va. Ria luottamustasolla 95% • Portfolio A muodostuu 100 kpl saman yrityksen joukkovelkakirjoja, joiden markkinahinta p=100 • Portfoliossa B on 100 kpl eri yritysten joukkovelkakirjoja, joiden markkinat hinnat ovat 100 • Kaikki joukkovelkakirjat maksavat 5% tuoton (105) tai ei mitään (100) jos yritys menee konkurssiin • Kaikkien yritysten konkurssitodennäköisyys on 2%

Va. R esimerkki (2/5) • Portfolio A 0. 98 10500 0. 02 -10000 • Portfolio B 0. 98 105 0. 02 -100 … 100 kpl 0. 98 105 0. 02 -100

Va. R esimerkki (3/5) • Joukkovelkakirjan i tappio • Portfolion A pääomatarve

Va. R esimerkki (4/5) • Portfolion B pääomatarve

Va. R esimerkki (5/5) • Tulos ei ole järkevä sillä hajauttamisen tulisi vähentää riskiä • Portfolioiden tappiojakaumat hyvin vinoja -> Va. R ei subadditiivinen • Va. R on subadditiivinen jos portfolio voidaan esittää elliptisesti jakautuneiden riskien lineaarisena kombinaationa

Tappiojakaumaan perustuvat koherentit riskimitat • Odotettu vaje (expected shortfall) • Koherentti preemio periaate

Mean-Va. R portfolion optimointi • Salkunhoitaja haluaa sijoittaa määrän V joukkovelkakirjoihin joiden hinta on d=100 • Porftolio • Tuotto • Salkunhoitaja valitsee portfolion -Va. R optimaalisuus kriteerin , joka maksimoi mean

Mean-Va. R portfolion optimointi • Salkunhoitaja tehtävänä on siis minimoida • Tuloksena on, että kaikki varat sijoitetaan yhteen joukkovelkakirjaan • Jos Va. R korvataan jollakin koherentilla riskimitalla, päädytään hajautettuun portfolioon

Kotitehtävä 13 • Markkinoilla on tarjolla vain kahta sijoitusinstrumenttia X ja Y, jotka ovat normaalijakautuneita ja riippumattomia • Olet salkunhoitaja ja sinun tulee valita kahden portfolion väliltä – Portfolio 1: Sijoitat kaikki varat X: ään – Portfolio 2: Jaat varat 50/50 suhteessa X: n ja Y: n kesken • Kumpi on parempi vaihtoehto jos käytät kriteerinä Va. Ria 99% luottamustasolla? ?